數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)課件

數(shù)學(xué)概念數(shù)學(xué)命題數(shù)學(xué)推理數(shù)學(xué)證明數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)“初等數(shù)學(xué)，即常數(shù)的數(shù)學(xué)，是指形式邏輯的范圍內(nèi)活動(dòng)的，至少總的說來是這樣?！保ǘ鞲袼梗┲袑W(xué)數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)，主要指形式邏輯，部分地涉及辯證邏輯。形式邏輯是關(guān)于思維形式及其規(guī)律的科學(xué)。概念、判斷、推理是思維的三種基本形式。辯證邏輯是關(guān)于思維的辯證發(fā)展規(guī)律的科學(xué)，是唯物辯證法在思維領(lǐng)域中的應(yīng)用。數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)目標(biāo)：理解概念的內(nèi)涵和外延、概念間的關(guān)系;掌握概念定義的方法以及概念劃分的方法。

課題1數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)一、概念與數(shù)學(xué)概念的含義與發(fā)展途徑（一）含義

概念是反映事物本質(zhì)屬性的思維形式。所謂“本質(zhì)屬性”,就是指可以用來從其他事物中區(qū)分這個(gè)事物的特征性質(zhì)。它構(gòu)成某種事物的基本特征,只為這類事物所具有,是一種事物區(qū)別于另一種事物的根本依據(jù)。數(shù)學(xué)概念是反映思考對象在空間形式和數(shù)量關(guān)系及其模式方面的本質(zhì)屬性的思維形式。（二）產(chǎn)生與發(fā)展途徑

概念是通過概括以及與概括緊密相聯(lián)系的抽象而形成的。數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生和發(fā)展有各種不同的途徑：1）從現(xiàn)實(shí)模型中直接反映得來，如初等數(shù)學(xué)中的點(diǎn)、線、面、體、自然數(shù)等；2）在原有數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上，經(jīng)過多級抽象和概括而形成，如近代數(shù)學(xué)中的群、環(huán)、域、空間等；

數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)3）從數(shù)學(xué)內(nèi)部的需要產(chǎn)生出來，例如為了把正整數(shù)冪的運(yùn)算法則擴(kuò)充到有理數(shù)冪、無理數(shù)冪、實(shí)數(shù)冪，產(chǎn)生了零指數(shù)、負(fù)整數(shù)指數(shù)、分?jǐn)?shù)指數(shù)、無理數(shù)指數(shù)等概念；為了使所有的代數(shù)方程都有解，產(chǎn)生了虛數(shù)、復(fù)數(shù)的概念；4）根據(jù)理論上有存在的可能而提出來，例如自然數(shù)集、無窮遠(yuǎn)點(diǎn)、無窮小、圓周率π等；5）從一定的數(shù)學(xué)對象結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生出來的，例如多邊形的頂點(diǎn)、對角線、內(nèi)角、外角等。注意：1.數(shù)學(xué)概念區(qū)別于其他領(lǐng)域概念的一個(gè)重要特征是：理想化、多級抽象；2.在人的意識中形成概念，同表達(dá)它的語言、書寫和符號分不開，稱表達(dá)數(shù)學(xué)概念的語詞為數(shù)學(xué)概念的名稱或術(shù)語。

數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)概念是最基本的思維形式，任何一門學(xué)科，都是由一系列的概念及其體系組成的。如果把人的思維比作一個(gè)有機(jī)體，那么概念就是這個(gè)有機(jī)體上的細(xì)胞。每個(gè)概念都是以下兩者的統(tǒng)一：

1）對象或關(guān)系的集合——這個(gè)概念的外延。2）這個(gè)集合所固有的并且只有這個(gè)集合才具備的特征性質(zhì)——這個(gè)概念的內(nèi)涵。

