上海市黃浦區(qū)2024屆數(shù)學高二上期末調研試題含解析

上海市黃浦區(qū)2024屆數(shù)學高二上期末調研試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．為推動黨史學習教育各項工作扎實開展，營造“學黨史、悟思想、辦實事、開新局”的濃厚氛圍，某校黨委計劃將中心組學習、專題報告會、黨員活動日、主題班會、主題團日這五種活動分5個階段安排，以推動黨史學習教育工作的進行，若主題班會、主題團日這兩個階段相鄰，且中心組學習必須安排在前兩階段并與黨員活動日不相鄰，則不同的安排方案共有（）A.10種 B.12種C.16種 D.24種2．已知是橢圓上的一點，則點到兩焦點的距離之和是（）A.6 B.9C.14 D.103．如圖在中，，，在內作射線與邊交于點，則使得的概率是（）A. B.C. D.4．已知等比數(shù)列滿足，則（）A.168 B.210C.672 D.10505．紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品,其制作始于明朝正德年間.紫砂壺的壺型眾多,經典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等.其中,石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺(即圓錐用平行于底面的平面截去一個錐體得到的).下圖給出了一個石瓢壺的相關數(shù)據(jù)(單位:cm),那么該壺的容量約為（）A.100 B.C.300 D.4006．下列推理中屬于歸納推理且結論正確的是（）A.由，求出，，，…，推斷：數(shù)列的前項和B.由滿足對都成立，推斷：為奇函數(shù)C.由半徑為的圓的面積，推斷單位圓的面積D.由，，，…，推斷：對一切，7．即空氣質量指數(shù)，越小，表明空氣質量越好，當不大于100時稱空氣質量為“優(yōu)良”.如圖是某市3月1日到12日的統(tǒng)計數(shù)據(jù).則下列敘述正確的是A.這天的的中位數(shù)是B.天中超過天空氣質量為“優(yōu)良”C.從3月4日到9日，空氣質量越來越好D.這天的的平均值為8．已知向量，，則下列向量中，使能構成空間的一個基底的向量是（）A. B.C. D.9．已知，則（）A. B.C. D.10．設集合，則AB=（）A.{2} B.{2，3}C.{3，4} D.{2，3，4}11．數(shù)學家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線．已知的頂點，，若其歐拉線的方程為，則頂點的坐標為（）A. B.C. D.12．拋物線的焦點坐標為A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線：，若直線與拋物線C相交于M，N兩點，則_______________.14．已知為坐標原點，、分別是雙曲線的左、右頂點，是雙曲線上不同于、的動點，直線、與軸分別交于點、兩點，則________15．向量，，若，且，則的值為______.16．已知，若在區(qū)間上有且只有一個極值點，則a的取值范圍是______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線l過定點（1）若直線l與直線垂直，求直線l的方程；（2）若直線l在兩坐標軸上的截距相等，求直線l的方程18．（12分）已知直線經過拋物線的焦點，且與拋物線相交于兩點.（1）若直線的斜率為1，求；（2）若，求直線的方程.19．（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線1與坐標軸的交點都在圓C上（1）求圓C的方程；（2）設過點P(0，－2)的直線l與圓C交于A，B兩點，且AB＝2，求l的方程20．（12分）已知函數(shù)，其中a為正數(shù)（1）討論單調性；（2）求證：21．（12分）如圖，在正方體中，為的中點，點在棱上（1）若，證明：與平面不垂直；（2）若平面，求平面與平面的夾角的余弦值22．（10分）設點P是曲線上的任意一點，k是該曲線在點P處的切線的斜率（1）求k的取值范圍；（2）求當k取最大值時，該曲線在點P處的切線方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】對中心組學習所在的階段分兩種情況討論得解.【詳解】解：如果中心組學習在第一階段，主題班會、主題團日在第二、三階段，則其它活動有2種方法；主題班會、主題團日在第三、四階段，則其它活動有1種方法；主題班會、主題團日在第四、五階段，則其它活動有1種方法，則此時共有種方法；如果中心組學習在第二階段，則第一階段只有1種方法，后面的三個階段有種方法.綜合得不同的安排方案共有10種.故選:A2、A【解析】根據(jù)橢圓的定義，可求得答案.【詳解】由可知：，由是橢圓上的一點，則點到兩焦點的距離之和為，故選：A3、C【解析】由題意可得，根據(jù)三角形中“大邊對大角，小邊對小角”的性質，將轉化為求的概率，又因為，，從而可得的概率【詳解】解：在中，，，所以，即，要使得，則，又因為，，則的概率是故選：C【點睛】本題考查幾何概型及其計算方法的知識，屬于基礎題4、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質求得，再根據(jù)，即可求得結果.【詳解】等比數(shù)列滿足,設等比數(shù)列的公比為q,所以,解得，故，故選：C5、B【解析】根據(jù)圓臺的體積等于兩個圓錐的體積之差，即可求出【詳解】設大圓錐的高為，所以，解得故故選：B【點睛】本題主要考查圓臺體積的求法以及數(shù)學在生活中的應用，屬于基礎題6、A【解析】根據(jù)歸納推理是由特殊到一般，推導結論可得結果.【詳解】對于A，由，求出，，，…，推斷：數(shù)列的前項和，是由特殊推導出一般性的結論，且，故A正確；B和C屬于演繹推理，故不正確；對于D，屬于歸納推理，但時，結論不正確，故D不正確.