空間點(diǎn)線(xiàn)面的位置關(guān)系

2.1空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系1整理課件觀(guān)察長(zhǎng)方體，你能發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)、棱所在的直線(xiàn)，以及側(cè)面、地面之間的關(guān)系嗎？長(zhǎng)方體由上下、前后、左右六個(gè)面圍成，有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直線(xiàn)與面平行，有些棱所在的直線(xiàn)與面相交；每條棱所在的直線(xiàn)都可以看作是某個(gè)面內(nèi)的直線(xiàn)等等.空間中的點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間有什么位置關(guān)系，是我們接下來(lái)要討論的問(wèn)題.2整理課件1.平面的根本知識(shí)(1)平面與我們學(xué)過(guò)的點(diǎn)、直線(xiàn)、集合等概念一樣都是最根本的概念，即為不加定義的原始概念.(2)平面的根本特征是無(wú)限延展性.平面是理想的，絕對(duì)的平〔平面是處處平直的面〕；

平面沒(méi)有大小、沒(méi)有厚薄和寬窄，是不可度量的.光滑的桌面、平靜的湖面等都是我們熟悉的平面形象，數(shù)學(xué)中的平面概念是現(xiàn)實(shí)平面加以抽象的結(jié)果.思考:能不能說(shuō)一個(gè)平面長(zhǎng)4米,寬2米？為什么?不能.3整理課件畫(huà)法——立體幾何中通常用平行四邊形來(lái)表示平面，

有時(shí)也用圓或三角形等圖形來(lái)表示平面.畫(huà)平面水平放置時(shí)，常把平行四邊形的銳角通常畫(huà)成45°，且橫邊長(zhǎng)等于鄰邊長(zhǎng)的2倍.水平放置?垂直放置為了增強(qiáng)立體感，如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，常把它遮擋的局部用虛線(xiàn)畫(huà)出來(lái).(3)平面的畫(huà)法及表示1.平面的根本知識(shí)4整理課件畫(huà)出兩個(gè)豎直放置的相交平面.練習(xí)5整理課件表示方法：ABCD①把希臘字母等寫(xiě)在代表平面的平行四邊形的一個(gè)角上，如平面，平面.②用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的大寫(xiě)英文字母表示，如平面ABCD.③用表示平面的平行四邊形的相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫(xiě)英文字母表示，如平面AC或者平面BD.(3)平面的畫(huà)法及表示1.平面的根本知識(shí)6整理課件(1)點(diǎn)、線(xiàn)、面的表示點(diǎn)(元素):大寫(xiě)字母A、B、C、D……直線(xiàn)(點(diǎn)的集合):小寫(xiě)英文字母或者兩個(gè)大寫(xiě)英文字母平面(點(diǎn)的集合):用希臘字母表示；用平行四邊形頂點(diǎn)字母或者其相對(duì)兩字母表示.(2)點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的位置關(guān)系的表示用集合中的關(guān)系符號(hào)元素與集合關(guān)系：集合與集合關(guān)系：2.點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系7整理課件ABa點(diǎn)A在直線(xiàn)a上，記作點(diǎn)B不在直線(xiàn)a上，記作點(diǎn)A在平面α上，記作點(diǎn)B不在平面α上，記作ABα(1)點(diǎn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系：(2)點(diǎn)與平面的位置關(guān)系：2.點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系8整理課件(3)直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系：按公共點(diǎn)個(gè)數(shù)分三類(lèi)②直線(xiàn)a與平面α有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，稱(chēng)直線(xiàn)a與平面α相交.