邏輯思維對概念的要求是：概念必須明確，即弄清一個(gè)概念的內(nèi)涵是什么，外延有哪些。從質(zhì)和量兩個(gè)方面明確概念所反映的對象。數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)二、概念的內(nèi)涵與外延（一）內(nèi)涵與外延的含義概念的內(nèi)涵就是概念所反映的事物的本質(zhì)屬性的總和,概念的外延就是概念所反映的事物的總和(或范圍).數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)二、概念的內(nèi)涵與外延數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)（二）內(nèi)涵與外延之間的關(guān)系概念的內(nèi)涵嚴(yán)格確定了概念的外延；反過來，概念的外延完全確定了概念的內(nèi)涵。因此，對概念的內(nèi)涵所作的改變一定導(dǎo)致概念外延的改變。具體來說即：這兩個(gè)方面是相互聯(lián)系、互相制約的:當(dāng)概念的內(nèi)涵擴(kuò)大時(shí),則概念的外延就縮小;當(dāng)概念的內(nèi)涵縮小時(shí),則概念的外延就擴(kuò)大。反過來也一樣。內(nèi)涵和外延之間的這種關(guān)系,稱為反變關(guān)系。\例如,在四邊形的內(nèi)涵中,增加“兩組對邊分別平行”這個(gè)性質(zhì),那就得到平行四邊形的概念,而平行四邊形的外延比四邊形的外延小。在等腰三角形的內(nèi)涵中減少“有兩邊相等”這個(gè)性質(zhì),就得到三角形的概念,而三角形的外延比等腰三角形的外延大。注意,只有在改變內(nèi)涵的過程中一個(gè)概念的外延是另一個(gè)概念外延的子集的情況下，概念的內(nèi)涵和外延間才會(huì)出現(xiàn)反變關(guān)系。數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)（三）內(nèi)涵和外延的發(fā)展變化

概念不是一成不變的，隨著事物的發(fā)展變化和人類實(shí)踐的不斷深入,概念的內(nèi)涵和外延也會(huì)不斷地發(fā)展變化。例如：角的概念、三角函數(shù)的概念、數(shù)的概念等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，認(rèn)識概念的內(nèi)涵與外延必須放在教材和一定的數(shù)學(xué)學(xué)科體系中。例如，角（平面幾何/平面三角）數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)三、概念間的關(guān)系

我們只研究可比較概念間的關(guān)系.所謂可比較概念,就是指的在外延上具有某種可比較關(guān)系的概念.例如，“正數(shù)”和“整數(shù)”就是可比較的概念，而“正數(shù)”和“多邊形”就是不可比較的概念.在可比較的概念間，有相容關(guān)系和不相容關(guān)系.數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)（一）相容關(guān)系（Compatiblerelation）

外延有公共部分的兩個(gè)概念之間的關(guān)系稱為相容關(guān)系,這兩個(gè)概念稱為相容概念。在相容關(guān)系里,又分為同一關(guān)系、交叉關(guān)系和從屬關(guān)系。

1.同一關(guān)系（Identity）外延完全重合的兩個(gè)概念A(yù)和B之間的關(guān)系稱為同一關(guān)系.數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)

例如，“直線”與“一次函數(shù)的圖像”這兩個(gè)概念，雖然它們是從不同的角度來說明問題的,但是,它們的外延完全重合,是指同一類對象。又比如,“等腰三角形底邊上的中線”與“等腰三角形底邊上的高”；“等邊的矩形”與“直角的菱形”；在同一個(gè)圓中“直徑”與“最大的弦”等,它們之間的關(guān)系都是同一關(guān)系。

在同一個(gè)思維過程中,具有同一關(guān)系的兩個(gè)概念可以相互代替使用.數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)

2.交叉關(guān)系（Intersection）外延只有一部分重合的兩個(gè)概念A(yù)和B之間的關(guān)系，稱為交叉關(guān)系.這兩個(gè)概念稱為交叉概念。例如,“等腰三角形”與“直角三角形”、“負(fù)數(shù)”與“整數(shù)”、“菱形”與“矩形”等概念之間的關(guān)系都是交叉關(guān)系。具有交叉關(guān)系的兩個(gè)概念是可以互相說明的,但是,必須用“有些”兩字來限制,否則就錯(cuò)了。例如,我們可以說“有些整數(shù)是負(fù)數(shù)”，也可以說“有些負(fù)數(shù)是整數(shù)”；卻不能說“整數(shù)是負(fù)數(shù)”,也不能說“負(fù)數(shù)是整數(shù)”。數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)

