C34導熱微分方程及其定界條件穩(wěn)態(tài)導熱

2-2導熱微分方程式及定解條件作用：導熱微分方程式及定解條件是對導熱體的數學描述，是理論求解導熱體溫度分布的基礎。熱力學第一定律+傅里葉定律理論：導熱微分方程式建立的基礎是：方法：對導熱體內任意的一個微小單元進行分析，依據能量守恒關系，建立該處溫度與其它變量之間的關系式。一、導熱微分方程的推導1.物理問題描述

三維的非穩(wěn)態(tài)導熱體，且物體內有內熱源（導熱以外其它形式的熱量，如化學反應能、電能等）。2.假設條件(1)所研究的物體是各向同性的連續(xù)介質；(2)熱導率、比熱容和密度均為已知；(3)內熱源均勻分布，強度為[W/m3]；(4)導熱體與外界沒有功的交換。3.建立坐標系，取分析對象（微元體）

在直角坐標系中進行分析。xyzdxdydz

由于是非穩(wěn)態(tài)導熱，微元體的溫度隨時間變化，因此存在內能的變化；從各個界面上有導入和導出微元體的熱量；內熱源產生的熱量。導入與導出凈熱量+內熱源發(fā)熱量=熱力學能的增加（1）微元體熱力學能（內能）的增量4.能量變化的分析:（2）導入與導出微元體的熱量

利用導熱基本定律可寫出各個表面上導入和導出微元體的熱量。

沿x軸方向、經x表面導入的熱量：

沿x軸方向、經x+dx表面導出的熱量：xyz沿x

軸方向導入與導出微元體凈熱量沿y軸方向導入與導出微元體凈熱量沿z

軸方向導入與導出微元體凈熱量同理可得：導入與導出凈熱量:（3）微元體內熱源生成的熱量5.導熱微分方程的基本形式非穩(wěn)態(tài)項三個坐標方向凈導入的熱量內熱源項1.若導熱系數也為常數2.若物性參數為常數且無內熱源：二、一些具體情況下的簡化為材料的擴散系數，單位：m2/s3.若物性參數為常數、無內熱源穩(wěn)態(tài)導熱：4.一維穩(wěn)態(tài)含內熱源導熱：5.一維穩(wěn)態(tài)無內熱源導熱：1.圓柱坐標系（r,,z）三、其它坐標系中的導熱微分方程式2.球坐標系（r,

，）四、導熱過程的定解條件

導熱微分方程式的理論基礎：傅里葉定律+能量守恒。描寫物體溫度隨時間和空間變化的關系；沒有涉及具體、特定的導熱過程。是通用表達式。定解條件：使得微分方程獲得某一特定問題的解的附加條件。對于非穩(wěn)態(tài)導熱問題，需要描述初始時刻溫度分布的初始條件，以及給出物體邊界上溫度或換熱的邊界條件。穩(wěn)態(tài)導熱問題僅有邊界條件。導熱問題的完整數學描述：導熱微分方程+定解條件導熱問題常見的邊界條件有三類：1.第一類邊界條件:指定邊界上的溫度分布。0δxtw2tw1例：右圖中最簡單：tw=常數（穩(wěn)態(tài)導熱）非穩(wěn)態(tài)導熱：τ〉0，tw=f1（τ）2.第二類邊界條件:給定邊界上的熱流密度。0δxqw例：右圖中最簡單：qw=常數（穩(wěn)態(tài)導熱）非穩(wěn)態(tài)導熱：τ〉0，qw==f2（τ）3.第三類邊界條件:給定邊界面與流體間的換熱系數和流體的溫度，也稱為對流換熱邊界。0δxhqwtf傅里葉定律：牛頓冷卻定律：例：右圖中其他邊界條件——處理復雜實際工程問題（1）輻射邊界條件：導熱物體表面與溫度為Tc的外界環(huán)境只發(fā)生輻射換熱。（2）界面連續(xù)條件:發(fā)生在不均勻材料中的導熱問題，材料接觸良好，則滿足界面一和界面二上溫度和熱流密度連續(xù)的條件。課下作業(yè)：列出下列問題的的數學描述：1.一塊厚度為d

的平板，兩側的溫度分別為tw1和tw2。（1）導熱系數為常數；（2）導熱系數是溫度的函數。2.一塊厚度為d

的平板，平板內有均勻的內熱源，熱源強度為，平板一側溫度為tw1，平板另一側絕熱。3.一塊厚度為d

的平板，平板內有均勻的內熱源，熱源強度為，平板一側絕熱，平板另一側與溫度為tf

的流體對流換熱，且表面?zhèn)鳠嵯禂禐閔。4.已知一單層圓筒壁的內、外半徑分別為

r1、r2，導熱系數

為常量，無內熱源，內、外壁面維持均勻恒定的溫度tw1，tw2

。rtw2r1r2tw12-3一維穩(wěn)態(tài)導熱穩(wěn)態(tài)導熱通過平壁的導熱,直角坐標系中的一維問題。通過圓筒壁的導熱,圓柱坐標系中的一維問題。通過球殼的導熱,球坐標系中的一維問題。溫度不隨時間而變化。一、通過平壁的導熱

