有限元分析理論基礎

有限元分析理論基礎11/11/20231材料力學與彈性力學—本課程中所指的是有限單元法在彈性力學問題中的應用。因此要用到彈性力學的某些基本概念和基本方程。本章將簡單介紹這些概念和方程，作為彈性力學有限單元法的預備知識。預備知識11/11/20232彈性力學—區(qū)別與聯(lián)系—材料力學

1、研究的內(nèi)容：基本上沒有什么區(qū)別。彈性力學也是研究彈性體在外力作用下的平衡和運動，以及由此產(chǎn)生的應力和變形。2、研究的對象：有相同也有區(qū)別。材料力學基本上只研究桿、梁、柱、軸等桿狀構(gòu)件，即長度遠大于寬度和厚度的構(gòu)件。彈性力學雖然也研究桿狀構(gòu)件，但還研究材料力學無法研究的板與殼及其它實體結(jié)構(gòu)，即兩個尺寸遠大于第三個尺寸，或三個尺寸相當?shù)臉?gòu)件。11/11/20233彈性力學—區(qū)別與聯(lián)系—材料力學

3、研究的方法：有較大的區(qū)別。雖然都從靜力學、幾何學與物理學三方面進行研究，但是在建立這三方面條件時，采用了不同的分析方法。材料力學是對構(gòu)件的整個截面來建立這些條件的，因而要常常引用一些截面的變形狀況或應力情況的假設。這樣雖然大大簡化了數(shù)學推演，但是得出的結(jié)果往往是近似的，而不是精確的。而彈性力學是對構(gòu)件的無限小單元體來建立這些條件的，因而無須引用那些假設，分析的方法比較嚴密，得出的結(jié)論也比較精確。所以，我們可以用彈性力學的解答來估計材料力學解答的精確程度，并確定它們的適用范圍。11/11/20234材料力學—區(qū)別與聯(lián)系—彈性力學11/11/20235彈性力學—區(qū)別與聯(lián)系—材料力學

總之，彈性力學與材料力學既有聯(lián)系又有區(qū)別。它們都同屬于固體力學領域，但彈性力學比材料力學，研究的對象更普遍，分析的方法更嚴密，研究的結(jié)果更精確，因而應用的范圍更廣泛。但是，彈性力學也有其固有的弱點。由于研究對象的變形狀態(tài)較復雜，處理的方法又較嚴謹，因而解算問題時，往往需要冗長的數(shù)學運算。但為了簡化計算，便于數(shù)學處理，它仍然保留了材料力學中關于材料性質(zhì)的假定：11/11/20236彈性力學中關于材料性質(zhì)的假定(1)物體是連續(xù)的，亦即物體整個體積內(nèi)部被組成這種物體的介質(zhì)填滿，不留任何空隙。這樣，物體內(nèi)的一些物理量，如應力、應變、位移等等才可以用座標的連續(xù)函數(shù)來表示。(2)物體是完全彈性的，亦即當使物體產(chǎn)生變形的外力被除去以后，物體能夠完全恢復原形，而不留任何殘余變形。這樣，當溫度不變時，物體在任一瞬時的形狀完全決定于它在這一瞬時所受的外力，與它過去的受力情況無關。(3)物體是均勻的，也就是說整個物體是由同一種材料組成的。這樣，整個物體的所有各部分才具有相同的物理性質(zhì)，因而物體的彈性常數(shù)(彈性模量和波桑系數(shù))才不隨位置座標而變。11/11/20237彈性力學中關于材料性質(zhì)的假定(4)物體是各向同性的，也就是說物體內(nèi)每一點各個不同方向的物理性質(zhì)和機械性質(zhì)都是相同的。(5)物體的變形是微小的，亦即當物體受力以后，整個物體所有各點的位移都遠小于物體的原有尺寸，因而應變和轉(zhuǎn)角都遠小于1，這樣，在考慮物體變形以后的平衡狀態(tài)時，可以用變形前的尺寸來代替變形后的尺寸，而不致有顯著的誤差；并且，在考慮物體的變形時，應變和轉(zhuǎn)角的平方項或乘積項都可以略去不計，這就使得彈性力學中的微分方程都成為線性方程。11/11/20238§2-1外力、應力、應變與位移在有限元法中的表示方法一、外力