3.從屬關(guān)系（Inclusion）

如果A概念的外延包含B概念的外延,那么這兩個(gè)概念間的關(guān)系稱為從屬關(guān)系.其中，A概念叫做B概念的屬概念(或上位概念).B概念叫做A概念的種概念(或下位概念).數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)例如,“復(fù)數(shù)”、“實(shí)數(shù)”、“有理數(shù)”、“整數(shù)”它們之間的關(guān)系是從屬關(guān)系?！皬?fù)數(shù)”、“實(shí)數(shù)”、“有理數(shù)”都是“整數(shù)”的屬概念.“整數(shù)”的三個(gè)屬概念中，其內(nèi)涵與整數(shù)概念之差最小的是“有理數(shù)”，我們稱“有理數(shù)”為“整數(shù)”的最鄰近的屬概念。注意一：屬、種概念具有相對性。例如,對“整數(shù)”來說，“有理數(shù)”是屬概念,對“實(shí)數(shù)”來說，“有理數(shù)”是種概念;注意二：要區(qū)分從屬關(guān)系和全體與部分的關(guān)系。有的概念之間既有從屬關(guān)系又有全體與部分的關(guān)系。有的卻不然。例如,“對數(shù)”與它的“首數(shù)”、“尾數(shù)”之間的關(guān)系是全體與部分的關(guān)系，但不是從屬關(guān)系。

數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)（二）不相容關(guān)系

（Exclusiverelation）

外延互相排斥(沒有公共部分)的兩個(gè)概念之間的關(guān)系稱為不相容關(guān)系,這兩個(gè)概念稱為不相容概念。不相容關(guān)系分為對立、矛盾關(guān)系兩種。

1.對立關(guān)系(反對關(guān)系Contrariety)

如果某一概念的兩個(gè)種概念A(yù)和B,其外延是互相排斥的,且這兩個(gè)種概念外延之和小于它們最鄰近的屬概念的外延,那么這兩個(gè)種概念A(yù)和B之間的關(guān)系稱為對立關(guān)系，這兩個(gè)種概念稱為對立概念。

數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)例如,“正數(shù)”與“負(fù)數(shù)”是對立關(guān)系的兩個(gè)概念,因?yàn)樗鼈兊耐庋踊ハ嗯懦?其外延之和小于它們最鄰近的屬概念“實(shí)數(shù)”的外延。又如,“大于”與“小于”、“銳角三角形”與“鈍角三角形”、“質(zhì)數(shù)”與“合數(shù)”、“等腰梯形”與“直角梯形”等概念的關(guān)系都是對立關(guān)系.數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)2.矛盾關(guān)系（Contradiction）

如果某一概念的兩個(gè)種概念A(yù)和B,其外延是相互排斥的,且這兩個(gè)種概念外延之和等于它們最鄰近的屬概念的外延,那么這兩個(gè)種概念A(yù)和B之間的關(guān)系稱為矛盾關(guān)系.這兩個(gè)種概念稱為矛盾概念。例如,“負(fù)數(shù)”與“非負(fù)數(shù)”、“實(shí)數(shù)”與“虛數(shù)”、“有理數(shù)”與“無理數(shù)”、“直角三角形”與“非直角三角形”、“相等”與“不相等”等概念之間的關(guān)系都是矛盾關(guān)系。數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)

