河南省南陽市高三上學期期末數(shù)學（理）試題及答案

試卷第=page22頁，總=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat6頁共NUMPAGES\*MergeFormat29頁河南省南陽市高三上學期期末數(shù)學（理）試題及答案一、單選題1．已知集合，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】化簡集合A，根據(jù)交集運算即可.【詳解】,故選：A【點睛】本題主要考查了分式不等式，交集的運算，屬于容易題.2．設復數(shù)（為虛數(shù)單位），則復數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)復數(shù)的乘除法運算法則，化簡復數(shù)，即可寫出虛部.【詳解】,復數(shù)的虛部為.故選：C【點睛】本題主要考查了復數(shù)的乘除運算，復數(shù)的概念，屬于中檔題.3．在一個不透明的容器中有6個小球，其中有4個黃球，2個紅球，它們除顏色外完全相同，如果一次隨機取出2個球，那么至少有1個紅球的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】取出2個球共有取法種，至少有1個紅球的對立事件為沒有一個紅球，共有種，根據(jù)古典概型概率公式即可求解.【詳解】設一次隨機取出2個球，至少有1個紅球為事件A，則，故選：B【點睛】本題主要考查了古典概型，對立事件，屬于中檔題.4．已知函數(shù)的周期為，則下列選項正確的是A．函數(shù)的圖象關于點對稱B．函數(shù)的圖象關于點對稱C．函數(shù)的圖象關于直線對稱D．函數(shù)的圖象關于直線對稱【答案】B【解析】根據(jù)函數(shù)的周期為π，求解ω可得解析式，對各選項逐一考察即可．【詳解】函數(shù)的最小正周期為，則即，則，

