福建省廈門高三數(shù)學(xué)（理）考試試題及答案解析

試卷第=page22頁(yè)，總=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat8頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat30頁(yè)福建省廈門高三數(shù)學(xué)（理）考試試題及答案解析一、單選題1．若是虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)等于（）A． B． C． D．2【答案】C【解析】先根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再由虛部為0，列出式子解出即可.【詳解】，因?yàn)閺?fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，故，解之得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的分類，解題關(guān)鍵是正確區(qū)分實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.2．已知，，，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)特殊值0和1與指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性逐一比較大小.【詳解】對(duì)于，所以：故選：A【點(diǎn)睛】此題考查指數(shù)對(duì)數(shù)的大小比較，關(guān)鍵在于根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和特殊函數(shù)值的大小關(guān)系，利用不等式的傳遞性解題.3．設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為1，平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，向量與夾角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)向量的平方等于模長(zhǎng)的平方得到，再將兩邊用點(diǎn)乘，由向量點(diǎn)積公式得到夾角的余弦值.【詳解】，，對(duì)兩邊用點(diǎn)乘，與夾角的余弦值為.故選D.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了向量的模長(zhǎng)的求法以及向量點(diǎn)積的運(yùn)算，題目比較簡(jiǎn)單基礎(chǔ)；平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應(yīng)用以下幾個(gè)方面:(1)求向量的夾角，（此時(shí)往往用坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.4．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其體積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)三視圖得到原圖，再由割補(bǔ)法得到體積.【詳解】該幾何體是一個(gè)直三棱柱截去一個(gè)小三棱錐，如圖所示，由直三棱柱的體積減去小三棱錐的體積即可得到結(jié)果，則其體積為.故選C.【點(diǎn)睛】思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)；俯視圖的長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.5．已知拋物線的焦點(diǎn)為,其準(zhǔn)線與雙曲線相交于、兩點(diǎn),若為直角三角形,其中為直角頂點(diǎn),則A．6 B． C． D．【答案】D【解析】分析：寫出拋物線的準(zhǔn)線方程，代入雙曲線方程求出的縱坐標(biāo)，由是直角三角形，知它是等腰直角三角形，從而有，由此可解得．詳解：拋物線的準(zhǔn)線是，代入雙曲線方程得，，，∵是直角三角形，∴它是等腰直角三角形，∴，解得．故選D．點(diǎn)睛：本題考查拋物線的準(zhǔn)線方程，解題關(guān)鍵是由是直角三角形，知它是等腰直角三角形，從而有，因此只要求出點(diǎn)坐標(biāo)即可得結(jié)果，本題是解析幾何的基本題型．6．各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}中，a4a9=36，則前12項(xiàng)和S12的最小值為（）A．78 B．48 C．60 D．72【答案】D【解析】試題分析：利用基本不等式，結(jié)合等差數(shù)列的求和及通項(xiàng)公式，即可求出前12項(xiàng)和S12的最小值．解：由題意，a4+a9≥2=12，∴S12=（a1+a12）=6（a4+a9）≥72，故選D．【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)．7．已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的值可能是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】分析：首先根據(jù)題的條件，確定出函數(shù)圖像的對(duì)稱中心的坐標(biāo)和對(duì)稱軸方程，之后借著對(duì)稱中心到對(duì)稱軸的距離與函數(shù)周期的關(guān)系，得到，再結(jié)合求得，從而求得結(jié)果.詳解：根據(jù)題意可知，點(diǎn)是圖像的一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，直線是圖像的一條對(duì)稱軸，所以會(huì)有，從而可以求得，所以有，從而得，從而可以求得可以是3，故選B.點(diǎn)睛：該題考查了三角函數(shù)圖像的對(duì)稱性、周期性等，在做題的過(guò)程中，需要我們注意對(duì)稱中心與對(duì)稱軸的距離與周期的關(guān)系，還有要注意就是取值可以是誰(shuí)這些關(guān)鍵字.8．若函數(shù)為奇函數(shù)，其中，則使不等式成立的的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用函數(shù)為奇函數(shù)，求出，不等式，即不等式，又在上單調(diào)遞增，即可求出的取值范圍．【詳解】∵函數(shù)為奇函數(shù)，∴,即，，∴，所以，，不等式，即不等式，函數(shù)的定義域?yàn)?，∵在上單調(diào)遞增，∴，∴，即.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬于高考?？碱}.9．函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?duì)任意，在上是增函數(shù)，則函數(shù)的圖象可以是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】對(duì)于四個(gè)選項(xiàng)，舉出對(duì)應(yīng)的具體函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性驗(yàn)證是否在上遞增，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，取，則，由于，故，故為增函數(shù)，符合題意.對(duì)于B選項(xiàng)，取，則，由于，故為減函數(shù)，不符合題意.對(duì)于C選項(xiàng)，取，則，這是一個(gè)開(kāi)口向上的二次函數(shù)，在對(duì)稱軸兩側(cè)單調(diào)性相反，不符合題意.對(duì)于D選項(xiàng)，取，則，是常數(shù)函數(shù)，不符合題意.