掌握了概念間的關(guān)系,有助于加深理解概念,正確地使用概念,避免出現(xiàn)概念或判斷上的邏輯錯(cuò)誤。例如,“因?yàn)閿?shù)a不是正數(shù),所以數(shù)a一定是負(fù)數(shù)”,這一論斷是錯(cuò)誤的。因?yàn)椤罢龜?shù)”與“負(fù)數(shù)”是對立的概念,不是矛盾的概念,在實(shí)數(shù)的外延中除了正負(fù)數(shù)外,還有數(shù)零。又如,“a不大于b,即a＜b”這是錯(cuò)誤的。因?yàn)椤安淮笥凇迸c“小于”不是矛盾關(guān)系

.數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)四、概念的定義（一）什么是定義

定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法,即列舉概念的充分和必要的屬性，并把它們總結(jié)成一個(gè)連貫的句子（語句或用符號表示的句子）。定義中的每一個(gè)屬性對于確定的概念來說，都應(yīng)當(dāng)是必要的，而所有屬性加到一起應(yīng)當(dāng)是充分的。定義應(yīng)當(dāng)揭示概念的基本內(nèi)涵，它不應(yīng)當(dāng)有多余的詞，也不應(yīng)當(dāng)有遺漏。例如“正方形是”——“四個(gè)角都是直角的平行四邊形”

/“有一個(gè)角是直角的菱形”

/“各邊相等而且四個(gè)都是直角的平行四邊形”在定義某概念的過程中得到的一串概念，從第二個(gè)起，每一個(gè)都是前一個(gè)的種概念，這樣追到了初始概念：不定義概念。數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)（二）定義的構(gòu)成與形式

1.定義的構(gòu)成被定義的概念+下定義的概念+聯(lián)系詞

被定義的概念是其內(nèi)涵被揭示的概念,而下定義的概念是用以揭示被定義概念內(nèi)涵的概念,聯(lián)系詞一般使用‘是’、‘叫做’,表示被定義概念和下定義概念之間的內(nèi)在聯(lián)系,其作用是把被定義概念和下定義概念聯(lián)系或組織起來。

例如,“鄰邊相等的矩形是正方形”是正方形的一種定義,在這個(gè)定義中,“正方形”是被定義概念,“鄰邊相等的矩形”是下定義的概念,“是”是聯(lián)系詞。數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)2.定義的形式注：定義的表達(dá)形式也有多種情況，除了上述：“DP叫做DS”，其他如：“DS就是DP”，“DS等于DP”，“DS當(dāng)且僅當(dāng)DP”，“DP叫做DS”，“DP稱為DS”等等。例如：平行四邊形就是兩組對邊分別平行的四邊形。

定義項(xiàng)（Dp）被定義項(xiàng)（Ds）定義聯(lián)項(xiàng)

