固態(tài)電子XXXX-第二章晶體衍射

固態(tài)電子XXXX-第二章晶體衍射第二章晶體衍射

晶體內(nèi)原子的間距在納米量級，由于晶體內(nèi)原子的周期性排列使它可成為特定波長光線的衍射光柵。利用晶體對光的衍射現(xiàn)象，X射線與電子、中子波的發(fā)現(xiàn)為人類認識晶體的結(jié)構(gòu)提供了有效的探測方法。入射光線受晶體內(nèi)原子的散射，由于晶體的周期性排列，在散射方向上散射光發(fā)生衍射現(xiàn)象。盡管在各種探測方式中散射的機理各不相同，但衍射光的強度都與晶體的具體結(jié)構(gòu)有關(guān)，因此對衍射光的研究可以了解作為衍射光柵的該晶體內(nèi)部的具體情況，這就是晶體衍射對研究晶體結(jié)構(gòu)的重要意義。圖2.1晶體原子對平行光的散射A和B為晶體中任意兩個原子，取A為原點，B原子的格矢為Rl，入射光可看做波矢為k0的平面波，散射光的波矢為k。兩個原子產(chǎn)生的散射波的相位差為：散射波的幅度應為來自兩個原子散射波的幅度之和：其中αA和αB分別為原子A和B的散射波的幅度。在晶體由同種原子組成的情形，αA=αB=α12

如果考慮晶體中所有原子對k方向散射波的貢獻，則k方向上所有散射波相互作用得到的衍射波的幅度應為：式中αj為第j個原子的散射波幅度，而Rj為其格矢，N為晶體原子總數(shù)。由此可得，k方向的衍射波強度I(k)為：上式表明衍射波的強度（可由衍射圖形觀察）與晶體中原子（及各種微粒）的位置分布有關(guān)。反之，由衍射波強度理論上就可以得到關(guān)于晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的相關(guān)信息。返回根據(jù)原胞基矢定義三個新的矢量——倒格子基矢量以為基矢，可以構(gòu)成一個倒格子倒格子每個格點的位矢h1h2h3為整數(shù)——稱為倒格子矢量（倒格矢）§2.1倒格子與布里淵區(qū)一、倒格子的定義

我們稱以a1、a2、a3為基矢的晶體晶格為正格子，倒格子是虛構(gòu)的格子，和正格子一樣，也是周期分布的，二者的基矢之間必須滿足如下的關(guān)系：

我們來看看兩個格子基矢的幾何關(guān)系：鏈接在倒格矢的定義中，即為正格子原胞的體積。正格矢和倒格矢有不同的量綱，正格子對應的是位置空間或坐標空間，而倒格子對應的空間我們稱為狀態(tài)空間（也稱倒空間，波矢空間）。二、倒格子基矢的計算

⒈二維正方晶格的倒格子基矢

⒉三維立方晶格的倒格子基矢（邊長為a）⑴簡單立方晶格⑵面心立方晶格⑶體心立方晶格

注：面心立方格子的倒格子是體心立方，體心立方的倒格子是面心立方。簡單立方晶格面心立方晶格體心立方晶格三、倒格子與正格子間的關(guān)系⒈正格子原胞體積Ω與倒格子原胞體積Ω

之間的關(guān)系*⒉正格子中晶面族和倒格矢正交

——可以證明與晶面族正交（即法線方向）同樣，若有一個倒格矢G`h=nGh1h2h3

，同樣有推論——若兩矢量滿足上式，其中一個是正格矢，則另一個必為倒格矢（最短倒格矢或其整數(shù)倍），反之亦然。⒊若h1、h2、h3為互質(zhì)整數(shù)，則為該倒格矢方向的最短倒格矢，它和晶面族（h1h2h3）的面間距d之間的關(guān)系為：

⒋正格矢Rl1l2l3

=l1a1+l2a2+l3a3

與倒格矢Gh1h2h3之間滿足關(guān)系式：——m為整數(shù)——m為整數(shù)練習題：如圖為一簡單正交布喇菲格子，邊長為a、b、c，各邊兩兩垂直，格點均在頂角上。試證明晶面（hkl）的面間距為：四、布里淵區(qū)的概念