外力可以分為體積力、面積力和節(jié)點之中力*，分別用以下符號表示：1）體積力

2）表面力

3）節(jié)點集中力

節(jié)點集中力是廣義力，可以是力，也可以是力矩。11/11/20239二、應力

空間三維問題

平面問題三、應變空間三維問題

平面問題四、位移空間三維問題

平面問題一維問題

一維問題

一維問題

11/11/202310§2-2彈性力學的基本方程一、平衡方程

在物體內(nèi)的任意一點P，割取一個微小的平行六面體，它的直于坐標軸，而棱邊的長度分別為，PA=dx，PB=dy，PC=dz，如上圖2-1所示。以x軸為投影軸，列出投影的平衡方程，得：11/11/20231111/11/202312整理后得到：在上式中消掉得到利用和還可以得到另外兩個方程，即：彈性體平衡微分方程該方程給出地是微元體的平衡條件，即平衡的微分條件。也就是說如果整個結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)，結(jié)構(gòu)內(nèi)部任意點（微元體）都必須滿足的條件。11/11/202313二、幾何方程給出彈性體內(nèi)部任意點處的應變與位移之間的微分關系。

1、應變與位移的關系以為例，彈性體內(nèi)任意點的應變與位移的關系如圖示：

在結(jié)構(gòu)取一微小線段，兩個端點變形前的坐標分別為：、兩個端點變形后的坐標分別為：、11/11/202314在小變形情況下，變形后微小線段的長度可以近似表示為為：根據(jù)應變的定義可得：11/11/202315同理可推導出其它5個應變分量。則彈性體內(nèi)任意點的6個應變分量可以表示為：對于平面問題，應變-位移關系可以簡化為：對于一維問題，應變-位移關系可以進一步簡化為：11/11/2023162、應變-位移關系的矩陣表示三維情況令：其中稱微分算子，稱算子矩陣。11/11/202317二維問題的應變-位移關系可簡化為：一維問題的應變-位移關系可進一步簡化為：則應變-位移關系可以簡記為統(tǒng)一的矩陣形式：11/11/202318三、物理方程（本構(gòu)關系）

1、有限元本構(gòu)關系的矩陣形式為：對于三維情況有：

11/11/2023192、對于二維平面應力問題的定義平面應力由此可以得出

此時有

3、對于二維平面應變問題的定義平面應變由此可以得出

此時有

11/11/202320四、相容方程（協(xié)調(diào)方程）

相容方程給出彈性體的變形協(xié)調(diào)性條件，彈性體在變形之前是連續(xù)的，變形后仍然要保持連續(xù)。即彈性體內(nèi)部各點的位移必須是單值連續(xù)的，不能出現(xiàn)重疊或開裂現(xiàn)象。

由于有限元采用的多項式位移插值函數(shù)全部滿足相容條件，只要求了解這一概念，具體形式不作要求。11/11/202321虛功原理及虛功方程圖1-8a示一平衡的杠桿，對C點寫力矩平衡方程：圖1-8b表示杠桿繞支點C轉(zhuǎn)動時的剛體位移圖：綜合可得：即：式(1-15)是以功的形式表述的。表明：圖a的平衡力系在圖b的位移上作功時，功的總和必須等于零。這就叫做虛功原理。11/11/202322虛功原理

進一步分析。當杠桿處于平衡狀態(tài)時，和這兩個位移是不存在的，但是如果某種原因，例如人為地振一下讓它傾斜，一定滿足(1-15)式的關系。將這個客觀存在的關系抽象成一個普遍的原理，去指導分析和計算結(jié)構(gòu)。

對于在力的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體，不用考慮它是否真正發(fā)生了位移，而假想它發(fā)生了位移，(由于是假想，故稱為虛位移)，那么，物體上所有的力在這個虛位移上的總功必定等于零。這就叫做虛位移原理，也稱虛功原理。在圖1-8a中的和所作的功就不是發(fā)生在它本身(狀態(tài)a)的位移上，(因為它本身是平衡的，不存在位移)，而是在狀態(tài)(b)的位移上作的功?？梢?，這個位移對于狀態(tài)(a)來說就是虛位移，亦即是狀態(tài)(a)假象的位移。11/11/202323虛功原理