……，叫做……數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)（二）給數(shù)學(xué)概念下定義的方法1.“屬+種差”式定義給數(shù)學(xué)概念下定義常用“屬（類）+種差”的方式，即實(shí)質(zhì)定義。其公式為：屬（類）+種差=被定義項(xiàng)例如：“鄰邊相等”的“平行四邊形”叫做“菱形”；“按一定順序排列”的“一列數(shù)”叫做“數(shù)列”；“無限不循環(huán)”的“小數(shù)”叫做“無理數(shù)”；由此可見，用屬加種差下定義，需要做好兩方面的工作：一是找出被定義概念的最鄰近的屬；二是確定種差，即找出被定義概念與同一屬中其他種概念之間的差別。數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)以事物的發(fā)生和形成過程作為種差——2.發(fā)生式定義“平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡叫做圓”；“我們在平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原點(diǎn)重合的數(shù)軸，組成平面直角坐標(biāo)系?！卑l(fā)生式定義通過描述被定義概念所反映對象的產(chǎn)生或形成過程的特征來揭示被定義概念本質(zhì)屬性的定義方法.以事物間的關(guān)系作為種差——3.關(guān)系式定義”能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)“；”經(jīng)過三角形各頂點(diǎn)的圓叫三角形的外接圓“。以事物的本質(zhì)結(jié)構(gòu)作為種差——4.形式式定義“形如‘y=ax2+bx+c’（其中a、b、c是常數(shù)，a不等于0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)。”數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)5.外延式定義”有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)“；”圓、橢圓、雙曲線和拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線“。6.約定式定義”對于非零實(shí)數(shù)a及正整數(shù)n，規(guī)定a0=1，a-n=1\an，a0，a-n分別叫做零次冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪“。7.遞歸式定義”對一切自然數(shù)n，均有an=an-1+d（d是常數(shù)）成立，這個(gè)數(shù)列稱為等差數(shù)列“。8.公理式定義9.通過抽象（或稱描述式定義）數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)在一個(gè)科學(xué)系統(tǒng)中每給一個(gè)概念下定義,都要用一些已知的概念來定義新概念,這樣就構(gòu)成一個(gè)概念的序列。可是概念的個(gè)數(shù)是有限的,所以在這個(gè)概念的序列中總有一些概念是不能引用別的概念來定義它的,這樣的概念叫做在這個(gè)科學(xué)系統(tǒng)中的原始概念。例如,數(shù)學(xué)中的數(shù)、量、點(diǎn)、直線、平面、集合、對應(yīng)、...在科學(xué)中,原始概念是不予定義的,它們的本質(zhì)屬性通過公理加以規(guī)定。但在學(xué)科中,常用直觀描述性的方法對原始概念加以解釋,目的是使學(xué)習(xí)者心領(lǐng)神會(huì),留下鮮明的印象。例如,用拉緊的細(xì)繩和由小孔射入的光線來建立直線形象;把由確定的事物組成的整體稱做集合,都不是下定義,而是一種幫助學(xué)習(xí)者領(lǐng)會(huì)的直觀描述。在邏輯推理中這種描述是不起任何作用的。數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)（三）下定義的基本要求1.定義應(yīng)當(dāng)相稱所謂定義相稱就是定義概念的外延和被定義概念的外延必須相等。例如：”含有未知數(shù)的等式叫做方程“；（√）

”帶根號的數(shù)是無理數(shù)?！埃ā粒┒x過寬，就是定義概念的外延大于被定義概念的外延。例如:”有一組對邊平行的四邊形叫作梯形“；”不相交的兩條直線叫作平行線“.定義過窄，就是定義概念的外延小于被定義概念的外延。例如:”開不盡的方根叫作無理數(shù)“；”正數(shù)的正的平方根叫作算術(shù)根“.數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)2.定義不能循環(huán)。

即定義概念不能直接或間接包含被定義概念。

循環(huán)定義常有以下兩種情況：惡性循環(huán)。在一個(gè)科學(xué)系統(tǒng)中,如果把概念A(yù)作為已知的概念來定義概念B,但又用概念B來定義概念A(yù),這種邏輯錯(cuò)誤叫做定義惡性循環(huán)。例如:”乘方運(yùn)算的結(jié)果叫作冪，求冪的運(yùn)算叫作乘方”.詞語反復(fù)。用被定義概念的簡單重復(fù)來定義被定義的概念，即用自身定義自己.例如:”互質(zhì)數(shù)就是互為質(zhì)數(shù)的數(shù)”;“兩條直線所成的角叫作兩條直線的夾角”.

數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)3.定義必須簡明、確切定義須簡明，即在定義中不要包括多余的詞語；定義應(yīng)當(dāng)確切，即定義概念中不能應(yīng)用比喻或含混不清的詞。例如：”有一個(gè)角是直角，其他兩個(gè)角是銳角的三角形叫作直角三角形”;“對邊平行且相等的平面四邊形是平行四邊形”;“兩組邊相等的四邊形是平行四邊形”;“無窮小是很小很小的數(shù)”;“像滿月一樣的圖形叫作圓”。④定義一般不用否定形式定義一般應(yīng)揭示出被定義概念所反映的事物具有什么本質(zhì)屬性，而不是指出事物不具有什么本質(zhì)屬性。例如：“不是有理數(shù)的數(shù)叫做無理數(shù)”;“不是直角邊的邊叫作直角三角形的斜邊”。但是,有些概念的特有屬性正是它缺少某種屬性,這時(shí)也可以用否定事物具有某種屬性來定義。例如：“同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線”。數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)五、概念的劃分劃分是揭示概念外延的邏輯方法。也就是通過把一個(gè)屬概念分為若干個(gè)種概念來明確概念的邏輯方法。是從概念的外延方面明確概念的邏輯方法。通過對概念正確的劃分,可以更深刻地理解概念，更系統(tǒng)地掌握概念。