故選：A.7、C【解析】這12天的AQI指數(shù)值的中位數(shù)是，故A不正確；這12天中，空氣質量為“優(yōu)良”的有95，85，77，67，72，92共6天，故B不正確；；從4日到9日，空氣質量越來越好，，故C正確；這12天的指數(shù)值的平均值為110，故D不正確.故選C8、D【解析】根據(jù)向量共面基本定理只需無解即可滿足構成空間向量基底，據(jù)此檢驗各選項即可得解.【詳解】因為，所以A中的向量不能與，構成基底；因為，所以B中的向量不能與，構成基底；對于，設，則，解得，，所以，故，，為共面向量，所以C中的向量不能與，構成基底；對于，設，則，此方程組無解，所以，，不共面，故D中的向量與，可以構成基底.故選：D9、B【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及求導法則求導函數(shù)即可.【詳解】.故選：B.10、B【解析】按交集定義求解即可.【詳解】AB={2，3}故選：B11、A【解析】設，計算出重心坐標后代入歐拉方程，再求出外心坐標，根據(jù)外心的性質列出關于的方程，最后聯(lián)立解方程即可.【詳解】設，由重心坐標公式得，三角形的重心為，，代入歐拉線方程得：，整理得：①的中點為，，的中垂線方程為，即聯(lián)立，解得的外心為則，整理得：②聯(lián)立①②得：，或，當，時，重合，舍去頂點的坐標是故選：A【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵一是求出外心，二是根據(jù)外心的性質列方程.12、D【解析】拋物線的標準方程為，從而可得其焦點坐標【詳解】拋物線的標準方程為，故其焦點坐標為，故選D.【點睛】本題考查拋物線的性質，屬基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】直線方程代入拋物線方程，應用韋達定理根據(jù)弦長公式求弦長【詳解】設，由得，所以，，故答案為：814、3【解析】求得坐標，設出點坐標，求得直線的方程，由此求得兩點的縱坐標，進而求得.【詳解】依題意，設，則，直線的方程為，則，直線的方程為，則，所以.故答案為：15、【解析】根據(jù)可求出，再根據(jù)向量垂直即可求出，即可得出答案.【詳解】因為，，所以，解得，又因為，所以，解得，所以.故答案為：.16、【解析】求導得，進而根據(jù)題意在上有且只有一個變號零點，再根據(jù)零點的存在性定理求解.【詳解】解：，∵在區(qū)間上有且只有一個極值點，∴在上有且只有一個變號零點，∴，解得∴a的取值范圍是.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】(1)求出直線的斜率可得l的斜率，再借助直線點斜式方程即可得解.(2)按直線l是否過原點分類討論計算作答.【小問1詳解】直線的斜率為，于是得直線l的斜率，則，即，所以直線l的方程是：.【小問2詳解】因直線l在兩坐標軸上的截距相等，則當直線l過原點時，直線l的方程為：，即，當直線l不過原點時，設其方程為：，則有，解得，此時，直線l的方程為：，所以直線l的方程為：或.18、（1）8（2）【解析】（1）設，由，進而結合拋物線的定義，將點到焦點的距離轉化為到準線的距離，最后求得答案；（2）由，所以，設出直線方程并代入拋物線方程，進而結合根與系數(shù)的關系求得答案.【小問1詳解】設，拋物線的準線方程為：，因為，由拋物線定義可知，.直線，代入拋物線方程化簡得：，則，所以.【小問2詳解】設，代入拋物線方程化簡得：，所以，因為，所以，于是則直線的方程為：.19、（1）（2）或【解析】（1）求出曲線與坐標軸的交點坐標，設出圓的一般方程，代入求解；（2）分類討論，斜率不存在時，直接驗證，斜率存在時，設直線方程，求出圓心到直線的距離，由勾股定理求解【小問1詳解】時，，又得，，所以三交點為，設圓方程為，則，解得，圓方程為；【小問2詳解】由（1）知圓標準方程為，圓心為，半徑為，直線斜率不存在時，直線為，它與圓的兩交點為，滿足題意；斜率存在時，設直線方程為，即，圓心到的距離為，又，所以，，直線方程為即所以直線方程是：或20、（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】（1）求解函數(shù)的導函數(shù)，并且求的兩個根，然后分類討論，和三種情況下對應的單調性；（2）令，通過二次求導法，判斷函數(shù)的單調性與最小值，設的零點為，求出取值范圍，最后將轉化為的對勾函數(shù)并求解最小值，即可證明出不等式.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為∵令得∵，∴，得或①當，即時，時，或；時，.∴在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增②當，即時，時，或；時，.∴在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增③當，即時，∴在上單調遞增綜上所述：當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增【小問2詳解】令，（）∴，令∴，∴在上單調遞增又∵，，∴使得，即（*）∴當時，，∴，∴單調遞減∴當時，，∴，∴單調遞增∴，（）由（*）式可知：，∴，∴∵，∴函數(shù)單調遞減∴，∴∴【點睛】求解本題的關鍵是利用二次求導法，通過虛設零點，求解原函數(shù)的單調性與最小值，并通過最小值的取值范圍證明不等式.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）設正方體的棱長為，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，計算出，即可證得結論成立；（2）利用空間向量法可求得平面與平面的夾角的余弦值.【小問1詳解】證明：以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為