由對稱軸方程：得：，（k∈Z）

經(jīng)考查C，D選項不對．

由對稱中心的橫坐標：得：當k=0時，可得圖象的對稱中心坐標為．

故選B．【點睛】本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質的運用，求出解析式是解決本題的關鍵．屬于中檔題．5．甲、乙兩類水果的質量（單位：）分別服從正態(tài)分布，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說法錯誤的是（）A．甲類水果的平均質量B．甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右C．甲類水果的平均質量比乙類水果的質量小D．乙類水果的質量服從正態(tài)分布的參數(shù)【答案】D【解析】由圖象可知，甲類水果的平均質量μ1=0.4kg，乙類水果的平均質量μ2=0.8kg，故A，B，C，正確；乙類水果的質量服從的正態(tài)分布的參數(shù)σ2=，故D不正確．故選D．6．函數(shù)的大致圖像為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由解析式可知，在定義域上恒成立，即可選出答案.【詳解】因為的定義域為，，，所以，結合圖象，只有D選項符合要求，故選：D【點睛】本題主要考查了函數(shù)的定義域，值域，圖象，屬于容易題.7．已知，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)利用對數(shù)函數(shù)的增減性，判定與0,1的大小關系即可求解.【詳解】,,,,,綜上，故選：B【點睛】本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.8．在如圖算法框圖中，若，程序運行的結果為二項式的展開式中的系數(shù)的倍，那么判斷框中應填入的關于的判斷條件是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)二項式（2+x）5展開式的通項公式，求出x3的系數(shù)，模擬程序的運行，可得判斷框內(nèi)的條件．【詳解】∵二項式展開式的通項公式是,令，，，∴程序運行的結果S為120，模擬程序的運行，由題意可得k=6，S=1不滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，S=6，k=5不滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，S=30，k=4不滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，S=120，k=3此時，應該滿足判斷框內(nèi)的條件，退出循環(huán)，輸出S的值為120．故判斷框中應填入的關于k的判斷條件是k＜4？故選：C【點睛】本題考查了二項式展開式的通項公式的應用問題，考查了程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結論，屬于中檔題．9．已知是等差數(shù)列的前項和，若，設，則數(shù)列的前項和取最大值時的值為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解析】由可分析數(shù)列，的符號，結合等差數(shù)列的性質，求出的最大值時n的值.【詳解】由可得：即，，，等差數(shù)列是的遞減數(shù)列，又，所以最大，故，故選：D【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的增減性，判斷數(shù)列項的符號，數(shù)列和的最值，屬于中檔題.10．十八世紀，函數(shù)（表示不超過的最大整數(shù)）被“數(shù)學王子”高斯采用，因此得名為高斯函數(shù)，結合定義的表述，人們習慣稱為“取整函數(shù)”，根據(jù)上述定義，則方程的所有實數(shù)根的個數(shù)為（）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】由可得，若時，方程顯然不成立，故，此時，分別分析即可.【詳解】由可得,因為時，，方程無解，當時，的可能取值為，當時，方程有解，當時，方程無解，當時，，解得或，因為，符合題意，不符合題意，舍去，綜上，方程的根為，，故選：C【點睛】本題主要考查了一元二次方程，取整函數(shù)，分類討論的思想，屬于中檔題.11．某三棱錐的三視圖如圖所示，其中主視圖是等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先在長方體中還原該三棱錐為P-ABC，根據(jù)三棱錐底面外接圓圓心確定外接球球心位置，設球的半徑為R，列出方程即可求出結果．【詳解】根據(jù)三視圖，在長方體中還原該三棱錐為P-ABC，且長方體的長為2，寬為4，高為，取AB中點為D，上底面中心為E，連接DE，EP，則DE=，因為三角形ABC為直角三角形，所以D點為三角形ABC的外接圓圓心，因此三棱錐的外接球球心，必在線段DE上，記球心為O，設球的半徑為R，則OB=OP=R，所以，因此，解得：所以該三棱錐的外接球表面積為,故選：D【點睛】本題主要考查了幾何體的三視圖以及幾何體外接球的相關計算，屬于中檔題．12．已知函數(shù)…，若函數(shù)的零點均在區(qū)間內(nèi)，則的最小值是（）A． B． C．3 D．【答案】A【解析】利用導數(shù)判斷函數(shù)f（x）單調(diào)性，再利用f（-1）＜0，f（0）=1，函數(shù)零點的判定定理判斷函數(shù)是否存在零點零點【詳解】…，，當且時，，又，在R上是增函數(shù)，且，由函數(shù)零點的存在性定理知，函數(shù)的唯一零點，又函數(shù)的零點均在區(qū)間，所以的最小值為，故選：A【點睛】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的應用，函數(shù)的零點的求法，考查轉化思想以及計算能力，屬于中檔題.二、填空題13．已知向量，若，則實數(shù)的值為________.【答案】【解析】利用向量垂直的性質列方程求解即可.【詳解】,,,解得，故答案為：【點睛】本題主要考查了向量垂直的性質，數(shù)量積的運算，屬于容易題.14．學校準備將名同學全部分配到運動會的田徑、拔河和球類個不同項目比賽做志愿者，每個項目至少名，則不同的分配方案有________種（用數(shù)字作答）.【答案】150【解析】根據(jù)題意，分兩種情況討論：①將5名同學分成三組，一組1人，另兩組都是2人，②將5名同學分成三組，一組3人，另兩組都是1人，由組合數(shù)公式計算可得每種情況下的分配方案數(shù)目，由分類計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】將名同學全部分配到運動會的田徑、拔河和球類個不同項目比賽做志愿者，有2種情況：①將5名同學分成三組，一組1人，另兩組都是2人，有種分組方法，再將3組分到3個項目，共有種不同的分配方案；②將5名同學分成三組，一組3人，另兩組都是1人，有種分組方法，再將3組分到3個項目，共有種不同的分配方案，共有90+60=150種不同的分配方案，故答案為：150【點睛】本題主要考查了排列、組合的運用，注意先要根據(jù)題意要求，進行分類討論，其次要正確運用分組公式，屬于中檔題.15．