黃昆版固體物理學(xué)課后答案答案

...wd......wd......wd...《固體物理學(xué)》習(xí)題解答黃昆原著韓汝琦改編〔陳志遠解答，僅供參考〕第一章晶體構(gòu)造1.1、解：實驗說明，很多元素的原子或離子都具有或接近于球形對稱構(gòu)造。因此，可以把這些原子或離子構(gòu)成的晶體看作是很多剛性球嚴(yán)密堆積而成。這樣，一個單原子的晶體原胞就可以看作是一樣的小球按點陣排列堆積起來的。它的空間利用率就是這個晶體原胞所包含的點的數(shù)目n和小球體積V所得到的小球總體積nV與晶體原胞體積Vc之比，即：晶體原胞的空間利用率，〔1〕對于簡立方構(gòu)造：〔見教材P2圖1-1〕a=2r，V=，Vc=a3，n=1∴〔2〕對于體心立方：晶胞的體對角線BG=n=2,Vc=a3∴〔3〕對于面心立方：晶胞面對角線BC=n=4，Vc=a3〔4〕對于六角密排：a=2r晶胞面積：S=6=晶胞的體積：V=n=12=6個〔5〕對于金剛石構(gòu)造，晶胞的體對角線BG=n=8,Vc=a31.2、試證：六方密排堆積構(gòu)造中證明：在六角密堆積構(gòu)造中，第一層硬球A、B、O的中心聯(lián)線形成一個邊長a=2r的正三角形，第二層硬球N位于球ABO所圍間隙的正上方并與這三個球相切，于是：NA=NB=NO=a=2R.即圖中NABO構(gòu)成一個正四面體?！?.3、證明：面心立方的倒格子是體心立方；體心立方的倒格子是面心立方。證明：〔1〕面心立方的正格子基矢〔固體物理學(xué)原胞基矢〕：由倒格子基矢的定義：，同理可得：即面心立方的倒格子基矢與體心立方的正格基矢一樣。所以，面心立方的倒格子是體心立方?！?〕體心立方的正格子基矢〔固體物理學(xué)原胞基矢〕：由倒格子基矢的定義：，同理可得：即體心立方的倒格子基矢與面心立方的正格基矢一樣。所以，體心立方的倒格子是面心立方。1.5、證明倒格子矢量垂直于密勒指數(shù)為的晶面系。證明：因為，利用，容易證明所以，倒格子矢量垂直于密勒指數(shù)為的晶面系。1.6、對于簡單立方晶格，證明密勒指數(shù)為的晶面系，面間距滿足：，其中為立方邊長；并說明面指數(shù)簡單的晶面，其面密度較大，容易解理。解：簡單立方晶格：，由倒格子基矢的定義：，，倒格子基矢：倒格子矢量：，晶面族的面間距：面指數(shù)越簡單的晶面，其晶面的間距越大，晶面上格點的密度越大，單位外表的能量越小，這樣的晶面越容易解理。1.9、畫出立方晶格〔111〕面、〔100〕面、〔110〕面，并指出〔111〕面與〔100〕面、〔111〕面與〔110〕面的交線的晶向。解：1、(111)面與(100)面的交線的AB，AB平移，A與O點重合，B點位矢：，(111)面與(100)面的交線的晶向，晶向指數(shù)。2、(111)面與(110)面的交線的AB，將AB平移，A與原點O重合，B點位矢：，(111)面與(110)面的交線的晶向，晶向指數(shù)。第二章固體結(jié)合2.1、證明兩種一價離子組成的一維晶格的馬德隆常數(shù)，設(shè)離子的總數(shù)為。＜解＞設(shè)想一個由正負兩種離子相間排列的無限長的離子鍵，取任一負離子作參考離子〔這樣馬德隆常數(shù)中的正負號可以這樣取，即遇正離子取正號，遇負離子取負號〕，用r表示相鄰離子間的距離，于是有

前邊的因子2是因為存在著兩個相等距離的離子，一個在參考離子左面，一個在其右面，故對一邊求和后要乘2，馬德隆常數(shù)為

當(dāng)X=1時，有2.3、假設(shè)一晶體的相互作用能可以表示為試求：〔1〕平衡間距；〔2〕結(jié)合能〔單個原子的〕；〔3〕體彈性模量；〔4〕假設(shè)取，計算及的值。解：〔1〕求平衡間距r0晶體內(nèi)能平衡條件，，〔2〕單個原子的結(jié)合能，，〔3〕體彈性模量晶體的體積，A為常數(shù)，N為原胞數(shù)目晶體內(nèi)能由平衡條件，得體彈性模量〔4〕假設(shè)取，，，2.6、bcc和fccNe的結(jié)合能，用林納德—瓊斯(Lennard—Jones)勢計算Ne在bcc和fcc構(gòu)造中的結(jié)合能之比值．