記為：③直線(xiàn)a與平面α沒(méi)有公共點(diǎn)，稱(chēng)直線(xiàn)a與平面α平行.記為：αaαAaαa①直線(xiàn)a與平面α有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，稱(chēng)直線(xiàn)a在平面α內(nèi)，

或稱(chēng)平面α通過(guò)直線(xiàn)a.記為：公理1注1：情況②和③統(tǒng)稱(chēng)為直線(xiàn)a在平面α外，記作2.點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系9整理課件(4)平面與平面的位置關(guān)系：按有否公共點(diǎn)分兩類(lèi)αβaβα①當(dāng)兩個(gè)不同平面α與平面β有公共點(diǎn)時(shí)，它們的公共點(diǎn)組成直線(xiàn)a，稱(chēng)平面α與平面β相交.記作：②當(dāng)平面α與平面β沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，稱(chēng)平面α與平面β平行.記作：公理3注2：當(dāng)平面α上的所有點(diǎn)都在平面β上時(shí)，稱(chēng)平面α與平面β重合.公理2αβ〔當(dāng)兩個(gè)平面有不共線(xiàn)的三個(gè)公共點(diǎn)，那么兩個(gè)平面重合)2.點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系10整理課件小結(jié)：用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的位置關(guān)系：BaααaαAbaAAB練習(xí)αβaβααβ平面α與平面β重合11整理課件桌面αAB觀(guān)察以下問(wèn)題，你能得到什么結(jié)論？直尺落在桌面上〔直線(xiàn)AB在平面α內(nèi)〕3.平面的根本性質(zhì)12整理課件①圖形語(yǔ)言：AB(1)公理1：假設(shè)一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，

那么這條直線(xiàn)在此平面內(nèi).②符號(hào)語(yǔ)言：③該公理反映了直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系：

可用于判定直線(xiàn)是否在平面內(nèi)，點(diǎn)是否在平面內(nèi)，又可用直線(xiàn)檢驗(yàn)平面.3.平面的根本性質(zhì)13整理課件思考：兩個(gè)平面會(huì)不會(huì)只有一個(gè)公共點(diǎn)呢？不會(huì)！因?yàn)槠矫媸菬o(wú)限延展的.因此，兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，必然有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，并且這些公共點(diǎn)在一條直線(xiàn)上.3.平面的根本性質(zhì)14整理課件P(2)公理3：假設(shè)兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，

那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn).①圖形語(yǔ)言：②符號(hào)語(yǔ)言：③該公理反映了平面與平面的位置關(guān)系：i)該公理是用以判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)：只要兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，就可判定這兩個(gè)平面必相交于過(guò)該點(diǎn)的一條直線(xiàn).(找兩個(gè)面的交線(xiàn)只要找出兩個(gè)面的兩個(gè)公共點(diǎn)即可)ii)該公理可用以判定點(diǎn)在直線(xiàn)上：點(diǎn)是某兩平面的公共點(diǎn)，線(xiàn)是這兩個(gè)平面的公共交線(xiàn)，那么該點(diǎn)在交線(xiàn)上.3.平面的根本性質(zhì)15整理課件CBA觀(guān)察以下問(wèn)題，你能得到什么結(jié)論？自行車(chē)需要一個(gè)支腳架就可以保持平衡.3.平面的根本性質(zhì)16整理課件ABC(3)公理2：

經(jīng)過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.①圖形語(yǔ)言：②符號(hào)語(yǔ)言：③定義的說(shuō)明：過(guò)不在一條直線(xiàn)上的四點(diǎn)，不一定有平面.故要充分重視“不在一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)〞這一條件；“有且只有一個(gè)〞強(qiáng)調(diào)的是存在性和唯一性?xún)煞矫?，不能用“只有一個(gè)〞替代；確定一個(gè)平面的“確定〞是“有且只有〞的同義詞.3.平面的根本性質(zhì)17整理課件推論1經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和這條直線(xiàn)外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.證明：存在性.因?yàn)锳

a，在a上任取兩點(diǎn)B，C.所以過(guò)不共線(xiàn)的三點(diǎn)A，B，C有一個(gè)平面.〔公理2〕因?yàn)锽∈，C∈，故經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和直線(xiàn)a有一個(gè)平面.ABCa因?yàn)锽，C在a上，所以過(guò)直線(xiàn)a和點(diǎn)A的平面一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，C.由公理2，經(jīng)過(guò)不共線(xiàn)三點(diǎn)A，B，C的平面只有一個(gè)，所以過(guò)直線(xiàn)a和點(diǎn)A的平面只有一個(gè).唯一性.所以a

