極坐標(biāo)系 省賽獲獎

§1.2極坐標(biāo)系§4.1.2極坐標(biāo)系(1)教學(xué)目標(biāo):1.理解極坐標(biāo)的概念

2.學(xué)會用極坐標(biāo)表示平面上的點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):1.理解極坐標(biāo)的意義

2.能夠在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)確定點(diǎn)位置問題2：如何刻畫這些點(diǎn)的位置？一、問題情境情境1：軍艦巡邏在海面上，發(fā)現(xiàn)前方有一群水雷，如何確定它們的位置以便將它們引爆？情境2：請問到隆回一中學(xué)校區(qū)怎么走？從這向從這向北2000米。問題1：為了簡便地表示上述問題中點(diǎn)的位置，應(yīng)創(chuàng)建怎樣的坐標(biāo)系呢？從這向北2000米。請問：去隆回一中

學(xué)校區(qū)怎么走？請分析上面這句話，他告訴了問路人什么？從這向北走2000米！出發(fā)點(diǎn)方向距離

在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來表示一點(diǎn)的位置。這種用方向和距離表示平面上一點(diǎn)的位置的思想，就是極坐標(biāo)的基本思想。一、極坐標(biāo)系的建立：在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)。引一條射線OX，叫做極軸。再選定一個(gè)長度單位和角度單位及它的正方向（通常取逆時(shí)針方向）。這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系。XO二、極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)的規(guī)定XOM

對于平面上任意一點(diǎn)M，用

表示線段OM的長度，用

表示從OX到OM的角度，

叫做點(diǎn)M的極徑，

叫做點(diǎn)M的極角，有序數(shù)對（，）就叫做M的極坐標(biāo)。特別強(qiáng)調(diào)：表示線段OM的長度，即點(diǎn)M到極點(diǎn)O的距離；表示從OX到OM的角度，即以O(shè)X（極軸）為始邊，OM為終邊的角。2、極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)的規(guī)定XOM

極點(diǎn)的極坐標(biāo)為_________________(0,),

可為任意值.思考:對比直角坐標(biāo)系，比較異同要素：________________________________________；(2)平面內(nèi)點(diǎn)的極坐標(biāo)用_____表示.極點(diǎn)、極軸、長度單位、角度單位和正方向(,)

對于平面上任意一點(diǎn)M,用

表示線段OM的長度,用

表示以射線OX為始邊,射線OM為終邊所成的角,

叫做點(diǎn)M的極徑,

叫做點(diǎn)M的極角,有序數(shù)對(,)就叫做M的極坐標(biāo)。例1.如圖，寫出各點(diǎn)的極坐標(biāo)：。Ox

4

2564353

A?B?C?D?E?F?G?A(4,0)B(3,)

4C(2,)

2D(5,)56E(4.5,

)F(6,)43G(7,)53[變式訓(xùn)練1

]在課本的圖上描下列點(diǎn)：[小結(jié)]由極坐標(biāo)描點(diǎn)的步驟：

(1)先按極角找到點(diǎn)所在射線；

(2)在此射線上按極徑描點(diǎn).3、點(diǎn)的極坐標(biāo)的表達(dá)式的研究XOM

如圖：OM的長度為4，請說出點(diǎn)M的極坐標(biāo)的其他表達(dá)式思考：這些極坐標(biāo)之間有何異同？思考：這些極角有何關(guān)系？這些極角的始邊相同，終邊也相同。也就是說它們是終邊相同的角。本題點(diǎn)M的極坐標(biāo)統(tǒng)一表達(dá)式：極徑相同，不同的是極角思考:①平面上一點(diǎn)的極坐標(biāo)是否唯一？若不唯一,那有多少種表示方法？②不同的極坐標(biāo)是否可以寫出統(tǒng)一表達(dá)式？4、極坐標(biāo)系下點(diǎn)與它的極坐標(biāo)的對應(yīng)情況[1]給定（

,）,就可以在極坐標(biāo)平面內(nèi)確定唯一的一點(diǎn)M[2]給定平面上一點(diǎn)M，但卻有無數(shù)個(gè)極坐標(biāo)與之對應(yīng)。原因在于：極角有無數(shù)個(gè)。OXPM(ρ,θ)如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π那么除極點(diǎn)外,平面內(nèi)的點(diǎn)和極坐標(biāo)就可以一一對應(yīng)了.例2.在極坐標(biāo)系中,(1)已知兩點(diǎn)，，求線段PQ的長度；

(2)已知點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(

,),R,說明滿足上述條件的點(diǎn)M的位置.