平壁的長度和寬度都遠大于其厚度，且平板兩側保持均勻邊界條件，則該問題就可以歸納為直角坐標系中的一維導熱問題。0δxδ

本章只討論穩(wěn)態(tài)的情況，平壁兩側的邊界條件有給定溫度、給定熱流及對流邊界等情況，此外還有平壁材料的導熱系數是否是常數，是否有內熱源存在等區(qū)分。下面分別介紹。1.無內熱源，λ為常數，兩側均為第一類邊界數學描述:對微分方程直接積分兩次，得微分方程的通解0δxt2t1利用兩個邊界條件將兩個積分常數代入原通解，可得平壁內的溫度分布如下t2t10δxt線性分布利用傅立葉導熱定律可得通過平壁的熱流量λ0、b為常數2.無內熱源，變導熱系數，兩側均為第一類邊界數學描述:t2t10δxt若導熱系數隨溫度線性變化則導熱微分方程變?yōu)閷積分一次得對x再次積分得微分方程的通解利用邊界條件最后得溫度分布為拋物線形式

其拋物線的凹向取決于系數b的正負。當b>0，λ=λ0(1+bt)，隨著t增大，λ增大，即高溫區(qū)的導熱系數大于低溫區(qū)。所以高溫區(qū)的溫度梯度dt/dx較小，而形成上凸的溫度分布。當b<0，情況相反。t2t10δxtb>0b<0熱流密度計算式為:或式中

從中不難看出，λm為平壁兩表面溫度下的導熱系數值的算術平均值，亦為平壁兩表面溫度算術平均值下的導熱系數值。t2t10δxt多層平壁：由幾層導熱系數不同材料組成的復合平壁。3.通過多層平壁的導熱，兩側均為第一類邊界

對于類似這樣的問題，可采用熱阻的概念進行分析。在穩(wěn)態(tài)、無內熱源的情況下，通過各層的熱流量相等。熱流量也等于總溫差比上總熱阻。0xtδ1δ2l1l2t3t1t2二、通過圓筒壁的導熱

圓筒壁就是圓管的壁面。當管子的壁面相對于管長而言非常小，且管子的內外壁面又保持均勻的溫度時，通過管壁的導熱就是圓柱坐標系上的一維導熱問題。rr2r1

r1

r

r21、通過單層圓筒壁的導熱(無內熱源，λ為常數，兩側均為第一類邊界)數學描述:積分上面的微分方程兩次得到其通解為:

t1

r1

t2

r

r2

利用兩個邊界條件將兩個積分常數代入原通解，可得圓筒壁內的溫度分布如下溫度分布是一條對數曲線

t1

r1

t2

r

r2通過圓筒壁的熱流量式中為通過圓筒壁導熱的熱阻2.通過多層圓筒壁的導熱

采用熱阻的概念進行分析。在穩(wěn)態(tài)、無內熱源的情況下，通過各層的熱流量相等。三、通過球殼的導熱

內、外半徑分別為r1、r2，球殼材料的導熱系數為常數，無內熱源，球殼內、外側壁面分別維持均勻恒定的溫度t1、t2。數學描述:溫度分布:熱流量:(2-24)2-4通過肋片的導熱2-4通過肋片的導熱

肋片它是指那些從基礎表面上伸展出來的固體表面。肋的主要作用是通過提高面積來提高傳熱量。一、肋片的分類二、主要問題（1）通過肋片散熱的熱流量；（2）肋片上的溫度分布。三、通過等截面直肋導熱的分析和計算h，t∞

若肋片長度方向的溫度不均可以忽略的話，肋片中的溫度分布應是二維的。但是，如果肋片的很薄，導熱系數很大，肋片厚度方向的溫差近似可以忽略，則，肋片中的溫度常僅是高度x的函數。Hδx0dx

將肋片表面的散熱量虛擬為肋片中的內熱源（吸熱）來進行處理，因此，該問題最終可簡化為一維、穩(wěn)態(tài)、含有內熱源的導熱問題。h，t∞Hδx0dx導熱微分方程內熱源強度的確定：

設橫截面積為Ac，界面的周長為P。對dx的微元段進行分析。h，t∞為了數學求解的方便，令導熱微分方程相應變成該導熱微分方程的通解為第一個邊界條件是在x=H的邊界處，有三種情況Hδx0dxh，t∞H0t0t∞xt0Ht0t∞xtH0t0t∞xt采用第二種情況，頂端絕熱用兩個邊界條件，可以得到兩個未知的常數C1和C2,最后，肋片中的溫度分布可表示為

由肋片散失的全部熱流量都必須通過肋的根部，在此處應用傅立葉定律，可得h，t∞x0此時，肋片頂端的溫度可表示為肋片效率：肋片的實際散熱量

與假定整個肋片表面都處在肋基溫度t0時的理想散熱量

0的比值。四、肋片效率Ht0t∞x0

對于等截面直肋片其肋效率可表示為肋片散熱量的工程計算方法：（2）計算出理想情況下的散熱量

0=hA(t0-t

)（1）由圖線或計算公式得到

f（3）由式

=f

0

計算出實際散熱量

例題2-5五、肋片的優(yōu)化1、最優(yōu)的肋片型式tHt0t∞x0

假定表面?zhèn)鳠嵯禂礹保持常數，對流散熱的熱流密度q將沿肋高逐步下降，因此，肋基處材料的利用率明顯高于靠近肋端的部分，最佳的肋片型式就是希望單位重量的肋片材料發(fā)揮相同的作用，或者說在給定的散熱量下，使肋的材料消耗量最小。

理論研究表明肋片的外形是圓弧的時候最佳。但實際上，由于制造工藝的原因，工程上常用簡單的三