山西省朔州市懷仁市第一中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

山西省朔州市懷仁市第一中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在空間直角坐標(biāo)系中，若，，則點B的坐標(biāo)為（）A.（3，1，﹣2） B.（-3，1，2）C.（-3，1，-2） D.（3，-1，2）2．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD，，，點E為PA的中點，，，，則點B到平面PCD的距離為（）A. B.C. D.3．五行學(xué)說是中華民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想.古代先民認(rèn)為，天下萬物皆由五種元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在如圖所示的相生相克關(guān)系.若從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種，則這兩種元素恰是相生關(guān)系的概率是（）A. B.C. D.4．設(shè)命題，則為A. B.C. D.5．經(jīng)過直線與直線的交點，且平行于直線的直線方程為（）A. B.C. D.6．已知的展開式中，各項系數(shù)的和與其各項二項式系數(shù)的和之比為，則（）A.4 B.5C.6 D.77．已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有2個極值點，則m的取值范圍是（）A. B.C. D.8．變量，之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：若，之間的線性回歸方程為，則的值為（）45678.27.86.65.4A. B.C. D.9．【2018江西撫州市高三八校聯(lián)考】已知雙曲線(，)與拋物線有相同的焦點，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線交于點，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.10．已知拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合，過坐標(biāo)原點作兩條互相垂直的射線，，與分別交于，則直線過定點（）A. B.C. D.11．若實數(shù)滿足，則點不可能落在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限12．在正四面體中，點為所在平面上動點，若與所成角為定值，則動點的軌跡是（）A.圓 B.橢圓C.雙曲線 D.拋物線二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線：和：，且，則實數(shù)__________，兩直線與之間的距離為__________14．已知橢圓的左、右焦點分別為，，為橢圓上一點，垂直于軸，且為等腰三角形，則橢圓的離心率為__________15．傳說古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)．用一點（或一個小石子）代表1，兩點（或兩個小石子）代表2，三點（或三個小石子）代表3，…他們研究了各種平面數(shù)（包括三角形數(shù)、正方形數(shù)、長方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)等等）和立體數(shù)（包括立方數(shù)、棱錐數(shù)等等）．如前四個四棱錐數(shù)為第n個四棱錐數(shù)為1+4+9+…+n2＝．中國古代也有類似的研究，如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…若一個“三角垛”共有20層，則第6層有____個球，這個“三角垛”共有______個球16．已知數(shù)列中，，，則_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知過拋物線的焦點F且斜率為1的直線l交C于A，B兩點，且（1）求拋物線C的方程；（2）求以C的準(zhǔn)線與x軸的交點D為圓心且與直線l相切的圓的方程18．（12分）已知橢圓C：(a＞b＞0)的離心率e為，點在橢圓上（1）求橢圓C的方程；（2）若A、B為橢圓的左右頂點，過點(1，0)的直線交橢圓于M、N兩點，設(shè)直線AM、BN的斜率分別為，求證為定值19．（12分）某高校在今年的自主招生考試成績中隨機抽取100名考生的筆試成績，分為5組制出頻率分布表如圖所示.組號分組頻數(shù)頻率150052350.35330b4cd5100.1（1）求b，c，d的值；（2）該校決定在成績較好的3、4、5組用分層抽樣抽取6名學(xué)生進行面試，則每組應(yīng)各抽多少名學(xué)生？（3）在（2）的前提下，從抽到6名學(xué)生中再隨機抽取2名被甲考官面試，求這2名學(xué)生來自同一組的概率.20．