在一般情況下，極徑都是取正值。但在某些必要的情況下，也允許取負(fù)值(

<0):當(dāng)

<0時(shí)如何規(guī)定(,)對應(yīng)的點(diǎn)的位置？°Ox當(dāng)

<0時(shí)，點(diǎn)M(,)的位置規(guī)定：

))|

|?M(,)°OxM(-2,)56)56???點(diǎn)M：在角

終邊的反向延長線上，且|OM|=|

|M(-2,)565、關(guān)于負(fù)極徑小結(jié)：從比較來看,負(fù)極徑比正極徑多了一個(gè)操作,將射線OP“反向延長”.正、負(fù)極徑時(shí)，點(diǎn)的確定過程比較OXPOXP[1]作射線OP，使

XOP=/4[2]在OP的反向延長線上取一點(diǎn)M，使

OM=3[1]作射線OP，使

XOP=/4[2]在OP的上取一點(diǎn)M，使

OM=3M畫出點(diǎn)（3，

/4）和（－3，

/4）給定ρ,θ在極坐標(biāo)系中描點(diǎn)的方法：先按極角找到極徑所在的射線，后按極徑的正負(fù)和數(shù)值在這條射線或其反向延長線上描點(diǎn)。M負(fù)極徑小結(jié)：極徑變?yōu)樨?fù)，極角增加

。練習(xí)：寫出點(diǎn)的負(fù)極徑的極坐標(biāo)（6，）答：（－6，

+π）或（－6，－+π）特別強(qiáng)調(diào)：一般情況下（若不作特別說明時(shí)），認(rèn)為

≥

0。因?yàn)樨?fù)極徑只在極少數(shù)情況用。。Ox

4

2565453

1162332A(-4,0)C(-2,)

2B(3,)56D(-1,)53E(3,-)

6(-4,-)

3F?A?B?C?D?E?F[小結(jié)](,)(,2k

+)(-,+

)[-,+(2k+1)

]都是同一點(diǎn)的極坐標(biāo).例3.已知點(diǎn)Q(,)，分別按下列條件求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：

(1)P是點(diǎn)Q關(guān)于極點(diǎn)O的對稱點(diǎn)；

(2)P是點(diǎn)Q關(guān)于直線的對稱點(diǎn).(3)P是點(diǎn)Q關(guān)于極軸的對稱點(diǎn)。

注意點(diǎn)M的極坐標(biāo)具有多值性.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的區(qū)別:

直角坐標(biāo)

極坐標(biāo)

表示形式與平面內(nèi)點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系

一一對應(yīng)一一對應(yīng)[3]一點(diǎn)的極坐標(biāo)有否統(tǒng)一的表達(dá)式？三、小結(jié)[1]建立一個(gè)極坐標(biāo)系需要哪些要素極點(diǎn)；極軸；長度單位；角度單位和它的正方向.[2]極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)有多少種表達(dá)式？無數(shù)，極角有無數(shù)個(gè).有。（ρ，2kπ+θ）四、課后作業(yè)教材P14-15頁5，8，9，10，11思考:極坐標(biāo)系中,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-10,),則下列各坐標(biāo)中,不是M點(diǎn)的坐標(biāo)的是()(A)(10,)(B)(-10,-)(C)(10,-)(D)(10,)43

3532323極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化§4.1.2極坐標(biāo)系(2)教學(xué)目標(biāo):1、掌握極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化關(guān)系式2、會實(shí)現(xiàn)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)之間的互化教學(xué)重點(diǎn):1、對極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化關(guān)系式的理解2、互化關(guān)系式的掌握極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化情境1：若點(diǎn)作平移變動時(shí)，則點(diǎn)的位置采用直角坐標(biāo)系描述比較方便;一、問題情境情境2：若點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)變動時(shí)，則點(diǎn)的位置采用極坐標(biāo)系描述比較方便問題1:

極坐標(biāo)系是怎樣定義的?問題2:

極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系有何異同?問題3:平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)是(1,)，這個(gè)點(diǎn)如何用極坐標(biāo)表示?Oxy在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)作為極點(diǎn),x軸的正半軸作為極軸,并且兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位。點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為θ設(shè)點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(ρ,θ)M(2,π/3)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化關(guān)系式:設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是(x,y)極坐標(biāo)是(ρ,θ)x=ρcosθ,y=ρsinθ

互化公式的三個(gè)前提條件：1.極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合;2.極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合;3.兩種坐標(biāo)系的單位長度相同.(限定ρ＞0,0≤θ＜2π)例1.將點(diǎn)M的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo).解:所以,點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為已知下列點(diǎn)的極坐標(biāo)，求它們的直角坐標(biāo)。例2.將點(diǎn)M的直角坐標(biāo)化成極坐標(biāo).解:因?yàn)辄c(diǎn)在第三象限,所以因此,點(diǎn)M的極坐標(biāo)為練習(xí):已知點(diǎn)的直角坐標(biāo),求它們的極坐標(biāo).例3已知兩點(diǎn)（2，），（3，）求兩點(diǎn)間的距離.π3π2o