＜解＞2.7、對于，從氣體的測量得到Lennard—Jones參數(shù)為計算fcc構(gòu)造的的結(jié)合能[以KJ/mol單位)，每個氫分子可當(dāng)做球形來處理．結(jié)合能的實驗值為0.751kJ／mo1，試與計算值比較．＜解＞以為基團，組成fcc構(gòu)造的晶體，如略去動能，分子間按Lennard—Jones勢相互作用，則晶體的總相互作用能為：因此，計算得到的晶體的結(jié)合能為2．55KJ／mol，遠大于實驗觀察值0.75lKJ／mo1．對于的晶體，量子修正是很重要的，我們計算中沒有考慮零點能的量子修正，這正是造成理論和實驗值之間巨大差異的原因．第三章固格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3.1、一維單原子鏈，其中第個格波，在第個格點引起的位移為，，為任意個相位因子，并在較高溫度下每個格波的平均能量為，具體計算每個原子的平方平均位移。＜解＞任意一個原子的位移是所有格波引起的位移的疊加，即〔1〕由于數(shù)目非常大為數(shù)量級，而且取正或取負幾率相等，因此上式得第2項與第一項相比是一小量，可以忽略不計。所以由于是時間的周期性函數(shù)，其長時間平均等于一個周期內(nèi)的時間平均值為〔2〕較高溫度下的每個格波的能量為KT，的動能時間平均值為其中L是原子鏈的長度，使質(zhì)量密度，為周期。所以〔3〕因此將此式代入〔2〕式有所以每個原子的平均位移為3.2、討論N個原胞的一維雙原子鏈〔相鄰原子間距為a〕，其2N個格波解，當(dāng)=時與一維單原子鏈的結(jié)果一一對應(yīng)。解：質(zhì)量為的原子位于2n-1，2n+1，2n+3……；質(zhì)量為的原子位于2n，2n+2，2n+4……。牛頓運動方程N個原胞，有2N個獨立的方程設(shè)方程的解，代回方程中得到A、B有非零解，，則兩種不同的格波的色散關(guān)系一個q對應(yīng)有兩支格波：一支聲學(xué)波和一支光學(xué)波.總的格波數(shù)目為2N.當(dāng)時，兩種色散關(guān)系如以下列圖：長波極限情況下，，與一維單原子晶格格波的色散關(guān)系一致.3.3、考慮一雙子鏈的晶格振動，鏈上最近鄰原子間的力常數(shù)交織地為和，兩種原子質(zhì)量相等，且最近鄰原子間距為。試求在處的，并粗略畫出色散關(guān)系曲線。此問題模擬如這樣的雙原子分子晶體。答：〔1〕淺色標(biāo)記的原子位于2n-1，2n+1，2n+3……；深色標(biāo)記原子位于2n，2n+2，2n+4……。第2n個原子和第2n＋1個原子的運動方程：體系N個原胞，有2N個獨立的方程方程的解：，令，將解代入上述方程得：A、B有非零的解，系數(shù)行列式滿足：因為、，令得到兩種色散關(guān)系：當(dāng)時，，當(dāng)時，，〔2〕色散關(guān)系圖：3.7、設(shè)三維晶格的光學(xué)振動在q=0附近的長波極限有求證：;.＜解＞依據(jù)，并帶入上邊結(jié)果有3.8、有N個一樣原子組成的面積為S的二維晶格，在德拜近似下計算比熱，并論述在低溫極限比熱正比與。證明：在到間的獨立振動模式對應(yīng)于平面中半徑到間圓環(huán)的面積，且則，3.9、寫出量子諧振子系統(tǒng)的自由能，證明在經(jīng)典極限下，自由能為證明:量子諧振子的自由能為經(jīng)典極限意味著〔溫度較高〕應(yīng)用所以因此其中3.10、設(shè)晶體中每個振子的零點振動能為，使用德拜模型求晶體的零點振動能。證明:根據(jù)量子力學(xué)零點能是諧振子所固有的，與溫度無關(guān)，故T=0K時振動能就是各振動模零點能之和。和代入積分有，由于一股晶體德拜溫度為~，可見零點振動能是相當(dāng)大的，其量值可與溫升數(shù)百度所需熱能相比較．3.11、一維復(fù)式格子求〔1〕，光學(xué)波，聲學(xué)波?！?〕相應(yīng)聲子能量是多少電子伏?！?〕在300k時的平均聲子數(shù)。〔4〕與相對應(yīng)的電磁波波長在什么波段。＜解＞〔1〕，〔2〕〔3〕〔4〕第四章能帶理論4.1、根據(jù)狀態(tài)簡并微擾結(jié)果，求出與及相應(yīng)的波函數(shù)及?