《高職應(yīng)用數(shù)學(xué)》教案 第31課 全微分

第31課全微分課題全微分課時(shí)2課時(shí)（90min）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能目標(biāo)：1．理解全微分的概念，并掌握其求法2．掌握全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用思政育人目標(biāo)：通過(guò)講解全微分的概念，以及全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)是源于生活的，是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的抽象產(chǎn)生的，不是脫離實(shí)際生活的；培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)揭示生活中的奧秘，在實(shí)踐中深化認(rèn)識(shí)，達(dá)到學(xué)以致用的目的教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：全微分的概念，及其求法教學(xué)難點(diǎn)：全微分存在的必要條件、充分條件的證明教學(xué)方法講授法、問(wèn)答法、討論法、演示法、實(shí)踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計(jì)第一節(jié)課：課前任務(wù)→考勤（2min）→復(fù)習(xí)（10min）→講授新課（20min）→課堂測(cè)驗(yàn)（13min）第二節(jié)課：講授新課（22min）→課堂測(cè)驗(yàn)（10min）→互助指導(dǎo)（10min）→課堂小結(jié)（3min）→課后拓展教學(xué)過(guò)程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計(jì)意圖第一節(jié)課課前任務(wù)【教師】和學(xué)生負(fù)責(zé)人取得聯(lián)系，布置課前任務(wù)，提醒同學(xué)做完作業(yè)，在指定時(shí)間內(nèi)交齊【學(xué)生】做完作業(yè)，在指定時(shí)間內(nèi)交齊【教師】通過(guò)文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)軟件，布置課前問(wèn)答題：（1）什么是全微分？（2）求解全微分可以解決哪些實(shí)際問(wèn)題？【學(xué)生】查找資料，預(yù)習(xí)教材通過(guò)課前的預(yù)熱，讓學(xué)生了解所學(xué)科目的大概方向，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望考勤（2min）【教師】清點(diǎn)上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報(bào)請(qǐng)假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況復(fù)習(xí)（10min）【教師】提前設(shè)計(jì)好復(fù)習(xí)題目，并針對(duì)學(xué)生存在的問(wèn)題及時(shí)講解【學(xué)生】做復(fù)習(xí)題目復(fù)習(xí)所學(xué)內(nèi)容，為講授新課打好基礎(chǔ)講授新課（20min）【教師】講解全微分的概念，并通過(guò)例題介紹其求法定義若函數(shù)在點(diǎn)處的全增量可以表示為，其中，與無(wú)關(guān)，是的高階無(wú)窮小，則稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)處的全微分，記作，即．這時(shí)也稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處可微．若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)處處可微，則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)可微．若函數(shù)在點(diǎn)處可微，則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù)；若函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)必不可微．定理1（可微的必要條件）若函數(shù)在點(diǎn)處可微，則函數(shù)在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，且有．由此定理可知，若函數(shù)在點(diǎn)處可微，則全微分為．與一元函數(shù)一樣，規(guī)定，則函數(shù)的全微分可寫(xiě)成．若函數(shù)在任意一點(diǎn)處可微，則函數(shù)的全微分可寫(xiě)成．定理2（可微的充分條件）若函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)一定可微．全微分的概念也可以推廣到三元或更多元函數(shù)．例如，若三元函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則其全微分可寫(xiě)成．例1求的全微分．例1解因?yàn)椋?，所以．?求在點(diǎn)處的全微分．例2解因?yàn)?，將點(diǎn)代入得，．因此，函數(shù)在點(diǎn)處的全微分為．【學(xué)生】理解全微分的概念，并掌握其求法學(xué)習(xí)全微分的概念及求法。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測(cè)驗(yàn)（13min）?教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺(tái)中發(fā)布測(cè)試的題目，并讓學(xué)生加入測(cè)試?！窘處煛繌慕滩呐涮最}庫(kù)中選擇幾道題目，測(cè)試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測(cè)試題目【教師】公布題目的正確答案，并演示解題過(guò)程【學(xué)生】核對(duì)自己的答題情況，對(duì)比答題思路，鞏固答題技巧通過(guò)測(cè)試，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的印象第二節(jié)課講授新課（22min）【教師】通過(guò)實(shí)際案例介紹全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用若函數(shù)在點(diǎn)處可微，則當(dāng)和都較小時(shí)，其全微分，且其全增量與全微分之差是一個(gè)比高階的無(wú)窮小．因此，當(dāng)和都較小時(shí)，全增量可以近似地用全微分代替，于是有或．例3要做一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形容器，其內(nèi)徑為2m，高為4m，厚度為0.01m，問(wèn)需要多少材料例3解設(shè)圓柱底半徑為，高為，則其體積為，，．當(dāng)分別有增量時(shí)，．將代入，得到所求體積的近似值為，因此需要的材料為．例4計(jì)算的近似值．例4解設(shè)函數(shù)．顯然，要計(jì)算的值就是函數(shù)在時(shí)的函數(shù)值．?。捎?，因此．【學(xué)生】理解全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用學(xué)習(xí)全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測(cè)驗(yàn)（10min）?教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺(tái)中發(fā)布測(cè)試的題目，并讓學(xué)生加入測(cè)試?！窘處煛繌慕滩呐涮最}庫(kù)中選擇幾道題目，測(cè)試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測(cè)試題目通過(guò)測(cè)試，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的印象互助指導(dǎo)（10min）?選出優(yōu)秀學(xué)生帶動(dòng)、指導(dǎo)其他同學(xué)掌握知識(shí)點(diǎn)【教師】公布題目的正確答案，每組指定一名答題準(zhǔn)確率最高的同學(xué)，輔導(dǎo)本組的未答對(duì)同學(xué)掌握答題知識(shí)，實(shí)現(xiàn)組內(nèi)互助【學(xué)生】核對(duì)自己的答題情況，對(duì)比答題思路，鞏固答題技巧以學(xué)生為主體，針對(duì)學(xué)生接受能力的差異性，讓優(yōu)秀學(xué)生帶動(dòng)其他學(xué)生掌握知識(shí)點(diǎn)課堂小結(jié)（3min）【教師】簡(jiǎn)要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課上大家理解了全微分的概念，并掌握了其求法，還掌握了全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用，課后要多加練習(xí)，鞏固認(rèn)知【學(xué)生】總結(jié)回顧知識(shí)點(diǎn)【教師】布置課后作業(yè)：習(xí)題6-4總結(jié)知識(shí)點(diǎn)，鞏固印象課后拓展【教師】在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺(tái)上共享本節(jié)課知識(shí)相關(guān)的學(xué)習(xí)鏈接【學(xué)生】登錄文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺(tái)查看相關(guān)知識(shí)鏈接，完成課后任務(wù)延展知