在倒格子中，以某個倒格點為原點，作出它到其他所有倒格點的矢量的垂直平分面，這些面將倒空間分割成由內(nèi)至外體積相等的區(qū)域，即為布里淵區(qū)（縮寫為B.Z），最中心的一個區(qū)域，稱為第一布里淵區(qū)，其他以此類推。一維晶格、一維晶格的倒格子和第一布里淵區(qū)：第一布里淵區(qū)第二布里淵區(qū)再看看二維矩形倒格子的布里淵區(qū)的劃分：圖2.4二維矩形格子的倒格子和其布里淵區(qū)示意圖注意以下幾個問題：

⒈每一個布里淵區(qū)既可以是一個單一的空間區(qū)域，也可以是多個小區(qū)域的集合；⒉每個布里淵區(qū)的體積都相等，都等于倒格子原胞體積Ω*；圖2.5面心立方晶格和體心立方晶格的第一布里淵區(qū)某晶體的電子衍射圖像§2.2晶體的衍射極大條件一、勞厄方程

簡化條件：①簡單B格子（單原子晶體）②入射光和散射光都是平行光③散射前后波長不變（方向改變）入射光：波長λ波矢

單位矢量為

散射光：波長λ波矢

單位矢量為

圖2.6單原子晶體對入射光的散射

能得到衍射極大的波矢k的光程差應該滿足：

上式稱為勞厄（衍射）方程，它決定了能發(fā)生衍射極大方向的條件。由勞厄方程可以推出，當衍射波矢與入射波矢之間滿足：即

時，出現(xiàn)衍射極大。結(jié)論(意義)：當衍射波矢和入射波矢相差一個或n個最短倒格矢時，該衍射方向滿足衍射極大條件，其中的n稱為衍射級數(shù)，（nh1nh2nh3）稱為衍射面指數(shù)。其中μ為整數(shù)其中μ為整數(shù)二、布拉格反射條件

勞厄方程關(guān)于衍射條件的討論涉及到波矢和倒格矢，通常還有一種在正格子中描述衍射條件的方法——布拉格反射。設k方向是衍射極大方向。

作矢量三角形△OAB，令矢量

若沿波矢k方向能發(fā)生衍射極大，則：

A、B應該各對應一個倒格點。

由倒格子的性質(zhì)可知，過O點與AB矢量垂直的平面MN屬于晶面族（h1h2h3），此時衍射極大的方向恰沿入射波對晶面（h1h2h3）的鏡面反射方向，稱此為布拉格反射條件。圖2.7布拉格反射條件

由矢量圖可以得到：根據(jù)倒格子的性質(zhì)，若dh1h2h3為晶面族（h1h2h3）的面間距，則上式稱為布拉格反射公式，n代表衍射級數(shù),θ稱為反射角。注：勞厄方程與布拉格反射是兩個等價的表示衍射加強條件的方法，布拉格反射的物理機理仍然是所有格點的散射波的相長干涉，與入射波在晶體表面的鏡面反射無關(guān)，實際上布拉格反射涉及的晶面族（h1h2h3）更完全可以不是晶體實際顯露在外的表面。

布拉格反射條件意義:在一個晶面上，各個格點的散射波相互加強的條件是入射角與反射角相等，入射線、散射線和晶面法線在同一平面上；而引起晶面族各晶面之間的格點的散射波加強的條件，則是該晶面的面間距需要滿足布拉格反射公式，即如右圖所示。圖2.8布拉格反射條件的意義Ⅹ射線在晶體中的衍射，實質(zhì)上是晶體中各原子相干散射波之間互相干涉的結(jié)果。但因衍射線的方向恰好相當于原子面對入射線的反射，故可用布拉格定律代表反射規(guī)律來描述衍射線束的方向。但應強調(diào)指出，x射線從原子面的反射和可見光的鏡面反射不同，前者是有選擇地反射，其選擇條件為布拉格定律；而一束可見光以任意角度投射到鏡面上時都可以產(chǎn)生反射，即反射不受條件限制。因此，將x射線的晶面反射稱為“選擇反射”，反射之所以有選擇性，是晶體內(nèi)若干原子面反射線干涉的結(jié)果。厄瓦爾德反射球那些落在球面上的倒格點才能產(chǎn)生衍射加強!E圖2.9厄瓦爾德反射球模型§2.3原子散射因子和幾何結(jié)構(gòu)因子一、原子散射因子