，并說明它們的特性．說明它們都代表駐波，并比較兩個電子云分布說明能隙的來源(假設(shè)=)。＜解＞令，，簡并微擾波函數(shù)為取帶入上式，其中V(x)<0,,從上式得到B=-A,于是=取，=由教材可知，及均為駐波．在駐波狀態(tài)下，電子的平均速度為零．產(chǎn)生駐波因為電子波矢時，電子波的波長，恰好滿足布拉格發(fā)射條件，這時電子波發(fā)生全反射，并與反射波形成駐波由于兩駐波的電子分布不同，所以對應(yīng)不同代入能量。4.2、寫出一維近自由電子近似，第n個能帶(n=1，2，3)中，簡約波數(shù)的0級波函數(shù)。＜解＞第一能帶：第二能帶：第三能帶：4.3、電子在周期場中的勢能．0，其中d＝4b，是常數(shù)．試畫出此勢能曲線，求其平均值及此晶體的第一個和第二個禁帶度．＜解＞(I)題設(shè)勢能曲線如以下列圖所示．(2)勢能的平均值：由圖可見，是個以為周期的周期函數(shù)，所以題設(shè)，故積分上限應(yīng)為，但由于在區(qū)間內(nèi)，故只需在區(qū)間內(nèi)積分．這時，，于是?！?〕，勢能在[-2b,2b]區(qū)間是個偶函數(shù)，可以展開成傅立葉級數(shù)利用積分公式得第二個禁帶寬度代入上式再次利用積分公式有4.4、解：我們求解面心立方，同學(xué)們做體心立方?！?〕如只計及最近鄰的相互作用，按照緊束縛近似的結(jié)果，晶體中S態(tài)電子的能量可表示成：在面心立方中，有12個最近鄰，假設(shè)取，則這12個最近鄰的坐標(biāo)是：①②③由于S態(tài)波函數(shù)是球?qū)ΨQ的，在各個方向重疊積分一樣，因此有一樣的值，簡單表示為J1=。又由于s態(tài)波函數(shù)為偶宇稱，即∴在近鄰重疊積分中，波函數(shù)的奉獻為正∴J1＞0。于是，把近鄰格矢代入表達式得到：=+==〔2〕對于體心立方：有8個最近鄰，這8個最近鄰的坐標(biāo)是：4.7、有一一維單原子鏈，間距為a，總長度為Na。求〔1〕用緊束縛近似求出原子s態(tài)能級對應(yīng)的能帶E(k)函數(shù)。〔2〕求出其能態(tài)密度函數(shù)的表達式?！?〕如果每個原子s態(tài)只有一個電子，求等于T=0K的費米能級及處的能態(tài)密度。＜解＞(2),(3),4.8、證明一個自由簡單晶格在第一布里淵區(qū)頂角上的一個自由電子動能比該區(qū)一邊中點大2倍．(b)對于一個簡單立力晶格在第一布里淵區(qū)頂角上的一個自由電子動能比該區(qū)面心上大多少(c)(b)的結(jié)果對于二價金屬的電導(dǎo)率可能會產(chǎn)生什么影響7＜解＞〔a〕二維簡單正方晶格的晶格常數(shù)為a，倒格子晶格基矢第一布里淵區(qū)如以下列圖00所以b)簡單立方晶格的晶格常數(shù)為a，倒格子基矢為第一布里淵區(qū)如圖7—2所示．所以(c)如果二價金屬具有簡單立方品格構(gòu)造，布里淵區(qū)如圖7—2所示．根據(jù)自由電子理論，自由電子的能量為，F(xiàn)erM面應(yīng)為球面．由(b)可知，內(nèi)切于4點的內(nèi)切球的體積，于是在K空間中，內(nèi)切球內(nèi)能容納的電子數(shù)為其中二價金屬每個原子可以提供2個自由電子，內(nèi)切球內(nèi)只能裝下每原子1.047個電子，余下的0.953個電子可填入其它狀態(tài)中．如果布里淵區(qū)邊界上存在大的能量間隙，則余下的電子只能填滿第一區(qū)內(nèi)余下的所有狀態(tài)(包括B點)．這樣，晶體將只有絕緣體性質(zhì)．然而由(b)可知，B點的能員比A點高很多，從能量上看，這種電子排列是不利的．事實上，對于二價金屬，布里淵區(qū)邊界上的能隙很小，對于三維晶體，可出現(xiàn)一區(qū)、二區(qū)能帶重迭．這樣，處于第一區(qū)角頂附近的高能態(tài)的電子可以“流向〞第二區(qū)中的能量較低的狀態(tài)，并形成橫跨一、二區(qū)的球形Ferm面．因此，一區(qū)中有空態(tài)存在，而二區(qū)中有電子存在，從而具有導(dǎo)電功能．