.（公理1）點(diǎn)Aa，求證過(guò)點(diǎn)A和直線(xiàn)a可以確定一個(gè)平面.3.平面的根本性質(zhì)18整理課件推論2

經(jīng)過(guò)兩條相交直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面.推論3

經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面.baαabα推論1經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和這條直線(xiàn)外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.ABCa注3：公理2及其三個(gè)推論是確定平面以及判斷兩個(gè)平面重合的依據(jù)，是證明點(diǎn)、線(xiàn)共面的依據(jù)，也是作截面、輔助平面的依據(jù).ABC公理2：經(jīng)過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.練習(xí)3.平面的根本性質(zhì)19整理課件abced我們知道,在同一平面內(nèi),如果兩條直線(xiàn)都和第三條直線(xiàn)平行,那么這兩條直線(xiàn)互相平行.在空間這一規(guī)律是否還成立呢?觀(guān)察:將一張紙如圖進(jìn)行折疊,那么各折痕及邊a,b,c,d,e,…之間有何關(guān)系？a∥b∥c∥d∥e∥…3.平面的根本性質(zhì)20整理課件符號(hào)表示:caabcc(4)公理4：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行.aα①平行具有傳遞性；注4：②該公理是判斷空間兩條直線(xiàn)平行的方法之一.即要證明兩條直線(xiàn)平行，一般利用第三條直線(xiàn)作為聯(lián)系兩直線(xiàn)的中間環(huán)節(jié).3.平面的根本性質(zhì)21整理課件例1在正方體ABCD—A1B1C1D1中，直線(xiàn)AB與C1D1，AD1與BC1是什么位置關(guān)系？為什么？解：C1ABCDA1B1D11〕∵AB∥A1B1，C1D1∥A1B1，∴AB∥C1D1

2〕∵AB∥C1D1，且AB=C1D1∴ABC1D1為平行四邊形故AD1∥BC1

練習(xí)：上例中，AA1與CC1，AC與A1C1的位置是什么關(guān)系？22整理課件例2ABCD是四個(gè)頂點(diǎn)不在同一個(gè)平面內(nèi)的空間四邊形，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，連結(jié)EF，F(xiàn)G，GH，HE，求證：EFGH是一個(gè)平行四邊形.問(wèn)1:假設(shè)上例加上條件AC=BD，那么四邊形EFGH是一個(gè)什么圖形？“見(jiàn)中點(diǎn)找中點(diǎn)〞構(gòu)造三角形的中位線(xiàn)是證明平行的常用方法．∵EH是△ABD的中位線(xiàn)，∴EH∥FG且EH=FG．∴EFGH是一個(gè)平行四邊形．證明：連結(jié)BD，同理，F(xiàn)G∥BD且FG=BD．

∴EH∥BD且EH=BD．ABDEFGHC菱形問(wèn)2:假設(shè)上例中四邊形EFGH為矩形，AC與BD垂直嗎？另注：平行線(xiàn)段成比例練習(xí)23整理課件√√√24整理課件ABCDA1B1C1D1OABCDA1B1C1D1EF找兩平面的兩個(gè)公共點(diǎn)例幾何體中的截面問(wèn)題〔兩平面的交線(xiàn)問(wèn)題〕25整理課件Q即交線(xiàn)為QN例幾何體中的截面問(wèn)題〔兩平面的交線(xiàn)問(wèn)題〕拓展26整理課件4.點(diǎn)線(xiàn)共面問(wèn)題(1)證明的主要依據(jù)：公理1；公理2及其三個(gè)推論.(2)證明的常用方法：①納入平面法：先由局部元素確定一個(gè)平面，再證明其余有關(guān)的點(diǎn)、線(xiàn)在此平面內(nèi)；②輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線(xiàn)確定平面，再證明其余元素確定平面，最后證明平面、重合.27整理課件例1證明兩兩相交且不同點(diǎn)的三條直線(xiàn)必在同一個(gè)平面內(nèi).ABC：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C求證：直線(xiàn)AB，BC，AC共面.證明：因?yàn)锳B∩AC=A，所以直線(xiàn)AB，AC確定一個(gè)平面.〔推論2〕因?yàn)锽∈AB，C∈AC，所以B∈