必須指出，虛功原理的應用范圍是有條件的，它所涉及到的兩個方面，力和位移并不是隨意的。對于力來講，它必須是在位移過程中處于平衡的力系；對于位移來講，雖然是虛位移，但并不是可以任意發(fā)生的。它必須是和約束條件相符合的微小的剛體位移。還要注意，當位移是在某個約束條件下發(fā)生時，則在該約束力方向的位移應為零，因而該約束力所作的虛功也應為零。這時該約束力叫做被動力。(如圖1-8中的反力，由于支點C沒有位移，故所作的虛功對于零)。反之，如圖1-8中的和是在位移過程中作功的力，稱為主動力。因此，在平衡力系中應當分清楚哪些是主動力，哪些是被動力，而在寫虛功方程時，只有主動力作虛功，而被動力是不作虛功的。11/11/202324虛功原理與虛功方程虛功原理表述如下：在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系，當發(fā)生與約束條件相符合的任意微小的剛體位移時，體系上所有的主動力在位移上所作的總功(各力所作的功的代數(shù)和)恒對于零。虛功原理用公式表示為：

這就是虛功方程，其中P和相應的代表力和虛位移。11/11/202325虛功原理----用于彈性體的情況虛功方程(1-16)是按剛體的情況得出的，即假設圖1-8的杠桿是絕對剛性，沒有任何的變形，因而在方程(1-15)或(1-16)中沒有內(nèi)功項出現(xiàn)，而只有外功項。將虛功原理用于彈性變形時，總功W要包括外力功(T)和內(nèi)力功(U)兩部分，即：W=T-U；內(nèi)力功(-U)前面有一負號，是由于彈性體在變形過程中，內(nèi)力是克服變形而產(chǎn)生的，所有內(nèi)力的方向總是與變形的方向相反，所以內(nèi)力功取負值。根據(jù)虛功原理，總功等于零得：T-U=0

外力虛功T=內(nèi)力虛功

U彈性力學中的虛功原理可表達為：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體，如果發(fā)生了虛位移，那么所有的外力在虛位移上的虛功(外力功)等于整個彈性體內(nèi)應力在虛應變上的虛功(內(nèi)力功)。11/11/202326有限元分析的一般過程一、結(jié)構(gòu)的離散化

將結(jié)構(gòu)或彈性體人為地劃分成由有限個單元，并通過有限個節(jié)點相互連接的離散系統(tǒng)。這一步要解決以下幾個方面的問題:1、選擇一個適當?shù)膮⒖枷担纫紤]到工程設計習慣，又要照顧到建立模型的方便。2、根據(jù)結(jié)構(gòu)的特點，選擇不同類型的單元。對復合結(jié)構(gòu)可能同時用到多種類型的單元，此時還需要考慮不同類型單元的連接處理等問題。3、根據(jù)計算分析的精度、周期及費用等方面的要求，合理確定單元的尺寸和階次。4、根據(jù)工程需要，確定分析類型和計算工況。要考慮參數(shù)區(qū)間及確定最危險工況等問題。5、根據(jù)結(jié)構(gòu)的實際支撐情況及受載狀態(tài)，確定各工況的邊界約束和有效計算載荷。11/11/202327在有限元法中通常選擇多項式函數(shù)作為單元位移插值函數(shù)，并利用節(jié)點處的位移連續(xù)性條件，將位移插值函數(shù)整理成以下形函數(shù)矩陣與單元節(jié)點位移向量的乘積形式。位移插值函數(shù)需要滿足相容（協(xié)調(diào)）條件，采用多項式形式的位移插值函數(shù)，這一條件始終可以滿足。但近年來有人提出了一些新的位移插值函數(shù)，如：三角函數(shù)、樣條函數(shù)及雙曲函數(shù)等，此時需要檢查是否滿足相容條件。二、選擇位移插值函數(shù)

1、位移插值函數(shù)的要求11/11/202328

形函數(shù)的性質(zhì)：1）相關節(jié)點處的值為1，不相關節(jié)點處的值為0。2）形函數(shù)之和恒等于1。2、位移插值函數(shù)的收斂性（完備性）要求：

