主成分分析法例子

一、主成分分析的根本原理假定有n個(gè)樣本，每個(gè)樣本共有p個(gè)變量，構(gòu)成一個(gè)n×p階的數(shù)據(jù)矩陣〔1〕降維處理?。?！當(dāng)p較大時(shí)，在p維空間中考察問題比較麻煩。降維是用較少的幾個(gè)綜合指標(biāo)代替原來較多的變量指標(biāo)，而且使這些較少的綜合指標(biāo)既能盡量多地反映原來較多變量指標(biāo)所反映的信息，同時(shí)它們之間又是彼此獨(dú)立的。定義：記x1，x2，…，xP為原變量指標(biāo)，z1，z2，…，zm〔m≤p〕為新變量指標(biāo)(2)

系數(shù)lij確實(shí)定原那么：

①zi與zj〔i≠j；i，j=1，2，…，m〕相互無關(guān)；②z1是x1，x2，…，xP的一切線性組合中方差最大者，z2是與z1不相關(guān)的x1，x2，…，xP的所有線性組合中方差最大者；……zm是與z1，z2，……，zm－1都不相關(guān)的x1，x2，…xP，的所有線性組合中方差最大者。那么新變量指標(biāo)z1，z2，…，zm分別稱為原變量指標(biāo)x1，x2，…，xP的第一，第二，…，第m主成分。

從以上的分析可以看出，主成分分析的實(shí)質(zhì)就是確定原來變量xj〔j=1，2，…，p〕在諸主成分zi〔i=1，2，…，m〕上的載荷lij〔i=1，2，…，m；j=1，2，…，p〕。從數(shù)學(xué)上可以證明，載荷lij分別是相關(guān)矩陣的m個(gè)較大的特征值所對應(yīng)的特征向量。③計(jì)算主成分奉獻(xiàn)率及累計(jì)奉獻(xiàn)率▲奉獻(xiàn)率:▲累計(jì)奉獻(xiàn)率:一般取累計(jì)奉獻(xiàn)率達(dá)85—95%的特征值所對應(yīng)的第一、第二、…、第m〔m≤p〕個(gè)主成分?！?〕④各主成分的得分三、主成分分析方法應(yīng)用實(shí)例表1某農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各區(qū)域單元的有關(guān)數(shù)據(jù)

步驟如下：〔1〕將表1中的數(shù)據(jù)作標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)化處理，然后將它們代入公式〔4〕計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣〔見表2〕。表2相關(guān)系數(shù)矩陣〔2〕由相關(guān)系數(shù)矩陣計(jì)算特征值，以及各個(gè)主成分的奉獻(xiàn)率與累計(jì)奉獻(xiàn)率〔見表3〕。由表3可知，第一，第二，第三主成分的累計(jì)奉獻(xiàn)率已高達(dá)86.596%〔大于85%〕，故只需要求出第一、第二、第三主成分z1，z2，z3即可。表3特征值及主成分奉獻(xiàn)率〔3〕對于特征值=4.6610，=2.0890，=1.0430分別求出其特征向量l1，l2，l3。表4主成分載荷

①第一主成分z1與x1，x5，x6，x7，x9呈顯出較強(qiáng)的正相關(guān)，與x3呈顯出較強(qiáng)的負(fù)相關(guān)，而這幾個(gè)變量那么綜合反映了生態(tài)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)狀況，因此可以認(rèn)為第一主成分z1是生態(tài)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的代表。②第二主成分z2與x2，x4，x5呈顯出較強(qiáng)的正相關(guān)，與x1呈顯出較強(qiáng)的負(fù)相關(guān)，其中，除了x1為人口總數(shù)外，x2，x4，x5都反映了人均占有資源量的情況，因此可以認(rèn)為第二主成分z2代表了人均資源量。

分析：顯然，用三個(gè)主成分z1、z2、z3代替原來9個(gè)變量〔x1，x2，…，x9〕，描述農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，可以使問題更進(jìn)一步簡化、明了。③第三主成分z3，與x