，C∈

，故BC.〔公理1〕因此直線(xiàn)AB，BC，CA共面.確定一個(gè)面，再證明其余線(xiàn)在該面內(nèi).4.點(diǎn)線(xiàn)共面問(wèn)題28整理課件證法二：因?yàn)锳

直線(xiàn)BC上，所以過(guò)點(diǎn)A和直線(xiàn)BC確定平面.〔推論1〕因?yàn)锽∈BC，所以B∈

.又A∈

，

故AB

，同理AC

，所以AB，AC，BC共面.ABC例1證明兩兩相交且不同點(diǎn)的三條直線(xiàn)必在同一個(gè)平面內(nèi).證法三：因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不在一條直線(xiàn)上，所以過(guò)A，B，C三點(diǎn)可以確定平面.〔公理2〕因?yàn)锳∈，B∈，所以AB.〔公理1〕同理BC

，AC

，所以AB，BC，CA三直線(xiàn)共面.4.點(diǎn)線(xiàn)共面問(wèn)題29整理課件4.點(diǎn)線(xiàn)共面問(wèn)題30整理課件P515證明：一條直線(xiàn)與兩條平行直線(xiàn)都相交，那么這三條直線(xiàn)共面.：a//b，a∩c=A，b∩c=B.求證：直線(xiàn)a，b，c共面.證明：因?yàn)閍//b，所以直線(xiàn)a，b確定一個(gè)平面.〔推論3〕因?yàn)锳∈a，B∈b，所以A∈，B∈.又因?yàn)锳∈c，B∈c.故AB.〔公理1〕因此直線(xiàn)a，b，c共面.4.點(diǎn)線(xiàn)共面問(wèn)題31整理課件例2一條直線(xiàn)與三條平行直線(xiàn)都相交，證明這四條直線(xiàn)共面.：a//b//c，a∩l=A，b∩l=B,c∩l=C.求證：直線(xiàn)l與a，b，c共面.證明：∵a//b，∴直線(xiàn)a，b確定一個(gè)平面.〔推論3〕∵l∩a=A，