1）位移插值函數(shù)必須包含常應變狀態(tài)。2）位移插值函數(shù)必須包含剛體位移。3、復雜單元形函數(shù)的構(gòu)造對于高階復雜單元，利用節(jié)點處的位移連續(xù)性條件求解形函數(shù)，實際上是不可行的。因此在實際應用中更多的情況下是利用形函數(shù)的性質(zhì)來構(gòu)造形函數(shù)。以階梯軸的形函數(shù)為例兩個形函數(shù)分別為在節(jié)點有：在節(jié)點有：在任何點有：這里我們稱為的相關節(jié)點，為的相關節(jié)點，其它點均為不相關節(jié)點。11/11/202329使用最小勢能原理，需要計算結(jié)構(gòu)勢能，由彈性應變能和外力虛功兩部分構(gòu)成。結(jié)構(gòu)已經(jīng)被離散，彈性應變能可以由單元彈性應變能疊加得到，外力虛功中的體力、面力都是分布在單元上的，也可以采用疊加計算。1、計算單元彈性應變能

——單元體積。

由幾何關系代入前式有：

令：

稱單元剛度矩陣，簡稱單剛。

這樣單元彈性應變能可以表示為：

三、

單元分析目的：計算單元彈性應變能和外力虛功。11/11/2023302、計算單元外力功

1)體力虛功令：

稱單元等效體力載荷向量。

單元體力虛功可以表示為：

2)表面力虛功——單元上外力已知的表面

,注意！這里只考慮結(jié)構(gòu)的邊界表面。令：

稱單元等效面力載荷向量。

單元表面力虛功可以表示為：

11/11/202331從前面推導可以看出：單元彈性應變能可計算的部分只有單元剛度矩陣，單元外力虛功可計算的部分只有單元等效體力載荷向量和等效面力載荷向量。在實際分析時并不需要進行上述推導，只需要將假定的位移插值函數(shù)代入本節(jié)推導得出的單元剛度矩陣、等效體力載荷向量和等效面力載荷向量的計算公式即可。所以我們說有限元分析的第三步是計算單元剛度矩陣、等效體力載荷向量和等效面力載荷向量。幾點說明：1）單元剛度矩陣具有正定性、奇異性和對稱性三各重要特性。所謂正定性指所有對角線元素都是正數(shù)，其物理意義是位移方向與載荷方向一致；奇異性是說單元剛度矩陣不滿秩是奇異矩陣，其物理意義是單元含有剛體位移；對稱性是說單元剛度矩陣是對稱矩陣，程序設計時可以充分利用。2）按照本節(jié)公式計算的單元等效體力載荷向量和等效面力載荷向量稱為一致載荷向量。實際分析時有時也采用靜力學原理計算單元等效體力載荷向量和等效面力載荷向量，實際應用表明在大多數(shù)情況下，這樣做可以簡化計算，同時又基本上不影響分析結(jié)果。11/11/202332四、整體分析

目的：計算整個結(jié)構(gòu)的勢能，代入最小勢能原理：

1、計算整個結(jié)構(gòu)的彈性應變能。

令：

——結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣（總剛）

此時結(jié)構(gòu)的彈性應變能可以表示為：

結(jié)構(gòu)的彈性應變能可計算的部分只有所以我們說，結(jié)構(gòu)的彈性應變能的計算就歸結(jié)為總剛的計算。11/11/2023332、計算整個結(jié)構(gòu)的外力虛功。

將變換形式寫成

將變換形式寫成外力虛功可以表示為：

令：

——結(jié)構(gòu)整體等效節(jié)點載荷向量。

外力虛功可以進一步表示為：

結(jié)構(gòu)的外力虛功可計算的部分只有所以我們說，結(jié)構(gòu)的外力虛功可計算就歸結(jié)為結(jié)構(gòu)整體等效節(jié)點載荷向量的計算。11/11/2023343、計算整個結(jié)構(gòu)的勢能并代入最小勢能原理。

將結(jié)構(gòu)彈性應變能及外力虛功的表達式代入結(jié)構(gòu)勢能表達式，則結(jié)構(gòu)的勢能可以表示為：

將上式代入泛函的極值條件

或

可以得到

移項后有

——結(jié)構(gòu)近似平衡方程。結(jié)構(gòu)近似平衡方程的物理意義與平衡微分方程等價，但該方程放松了對平衡的要求，給出的僅僅是近似的平衡條件。這非常有利于進行近似求解。11/11/2023354、實際應用時結(jié)構(gòu)近似平衡方程的生成

實際應用時我們完全可以根據(jù)單元剛度矩陣、單元等效體力載荷向量、單元等效面力載荷向量及節(jié)點集中載荷向量直