數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)（一）劃分的要素

一個(gè)正確的劃分,通常由三個(gè)要素構(gòu)成,即母項(xiàng)、子項(xiàng)和劃分的依據(jù)。母項(xiàng)是劃分的屬概念,子項(xiàng)就是劃分所得的種概念,劃分的依據(jù)就是劃分時(shí)所依據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)。

例如，按角的性質(zhì)，”三角形”可以劃分為：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形.（或者：直角三角形、斜三角形）按邊的相等關(guān)系，”三角形”可以劃分為：等腰三角形、非等腰三角形.數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)（二）劃分的類別

劃分有一次劃分、連續(xù)劃分和二分法等基本形式.1.一次劃分只包括母項(xiàng)和子項(xiàng)兩個(gè)層次的劃分稱為一次劃分。例如，根據(jù)奇偶性,“整數(shù)”劃分為“奇數(shù)”和“偶數(shù)”.在劃分一次以后已達(dá)到劃分的目的,不需要再繼續(xù)劃分,這時(shí)就用一次劃分。2.連續(xù)劃分包括母項(xiàng)和子項(xiàng)三個(gè)層次以上的劃分,即把一次劃分得出的子項(xiàng)作為母項(xiàng),繼續(xù)劃分子項(xiàng),直到滿足需要為止。例如:

整數(shù)

有理數(shù)

分?jǐn)?shù)正整數(shù)零負(fù)整數(shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)整數(shù)

數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)3.二分法它是每次劃分后所得的子項(xiàng)總是兩個(gè)矛盾概念的劃分法。例如,用二分法對“復(fù)數(shù)”劃分：

正無理數(shù)負(fù)無理數(shù)純虛數(shù)非純虛數(shù)

虛數(shù)

正有理數(shù)非正有理數(shù)

正整數(shù)正分?jǐn)?shù)

零負(fù)有理數(shù)

負(fù)整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)

復(fù)數(shù)實(shí)數(shù)有理數(shù)無理數(shù)數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)二分法常用于以下兩種場合:一是不需要了解被劃分概念的全部外延性質(zhì)時(shí);二是被劃分的概念的外延尚未完全弄清時(shí)。二分法是一種簡便易行、不易發(fā)生錯(cuò)誤的劃分方法,這又是它的優(yōu)點(diǎn);但是，這種劃分方法總有一部分外延不能明確地顯示出來,這是它的缺點(diǎn).數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)（三）劃分的規(guī)則1.劃分應(yīng)是相稱的

即劃分后各個(gè)子項(xiàng)外延的總和應(yīng)當(dāng)與母項(xiàng)的外延相等，而且各個(gè)子項(xiàng)之間互不相容。違反這一規(guī)則會(huì)犯“多出子項(xiàng)”或“不完全劃分”的邏輯錯(cuò)誤。例如:A.“自然數(shù)”劃分為“質(zhì)數(shù)”與“合數(shù)”。B.“梯形”劃分為“等腰梯形”、“不等腰梯形”和“平行四邊形”。以上兩例的劃分都是不相稱的。A中劃分后的質(zhì)數(shù)與合數(shù)的外延之和小于自然數(shù)的外延,因?yàn)樽匀粩?shù)還包括“1”,而“1”既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。犯了“不完全劃分”的邏輯錯(cuò)誤。B中劃分后各個(gè)概念的外延之和大于被劃分的概念的外延。因?yàn)槠叫兴倪呅尾皇翘菪?犯了“多出子項(xiàng)”的邏輯錯(cuò)誤。數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)