實際上，多數(shù)的二價金屆具有六角密堆和面心立方構(gòu)造，能帶出現(xiàn)重達，所以可以導(dǎo)電．4.10、解：設(shè)晶體中有N個Cu原子，向其中摻入x個鋅原子。則晶體中電子的總數(shù)為：(N-x)+2x=N+x由于Cu是面心立方，每一個原胞中含4個電子。因此：晶體中包含的原胞數(shù)為：其倒格子為體心立方，倒格子的邊長為：，對角線的長度為：于是：布里淵區(qū)邊界到原點的距離為：即：當(dāng)Fermi球與第一布里淵區(qū)邊界相切時，又由：于是有：即：當(dāng)鋅原子與銅原子之比為0.56時，F(xiàn)ermi球與第一布里淵區(qū)邊界相接觸。4.12、正方晶格．設(shè)有二維正方晶格，晶體勢為用根本方程，近似求出布里淵區(qū)角處的能隙．＜解＞以表示位置矢量的單位矢量，以表示倒易矢量的單位矢量，則有，晶體勢能。這樣根本方程求布里淵區(qū)角頂，即處的能隙，可利用雙項平面波近似來處理。當(dāng)時依次有而其他的，，所以在雙項平面波近似下上式中只有=0，因為第五章晶體中電子在電場和磁場中的運動5.1、設(shè)有一維晶體的電子能帶可寫成，其中為晶格常數(shù)，是電子的質(zhì)量。試求〔1〕能帶寬度；〔2〕電子在波矢k狀態(tài)的速度；〔3〕帶頂和帶底的電子有效質(zhì)量。解：〔1〕=－coska+(2cos2ka－1)]＝(coska－2)2－1當(dāng)ka＝(2n+1)時,n=0,1,2…當(dāng)ka=2n時,能帶寬度＝〔2〕(3)當(dāng)時,帶底，當(dāng)時,帶頂，5.5、解：〔1〕電子的運動速度：∴加速度：由于單位時間內(nèi)能量的增加=力在單位時間內(nèi)作的功即：∴寫成分量的形式：其中：〔i,j=1,2,3〕由題知：容易得出：同理：同理：故運動方程為：〔2〕當(dāng)存在磁場作用時，電子將受到洛侖茲力作用當(dāng)相對于橢球主軸的方向余弦為時，電子的運動方程可寫成：∴電子的運動方程可寫成：∴其中：由于電子在磁場作用下作周期性運動，故可設(shè)試探解：代入上述方程組可得：即有非零解的條件是即：=e2B2∴2=即：其中：證畢第六章金屬電子論第七章半導(dǎo)體電子論7.1、InSb電子有效質(zhì)量，介電常數(shù)，晶格常數(shù)。試計算；(1)施主的電離能；(2)基態(tài)軌道的半徑；(3)施主均勻分布，相鄰雜質(zhì)原于的軌道之間將產(chǎn)生交疊時摻有的施主濃度應(yīng)該高于多少＜解＞〔1〕由于施主電離能是氫原子電離能的〔2〕，〔3〕，如果施主的電子與類氫基態(tài)軌道發(fā)生重疊，則均勻分布于中施主雜質(zhì)濃度就一定滿足第十二章晶體中的缺陷和擴散例1．假設(shè)把一個鈉原子從鈉晶體內(nèi)部移到邊界上所需要的能量為1ev(1)，試計算室溫〔300k〕時，sckottky空位的濃度〔：=0.97克/原米3，原子量為23〕解：〔1〕設(shè)N為單位體積內(nèi)的Na原子數(shù)，則在溫度T時，schottky定位的濃度n可寫成：由題知：u=1ev=1.602×10-19J=0.97克/厘米3每cm3含Na的mol數(shù)為：每cm3Na中所含的原子數(shù)為：N=于是：例2.如果u代表形成一個Frenkel缺陷所需的能量，證明在溫度T時，到達熱平衡的晶體中，F(xiàn)renkel缺陷的數(shù)目為：解：到達熱平衡時，在N個原子的晶體中形成n個空位的可能方式數(shù)為：這n個原子排列在N＇個間隙位置上的可能方式數(shù)為：這樣，從N個原子中取出n個原子并把它們排n＇個間隙位置上的總方式數(shù)為：==由此引起的熵的增量為：利用斯特令公式:luN!=NlnN-N得系統(tǒng)的自由能改變：U為形成一個Frenkel缺陷所需的能量。由熱平衡條件：即：證畢例3．鐵一碳合金是面心立方構(gòu)造，晶體常數(shù)為3.61，設(shè)碳占的比重為1.7%試計算當(dāng)碳是填隙式或替代式滲入時，合金的密度各等于多少解：C的mol質(zhì)量：12g，C：含量為：1.7%Fe的mol質(zhì)量：55.85g,Fe：應(yīng)為：98.3%因此：在100克合余中，如果C是替代式溶入，則