l

∩b=B，∴A∈

，B∈

.又A∈l，B∈l，故l

.同理，直線(xiàn)b，c確定一個(gè)平面

，且l

.∴平面

與

都過(guò)兩相交直線(xiàn)b，l.又∵兩相交直線(xiàn)確定一個(gè)唯一的平面.∴

與

重合.故l與a，b，c共面.證明兩個(gè)平面重合是證明直線(xiàn)在平面內(nèi)問(wèn)題的重要方法.4.點(diǎn)線(xiàn)共面問(wèn)題32整理課件練a，b，a∩b=A，P∈b，PQ//a.求證：PQ.4.點(diǎn)線(xiàn)共面問(wèn)題33整理課件(1)證明的主要依據(jù)是公理3：如果兩個(gè)平面相交，那么這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)共線(xiàn)；如果兩個(gè)平面相交，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)和另一平面的交點(diǎn)必在這兩個(gè)平面的交線(xiàn)上.(2)證明的常用方法：①首先找出兩個(gè)平面，再證這三個(gè)點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)；②選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，然后證明另一個(gè)點(diǎn)也在其上〔一般地，這條直線(xiàn)看作某兩個(gè)平面的交線(xiàn)，往證第三個(gè)點(diǎn)也是兩個(gè)面的公共點(diǎn)〕；③證明三線(xiàn)共點(diǎn)問(wèn)題：先證明兩條直線(xiàn)交于一個(gè)點(diǎn)，再證明第三條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)〔轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在線(xiàn)上的問(wèn)題〕5.證明三點(diǎn)共線(xiàn)、三線(xiàn)共點(diǎn)的問(wèn)題34整理課件例1三角形ABC的三條邊AB、BC、AC與平面α分別交于P、Q、R.求證：P、Q、R共線(xiàn).BAQRCP證明：同理Q、R也為公共點(diǎn)，所以P、Q、R共線(xiàn).要證明各點(diǎn)共線(xiàn)，只要證明他們是兩個(gè)相交平面的公共點(diǎn).5.證明三點(diǎn)共線(xiàn)、三線(xiàn)共點(diǎn)的問(wèn)題35整理課件P533空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB和CB上的點(diǎn)，G，H分別是CD和AD上的點(diǎn)，且EH與FG相交于K.求證：EH，BD，F(xiàn)G三條直線(xiàn)相交于同一點(diǎn).分析：EH∩FG=K，要證EH，BD，F(xiàn)G共點(diǎn).即要證明B，D，K三點(diǎn)共線(xiàn).而B(niǎo)D是面ABD和面CBD的交線(xiàn).所以往證K∈面ABD∩面CBD.而顯然，由EH∈面ABD，K∈EH，可得K∈面ABD.同理，由FG∈面CBD，K∈FG，可得K∈面CBD.5.證明三點(diǎn)共線(xiàn)、三線(xiàn)共點(diǎn)的問(wèn)題36整理課件37整理課件小結(jié)：空間點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系平面的根本性質(zhì)〔四個(gè)公理〕證明直線(xiàn)平行的常用方法點(diǎn)線(xiàn)共面，三線(xiàn)共點(diǎn)，三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題的證明作業(yè)：P515、6P53B組2、3P783、4、8精講精練：P189、838整理課件“見(jiàn)中點(diǎn)找中點(diǎn)〞構(gòu)造三角形的中位線(xiàn)是證明平行的常用方法．P784,5EFG(2)立體幾何中求解平面的角度邊長(zhǎng)面積等問(wèn)題時(shí)，注意重新畫(huà)出圖形，結(jié)合幾何體找出邊角關(guān)系并利用平面圖形性質(zhì)求解問(wèn)題.back39整理課件例幾何體中的截面問(wèn)題〔兩平面的交線(xiàn)問(wèn)題〕精講精練P24〔正方體的截面形狀的研究〕back40整理課件正方體截面形狀小結(jié)形狀特殊情形三角形銳角三角形等腰三角形等邊三角形四邊形平行四邊形長(zhǎng)方形正方形梯形不可能是直角梯形五邊形注意：該五邊形必有兩組分別平行的邊，且不可能是正五邊形六邊形注意：該六邊形必有分別平行的邊，且可以是正六邊形41整理課件例幾何體中的截面問(wèn)題〔兩平面的交線(xiàn)問(wèn)題〕正方體中，試畫(huà)出過(guò)其中三條棱的中點(diǎn)P，Q，R的平面截得正方體的截面形狀．back42整理課件正方體中，試畫(huà)出過(guò)其中三條棱的中點(diǎn)P，Q，R的平面截得正方體的截面形狀．S即交線(xiàn)為RS交AA1于中點(diǎn)GKGHST即交線(xiàn)為QT交CC1于中點(diǎn)HT例幾何體中的截面問(wèn)題〔兩平面的交線(xiàn)問(wèn)題〕back43整理課件KGHJ例幾何體中的截面問(wèn)題〔兩平面的交線(xiàn)問(wèn)題〕正方體中，試畫(huà)出過(guò)其中三條棱的中點(diǎn)P，Q，R的平面截得正方體的截面形狀．back44整理課件*畫(huà)出四面體ABCD中過(guò)E,F,G三點(diǎn)的截面與四面體各面的交線(xiàn).P即交線(xiàn)為GPDH