2.每一次劃分只能用一個(gè)根據(jù)

由于實(shí)際的需要不同,劃分的根據(jù)也就不同。但每次劃分不能交叉地使用幾個(gè)不同的根據(jù),只能用同一個(gè)根據(jù)，遵循相同的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行劃分。否則劃分的結(jié)果就會(huì)混亂不清,達(dá)不到劃分的目的。例如,把“三角形”劃分為“等邊三角形”、“等腰三角形”、“鈍角三角形”,這個(gè)劃分是不正確的,因?yàn)檫@個(gè)劃分中用了邊、角大小的兩個(gè)不同的根據(jù)。這就犯“標(biāo)準(zhǔn)不同一”的邏輯錯(cuò)誤。數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)

3.劃分的子項(xiàng)必須互相排斥

劃分后所得的子項(xiàng)的外延不允許交叉、重疊，否則,就會(huì)對概念的認(rèn)識更加模糊。上例中,把“三角形”按邊、角的大小劃分為三類,就犯了“子項(xiàng)相容”的邏輯錯(cuò)誤。又如,“平行四邊形”劃分為“正方形”、“菱形”、“鄰邊不等的矩形”。因?yàn)檎叫问橇庑?這個(gè)劃分也犯了“子項(xiàng)相容”的錯(cuò)誤,而且還漏掉了“鄰邊不相等的平行四邊形”。

數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)

4.劃分不能越級在每次劃分中,被劃分的概念與劃分出來的概念必須具有最鄰近的屬種關(guān)系,不能越級或跳躍式的劃分。劃分應(yīng)當(dāng)按照被劃分概念所反映的對象具有的內(nèi)在層次逐一地進(jìn)行。例如:“把實(shí)數(shù)”劃分為”整數(shù)“、”分?jǐn)?shù)“、”無理數(shù)”就犯了“越級劃分”的邏輯錯(cuò)誤。因?yàn)檎麛?shù)和分?jǐn)?shù)與實(shí)數(shù)不是最鄰近的各類關(guān)系。

數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)問題與思考

1.何謂數(shù)學(xué)概念?數(shù)學(xué)概念的作用是什么?2.什么是數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延?指出下列數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延(1)函數(shù)

(2)根式

(3)無理式

(4)圓

(5)方程

(6)菱形

(7)絕對值3.舉例說明概念的內(nèi)涵和外延間的“反變關(guān)系”.4.舉例說明種概念和類概念之間具有相對性數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)問題與思考5.概念之間的關(guān)系可分為幾種?指出下列每對概念之間的關(guān)系.(1)有理式和無理式;(2)無理式和根式;(3)質(zhì)數(shù)和合數(shù);(4)分?jǐn)?shù)和循環(huán)小數(shù)(5)正數(shù)和整數(shù)(6)有限小數(shù)和有理數(shù)(7)無限小數(shù)和無理數(shù);(8)有理數(shù)和無理數(shù);(9)自然數(shù)中最小的質(zhì)數(shù)和最小的偶數(shù);(10)直角三角形和等腰三角形;(11)對角線相等的菱形和對角線垂直的矩形；(12)直角三角形的外心和斜邊上的中點(diǎn);(13)方程和恒等式;(14)冪和乘方;(15)三角函數(shù)和周期函數(shù)。數(shù)學(xué)概念及其邏輯結(jié)構(gòu)問題與思考

6.數(shù)學(xué)中常用的定義方式有哪些?正確的定義要符合哪些要求?7.下列定義符合要求嗎?為什么?(1)大于90°的角叫做鈍角;

(2)最簡單的根式叫最簡根式;

(3)有理數(shù)開不盡的方根叫做無理數(shù);

(4)不能表示成分?jǐn)?shù)的數(shù)叫做無理數(shù);8.用“屬加種差”的方式給下列概念下定義,并指出其