（12分）如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，，M，N分別為AB和PC的中點（1）求證：MN//平面PAD；（2）求平面MND與平面PAD的夾角的余弦值21．（12分）某學(xué)校為了調(diào)查本校學(xué)生在一周內(nèi)零食方面的支出情況，抽出了一個容量為的樣本，分成四組，，，，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出金額在元的學(xué)生有180人.（1）請求出的值；（2）如果采用分層抽樣的方法從，內(nèi)共抽取5人，然后從中選取2人參加學(xué)校的座談會，求在，內(nèi)正好各抽取一人的概率為多少.22．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，，（1）求直線BC的方程；（2）記的外接圓為圓M，若直線OC被圓M截得的弦長為4，求點C的坐標(biāo)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】利用點的坐標(biāo)表示向量坐標(biāo)，即可求解.【詳解】設(shè)，，，所以，，，解得：，，，即.故選：C2、D【解析】為中點，連接，易得為平行四邊形，進而可知B到平面PCD的距離即為到平面PCD的距離，再由線面垂直的性質(zhì)確定線線垂直，在直角三角形中應(yīng)用勾股定理求相關(guān)線段長，即可得△為直角三角形，最后應(yīng)用等體積法求點面距即可.【詳解】若為中點，連接，又E為PA的中點，所以，，又，，則且，所以為平行四邊形，即，又面，面，所以面，故B到平面PCD的距離，即為到平面PCD的距離，由底面ABCD，面ABCD，即，，，又，即，，則面，面，即，而，，，，易知：，在△中；在△中；在△中；綜上，，故，又，則.所以B到平面PCD的距離為.故選：D3、C【解析】先計算從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種的所有基本事件數(shù)，再計算其中兩種元素恰是相生關(guān)系的基本事件數(shù)，利用古典概型概率公式，即得解【詳解】由題意，從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種，共有（金，木），（金，水），（金，火），（金，土），（木，水），（木，火），（木土），（水，火），（水，土），（火，土），共10個基本事件，其中兩種元素恰是相生關(guān)系包含（金，木），（木，土），（土，水），（水，火）（火，金）共5個基本事件，所以所求概率.故選：C4、C【解析】特稱命題的否定為全稱命題，所以命題的否命題應(yīng)該為，即本題的正確選項為C.5、B【解析】求出兩直線的交點坐標(biāo)，可設(shè)所求直線的方程為，將交點坐標(biāo)代入求得，即可的解.【詳解】解：由，解得，即兩直線的交點坐標(biāo)為，設(shè)所求直線的方程為，則有，解得，所以所求直線方程為，即.故選：B.6、C【解析】利用賦值法確定展開式中各項系數(shù)的和以及二項式系數(shù)的和，利用比值為，列出關(guān)于的方程，解方程.【詳解】二項式的各項系數(shù)的和為，二項式的各項二項式系數(shù)的和為，因為各項系數(shù)的和與其各項二項式系數(shù)的和之比為，所以，.故選：C.7、A【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合余弦型函數(shù)的性質(zhì)、極值的定義進行求解即可.【詳解】由，，因為在區(qū)間有且僅有2個極值點，所以令，解得，因此有，故選：A8、C【解析】本題先求樣本點中心，再利用線性回歸方程過樣本點中心直接求解即可.【詳解】解：，，所以樣本點中心：，線性回歸方程過樣本點中心，則解得：，故選：C【點睛】本題考查線性回歸方程過樣本點中心，是簡單題.9、C【解析】由題意可知，拋物線的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，由在拋物線的準(zhǔn)線上，則，則，則焦點坐標(biāo)為，所以，則，解得，雙曲線的漸近線方程是，將代入漸近線的方程，即，則雙曲線的離心率為，故選C.10、A【解析】由橢圓方程可求得坐標(biāo)，由此求得拋物線方程；設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立可得韋達定理的形式，根據(jù)可得，由此構(gòu)造方程求得，根據(jù)直線過定點的求法可求得定點.【詳解】由橢圓方程知其焦點坐標(biāo)為，又拋物線焦點，，解得：，則拋物線的方程為，由題意知：直線斜率不為，可設(shè)，由得：，則，即，設(shè)，，則，，，，，解得：或；又與坐標(biāo)原點不重合，，，當(dāng)時，，直線恒過定點.故選：A.