2019年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)28.2.2-第3課時(shí)-利用方位角、坡度解直角三角形

2019年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)28.2.2第3課時(shí)利用方位角、坡度解直角三角形

28.2.2應(yīng)用舉例

第3課時(shí)利用方位角、坡度解直角三角形

1．知道測(cè)量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度與坡角的關(guān)系；(重點(diǎn))

2．能夠應(yīng)用解直角三角形的知識(shí)解決與方位角、坡度有關(guān)的問(wèn)題．(難點(diǎn))

一、情境導(dǎo)入

在修路、挖河、開(kāi)渠和筑壩時(shí)，設(shè)計(jì)圖紙上都要注明斜坡的傾斜程度．如圖，坡面的鉛垂高度(h)和水平長(zhǎng)度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，記作i，即i＝hl.

坡度通常寫(xiě)成1∶m的形式，如i＝1∶6.坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，有i＝hl＝tanα.顯然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．我們這節(jié)課就解決這方面的問(wèn)題．

二、合作探究

探究點(diǎn)一：利用方位角解直角三角形

【類型一】利用方位角求垂直距離

如圖所示，A、B兩城市相距200km.現(xiàn)計(jì)劃在這兩座城市間修筑一條高速公路(即線段AB)，經(jīng)測(cè)量，森林保護(hù)中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保護(hù)區(qū)的范圍在以P點(diǎn)為圓心，100km為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)，請(qǐng)問(wèn)：計(jì)劃修筑的這條高速公路會(huì)不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)(參考數(shù)據(jù)：3≈1.732，2≈1.414)．

解析：過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB，C是垂足．AC與BC都可以根據(jù)三角函數(shù)用PC表示出來(lái)．根據(jù)AB的長(zhǎng)得到一個(gè)關(guān)于PC的方程，求出PC的長(zhǎng)．從而可判斷出這條高速公路會(huì)不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)．

解：過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB，C是垂足．則∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC?tan30°，BC＝PC?tan45°.∵AC＋BC＝AB，∴PC?tan30°＋PC?tan45°＝200，即33PC＋PC＝200，解得PC≈126.8km＞100km.

答：計(jì)劃修筑的這條高速公路不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)．

方法總結(jié)：解一般三角形的問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，解決的方法就是作高線．

變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第1題

【類型二】利用方位角求水平距離

“村村通”公路工程拉近了城鄉(xiāng)距離，加速了我區(qū)農(nóng)村經(jīng)濟(jì)建設(shè)步伐．如圖所示，C村村民欲修建一條水泥公路，將C村與區(qū)級(jí)公路相連．在公路A處測(cè)得C村在北偏東60°方向，沿區(qū)級(jí)公路前進(jìn)500m，在B處測(cè)得C村在北偏東30°方向．為節(jié)約資源，要求所修公路長(zhǎng)度最短．畫(huà)出符合條件的公路示意圖，并求出公路長(zhǎng)度．(結(jié)果保留整數(shù))

解析：作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，據(jù)題意有∠CAD＝30°，求得AD.在Rt△CBD中，據(jù)題意有∠CBD＝60°，求得BD.又由AD－BD＝500，從而解得CD.

解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足落在AB的延長(zhǎng)線上，CD即為所修公路，CD的長(zhǎng)度即為公路長(zhǎng)度．在Rt△ACD中，據(jù)題意有∠CAD＝30°，∵tan∠CAD＝CDAD，∴AD＝CDtan30°＝3CD.在Rt△CBD中，據(jù)題意有∠CBD＝60°，∵tan∠CBD＝CDBD，∴BD＝CDtan60°＝33CD.又∵AD－BD＝500，∴3CD－33CD＝500，解得CD≈433(m)．

答：所修公路長(zhǎng)度約為433m.

方法總結(jié)：在解決有關(guān)方位角的問(wèn)題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時(shí)所給的方位角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等或一個(gè)角的余角等知識(shí)轉(zhuǎn)化為所需要的角．

變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第4題

探究點(diǎn)二：利用坡角、坡度解直角三角形

【類型一】利用坡角、坡度解決梯形問(wèn)題

如圖，某水庫(kù)大壩的橫截面為梯形ABCD，壩頂寬BC＝3米，壩高為2米，背水坡AB的坡度i＝1∶1，迎水坡CD的坡角∠ADC為30°.求壩底AD的長(zhǎng)度．

解析：首先過(guò)B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，可得四邊形BEFC是矩形，又由背水坡AB的坡度i＝1∶1，迎水坡CD的坡角∠ADC為30°，根據(jù)坡度的定義，即可求解．

解：分別過(guò)B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，垂足為E、F，可得BE∥CF，又∵BC∥AD，∴BC＝EF，BE＝CF.由題意，得EF＝BC＝3，BE＝CE＝2.∵背水坡AB的坡度i＝1∶1，∴∠BAE＝45°，∴AE＝BEtan45°＝2，DF＝CFtan30°＝23，∴AD＝AE＋EF＋DF＝2＋3＋23＝5＋23(m)．

答：壩底AD的長(zhǎng)度為(5＋23)m.

方法總結(jié)：解決此類問(wèn)題一般要構(gòu)造直角三角形，并借助于解直角三角形的知識(shí)求解．

變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第6題

【類型二】利用坡角、坡度解決三角形問(wèn)題

如圖，某地下車庫(kù)的入口處有斜坡AB，它的坡度為i＝1∶2，斜坡AB的長(zhǎng)為65m，斜坡的高度為AH(AH⊥BC)，為了讓行車更安全，現(xiàn)將斜坡的坡角改造為14°(圖中的∠ACB＝14°)．

(1)求車庫(kù)的高度AH；

(2)求點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離(結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25)．

解析：(1)利用坡度為i＝1∶2，得出AH∶BH＝1∶2，進(jìn)而利用勾股定理求出AH的長(zhǎng)；(2)利用tan14°＝6BC＋12，求出BC的長(zhǎng)即可．

解：(1)由題意可得AH∶BH＝1∶2，設(shè)AH＝x，則BH＝2x，故x2＋(2x)2＝(65)2，解得x＝6，故車庫(kù)的高度AH為6m；

(2)∵AH＝6m，∴BH＝2AH＝12m，∴CH＝BC＋BH＝BC＋12m.在Rt△AHC中，∠AHC＝90°，故tan∠ACB＝AHCH，又∵∠ACB＝14°，∴tan14°＝6BC＋12，即0.25＝6BC＋12，解得BC＝12m.

答：點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離是12m.

方法總結(jié)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用中坡度、坡角問(wèn)題，明確坡度等于坡角的正切值是解題的關(guān)鍵．

變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第6題

三、板書(shū)設(shè)計(jì)

1．方位角的意義；

2．坡度、坡比的意義；

3．應(yīng)用方位角、坡度、坡比解決實(shí)