已知雙曲線的左右兩個焦點分別為，，為其左、右兩個頂點，以線段為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點為，且，則該雙曲線的離心率為________.【答案】【解析】求出雙曲線的漸近線方程和圓的方程，求出交點M，再由兩點的斜率公式，得到a，b的關系，再由離心率公式即可得到所求值.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，以F1F2為直徑的圓的方程為，將直線代入圓的方程，可得，（負的舍去），y=b，即有又，由于，BM⊥x軸，則，即有，則離心率，故答案為：16．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)，，為常數(shù)）有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為________.【答案】【解析】函數(shù)有三個不同零點，轉化為方程有3個根，進而當與有兩個不同交點問題，畫簡圖可得的范圍．【詳解】時，，，得或，函數(shù)有三個不同零點，則與有兩個不同的交點，而，令，，，，，，所以，函數(shù)大致圖象如下：與的圖象有兩個交點的范圍，．故答案為：【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性得函數(shù)最值，進而求兩個交點時的范圍，屬于中檔題．三、解答題17．如圖，在中，角，，的對邊分別為，，，且.(1)求的大??；（2）若，點、在的異側，，，求平面四邊形面積的最大值.【答案】(1)（2）【解析】(1)由正弦定理將化為，再由兩角和的正弦公式化簡，即可求出結果；(2)先由余弦定理求出的長，將平面四邊形的面積轉化為兩三角形與面積之和，即可求解.【詳解】（1）因為，且，所以在中，所以所以所以因為在中，所以因為是的內(nèi)角所以.（2）在中，因為是等腰直角三角形，所以所以平面四邊形的面積因為，所以所以當時，，此時平面四邊形的面積有最大值【點睛】本題主考查解三角形，屬于基礎題型.18．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA底面ABCD，AC=,PA=2，E是PC上的一點，PE=2EC。證明PC平面BED；設二面角A-PB-C為90°，求PD與平面PBC所成角的大小【答案】【解析】本試題主要是考查了四棱錐中關于線面垂直的證明以及線面角的求解的運用。從題中的線面垂直以及邊長和特殊的菱形入手得到相應的垂直關系和長度，并加以證明和求解。解法一：因為底面ABCD為菱形，所以BDAC,又【點評】試題從命題的角度來看，整體上題目與我們平時練習的試題和相似，底面也是特殊的菱形，一個側面垂直于底面的四棱錐問題，那么創(chuàng)新的地方就是點E的位置的選擇是一般的三等分點，這樣的解決對于學生來說就是比較有點難度的，因此最好使用空間直角坐標系解決該問題為好。19．設直線與拋物線交于兩點，與橢圓交于兩點，設直線（為坐標原點）的斜率分別為，若.（1）證明：直線過定點，并求出該定點的坐標；（2）是否存在常數(shù)，滿足？并說明理由.【答案】（1）證明見解析（0，2）；（2）存在，理由見解析【解析】（1）設直線l的方程為y=kx+b代入拋物線的方程，利用OA⊥OB，求出b，即可知直線過定點（2）由斜率公式分別求出，，聯(lián)立直線與拋物線，橢圓，再由根與系數(shù)的關系得，，，代入，，化簡即可求解.【詳解】（1）證明：由題知，直線l的斜率存在且不過原點，故設由可得，.，，故所以直線l的方程為故直線l恒過定點.（2）由（1）知設由可得，，即存在常數(shù)滿足題意.【點睛】本題主要考查了直線與拋物線、橢圓的位置關系，直線過定點問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．20．已知函數(shù).（1）若函數(shù)有2個零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）若關于的方程有兩個不等實根，證明：①；②.【答案】（1）（2）①證明見解析②證明見解析【解析】（1）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結合零點情況得到函數(shù)大致變化規(guī)律，即可求解（2）原函數(shù)化為，求導數(shù)，分析函數(shù)單調(diào)性，轉化為，構造函數(shù)利用單調(diào)性證明不等式.【詳解】（1）由題知，與有兩個交點，，.由得，；由得，，在上單增，在上單減，又，且時，，故.（2）①方程可化為，令，，所以在上單增，在上單減，又，不妨設.則，要證明，只需證且在上單減，所以證令，則當時，，即在單增.又，對恒成立，即成立即成立②由①得，即，命題得證.【點睛】本題主要證明了利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，最值，利用導數(shù)證明不等式，屬于難題.21．一種擲硬幣走跳棋的游戲：在棋盤上標有第1站、第2站、第3站、…、第100站，共100站，設棋子跳到第站的概率為，一枚棋子開始在第1站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動一次.若硬幣的正面向上，棋子向前跳一站；若硬幣的反面向上，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第99站（失敗）或者第100站（獲勝）時，游戲結束.（1）求；（2）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（3）求玩該游戲獲勝的概率.【答案】（1），，（2）證明見解析（3）【解析】（1）根據(jù)題意，分析可得棋子在1站是一個必然事件，即可得P1的值，進而分析棋子跳到2站以及棋子跳到3站的情況，據(jù)此求出P2、P3的值（2）根據(jù)題意，分析可得，變形可得，即可得結論（3）由（2）知，利用累加法求出，由對立事件的概率性質求出.【詳解】（1）棋子開始在第1站是必然事件，；棋子跳到第2站，只有一種情況，第一次擲硬幣正面向上，其概率為；棋子跳到第3站，有兩種情況，①第一次擲硬幣反面向上，其概率為；②前兩次擲硬幣都是正面向上，其概率為；（2）棋子棋子跳到第站，有兩種情況：①棋子先跳到第n站，又擲硬幣反面向上，其概率為；②棋子先跳到第站，又擲硬幣正面向上，其概率為.故.又，數(shù)列…是以為首項，為公比的等比數(shù)列.（3）由（2）得.……所以獲勝的概率為【點睛】本題主要考查了互斥事件的概率公式，數(shù)列的定義，用疊加法求數(shù)列的項，屬于難題．22．在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點