從衍射圖形推斷晶體的結(jié)構(gòu)，除了要考慮衍射斑的分布（即衍射加強的方向）外還需要考慮衍射斑的強度。從前面的推導可知，衍射束的強度應與原子對入射波的散射幅度α有關(guān)。通常將原子對入射波的散射本領(lǐng)用原子散射因子f來表示。f的定義是：整個原子對于入射波的散射幅度與一個假設位于原子核處的電子的散射幅度的比。二、幾何結(jié)構(gòu)因子

實際研究發(fā)現(xiàn)，衍射斑強度還與晶體晶胞結(jié)構(gòu)有關(guān)。前面關(guān)于倒格子的概念和晶體的衍射條件都是根據(jù)原胞來推導的，實際對于晶胞上述理論也同樣適用。尤其是對于復式格子，更需要考慮的是晶胞內(nèi)每個微粒對入射光的散射情況。幾何結(jié)構(gòu)因子的定義是：對于一定的入射方向，晶胞內(nèi)所有原子或離子沿某一方向的散射波幅度與一個電子的散射波的幅度之比，用F（K）表示：

其中，K=k-k0仍代表散射波與入射波的波矢矢量差，而rj為晶胞內(nèi)某個原子或離子的位矢。

最簡單的布拉伐格子只由一種原子組成，而且每個晶胞只有一個原子，它分布在晶胞的頂角上，單位晶胞的散射強度相當于一個原子的散射強度。而在復雜點陣中，晶胞里含有n個相同或不同種類的原子，它們除占據(jù)晶胞的頂角外，還可能出現(xiàn)在體心、面心或其他位置。復雜點陣晶胞的散射波振幅應為晶胞中各原子的散射振幅的矢量合成。由于衍射線的相互干涉，某些方向的強度將會加強，而某些方向的強度將會減弱甚至消失,這種規(guī)律稱為系統(tǒng)消光（或結(jié)構(gòu)消光）。注意晶體的原子散射因子和幾何結(jié)構(gòu)因子對晶體衍射的影響三、f和F(K)對晶體衍射的影響考慮理論上衍射極大的方向，即則每個晶胞的所有共N個晶胞在衍射極大方向上散射波的總幅度為：利用正、倒格子基矢之間性質(zhì)衍射光的強度指數(shù)上的為1每個晶胞都是一樣的，故因此，衍射光的強度即例題1.體心立方簡單格子的衍射強度：兩個微粒分別在：(0,0,0)和(1/2,1/2,1/2)=1=0=0nh、nk、nl代表著晶體的衍射面指數(shù)，它們都為整數(shù)，而衍射光的強度則取決于其奇、偶性?？梢钥闯?，當晶體的衍射面指數(shù)之和為奇數(shù)時，衍射強度為零，亮班消失——消光。例題2：討論NaCl晶體的消光產(chǎn)生的條件。設晶胞中Na離子位于：

Cl離子位于：則衍射加強方向上的光強度為：經(jīng)過化簡，所有的正旋值都為0，上式變?yōu)椋河懻摚孩女攏h、nk、nl三者全為奇數(shù)時：則任意二者和為偶數(shù)，三者和為奇數(shù)，代入⑵當nh、nk、nl三者全為偶數(shù)時：則任意二者和為偶數(shù)，三者和為偶數(shù)，代入——衍射光斑最亮⑶當nh、nk、nl兩奇一偶或兩偶一奇時：設nh、nk為奇數(shù)，nl為偶數(shù)，則有nh+nk、nh+nk+nl為偶數(shù)，而nh+nl、nk+nl為奇數(shù)，代入綜上：當衍射面指數(shù)不全為奇數(shù)或偶數(shù)時，衍射將出現(xiàn)消光現(xiàn)象。本章主要內(nèi)容回顧：⒈兩個重要的概念：