【點睛】思路點睛：本題考查直線與拋物線綜合應(yīng)用中的直線過定點問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；③利用韋達定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達定理可整理得到變量間的關(guān)系，從而化簡直線方程；④根據(jù)直線過定點的求解方法可求得結(jié)果.11、B【解析】作出給定的不等式組表示的平面區(qū)域，觀察圖形即可得解.【詳解】因?qū)崝?shù)滿足，作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分，觀察圖形知，陰影區(qū)域不過第二象限，即點不可能落在第二象限.故選：B12、B【解析】把條件轉(zhuǎn)化為與圓錐的軸重合，面與圓錐的相交軌跡即為點的軌跡后即可求解.【詳解】以平面截圓錐面，平面位置不同，生成的相交軌跡可以為拋物線、雙曲線、橢圓、圓.令與圓錐的軸線重合，如圖所示，則圓錐母線與所成角為定值，所以面與圓錐的相交軌跡即為點的軌跡.根據(jù)題意，不可能垂直于平面即軌跡不可能為圓.面不可能與圓錐軸線平行，即軌跡不可能是雙曲線.可進一步計算與平面所成角為，即時，軌跡為拋物線，時，軌跡為橢圓，，所以軌跡為橢圓.故選：B.【點睛】本題考查了平面截圓錐面所得軌跡問題，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.-4；②.2【解析】根據(jù)兩直線平行斜率相等求解參數(shù)即可；運用兩平行線間的距離公式計算兩直線之間的距離可得出答案.【詳解】解：直線和，，，解得；∴兩直線與間的距離是：.故答案為：；2.14、.【解析】通過垂直于軸,可以求出，由已知為等腰三角形，可以得到，結(jié)合關(guān)系，可以得到一個關(guān)于離心率的一元二次方程，解方程求出離心率.【詳解】∵垂直于，∴可得，又∵為等腰三角形，∴，即，整理得，解得.【點睛】本題考查了求橢圓離心率問題，關(guān)鍵是通過已知條件構(gòu)造出關(guān)于離心率的方程.15、①.21②.1540【解析】根據(jù)題中給出的圖形，結(jié)合題意找到各層球的數(shù)列與層數(shù)的關(guān)系，得到＝，由此可求的值，以及前20層的總球數(shù)【詳解】由題意可知，，故＝＝，所＝＝21，所以S20＝a1+a2+a3+a4+??+a20＝（12+22+32+??+202）+（1+2+3+??+20）＝×+×＝1540故答案為：21；154016、【解析】根據(jù)遞推公式一一計算即可；【詳解】解：因為，所以，，，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）首先表示出直線l的方程，再聯(lián)立直線與拋物線方程，消去，列出韋達定理，再根據(jù)焦點弦公式計算可得；（2）由（1）可得，再利用點到直線的距離求出半徑，即可求出圓的方程；【詳解】解析：（1）由已知得點，∴直線l的方程為，聯(lián)立去，消去整理得設(shè)，，則，，∴拋物線C的方程為（2）由（1）可得，直線l的方程為，∴圓D的半徑，∴圓D的方程為【點睛】本題考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.18、（1）；（2）證明見解析【解析】(1)根據(jù)題意列出關(guān)于a、b、c的方程組求出a、b、c即可得橢圓方程；(2)設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立直線方程利用韋達定理即可求為定值【小問1詳解】；【小問2詳解】由橢圓方程可知，，，設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立得，∴，，則，∵，，∴，把及代入可得：﹒19、（1），，（2）第三組應(yīng)抽人，第四組應(yīng)抽人，第五組應(yīng)抽人（3）【解析】（1）根據(jù)頻率分布表的數(shù)據(jù)求出b，c，d的值；（2）三個組共有60人，從而利用分層抽樣抽樣方法抽取6名學(xué)生第三組應(yīng)抽3人，第四組應(yīng)抽2人，第五組應(yīng)抽1人；（3）記第三組抽出的3人分別為，第四組抽出的2人分別為，第五組抽出的1人為，利用列舉法結(jié)合概率公式得出答案.【小問1詳解】由題意得，，【小問2詳解】三個組共有60人，所以第三組應(yīng)抽人，第四組應(yīng)抽人，第五組應(yīng)抽人.【小問3詳解】記第三組抽出的3人分別為，第四組抽出的2人分別為，第五組抽出的1人為，從這6人中隨機抽取2人，基本事件包含，共15個基本事件.其中2人來自同一組的情況有，共4種.所以，2人來自同一組的概率為.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）在平面中構(gòu)造與平行的直線，利用線線平行推證線面平行即可；（2）以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得兩個平面的法向量，利用向量法即可求得兩個平面夾角的余弦值.【小問1詳解】取中點為，連接，如下所示：因為為正方形，為中點，故可得//；在△中，因為分別為的中點，故可得//；故可得//，則四邊形為平行四邊形，即//，又面面，故//面.【小問2詳解】因為面