綜上所述，選A.【點(diǎn)睛】本小題考查函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查利用特殊值法解選擇題，考查了函數(shù)單調(diào)性.屬于中檔題.10．已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】A【解析】將方程的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即極值，通過(guò)對(duì)與函數(shù)的極值的大小關(guān)系的討論得到結(jié)果.【詳解】易知當(dāng)≤0時(shí)，方程只有一個(gè)解，所以>0．令，，令得，為函數(shù)的極小值點(diǎn)，又關(guān)于的方程=在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，所以，解得，故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)根據(jù)方程在某個(gè)區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，注意將根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)完成，屬于中檔題目.11．函數(shù)某相鄰兩支圖象與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)則方程所有解的和為（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】利用函數(shù)某相鄰兩支圖象與坐標(biāo)軸分別交于兩點(diǎn)可求得，從而得到，求出函數(shù)及的對(duì)稱點(diǎn)，從而發(fā)現(xiàn)它們都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，在同一坐標(biāo)系中，作出與的圖像，結(jié)合圖像即可求解．【詳解】由函數(shù)某相鄰兩支圖象與坐標(biāo)軸分別交于兩點(diǎn)，可得：.解得：.所以將代入上式得：=0，解得：=，又，所以.所以.令=，則所以的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．令，且=，解得：.所以的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.所以函數(shù)與的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.在同一坐標(biāo)系中，作出與的圖像，如圖：由圖可得：函數(shù)與的圖像在上有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.所以方程有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，且.所以方程所有解的和為：.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)圖像以及三角函數(shù)性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想及方程思想，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．12．如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段的動(dòng)點(diǎn)，則下列4個(gè)命題中正確的有（）個(gè)（1）（2）平面平面（3）的最大值為（4）的最小值為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】分別連接，，作出圖形后逐一分析：對(duì)于（1），利用線面垂直的判定定理可證平面，而平面，故（1）正確；對(duì)于（2），平面，而平面，就是平面，故平面平面，從而可判定（2）正確；對(duì)于（3），當(dāng)時(shí)，為鈍角，故可判斷（3）錯(cuò)誤；對(duì)于（4），將面與面沿展成平面圖形，線段即為的最小值，通過(guò)解三角形可求得，可判斷（4）正確．【詳解】分別連接，，如圖：對(duì)于（1），∵平面，平面，∴,又，，∴平面，平面，∴，正確；對(duì)于（2），∵平面即為平面，平面即為平面，且平面，∴平面平面，∴平面平面，正確；對(duì)于（3），在中，由余弦定理可知，當(dāng)時(shí)，為鈍角，錯(cuò)誤；對(duì)于（4），將面與面沿展成平面圖形，線段即為的最小值，在中，利用余弦定理解三角形得，正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查空間幾何體中直線和平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力和計(jì)算能力，屬于?？碱}.二、填空題13．若，則的值為_(kāi)_______【答案】【解析】令，得，令，得，則.點(diǎn)睛：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用；在利用二項(xiàng)式定理求二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)和時(shí)，往往采用賦值法或整體賦值法，要靈活注意展開(kāi)式中未知數(shù)的系數(shù)的特點(diǎn)合理賦值，往往是1，0,或.14．太極圖被稱為“中華第一圖”.從孔廟大成殿粱柱，到樓觀臺(tái)、三茅宮、白外五觀的標(biāo)記物；從道袍、卦攤、中醫(yī)、氣功、武術(shù)到南韓國(guó)旗、新加坡空軍機(jī)徽……，太極圖無(wú)不躍居其上.這種廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽(yáng)兩魚互抱在一起，因而被稱為“陰陽(yáng)魚太極圖”.在如圖所示的陰陽(yáng)魚圖案中，陰影部分的區(qū)域可用小等式組或來(lái)表示，設(shè)是陰影中任意一點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)__________.【答案】【解析】直接利用線性規(guī)劃知識(shí)求最值．【詳解】如圖，作出直線：，當(dāng)直線往上平移至與陰影部分的圓的邊界相切時(shí)，最大，此時(shí)圓心到直線的距離等于半徑1，即：.解得：【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性規(guī)劃知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化能力及直線與圓相切的幾何關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．15．已知、為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，交左支于點(diǎn)，是等腰直角三角形，，則雙曲線的離心率為_(kāi)___．【答案】【解析】根據(jù)雙曲線的定義得，根據(jù)是等腰直角三角形得,解得，，，，再由余弦定理可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，半焦距為.如圖，根據(jù)雙曲線的定義得，根據(jù)是等腰直角三角形得，解得，，，.在中，由余弦定理得，解得，則雙曲線的離心率為.故答案為.【點(diǎn)睛】求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍).16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，則為_(kāi)_________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，將已知式子變形得：，繼而推出，可知數(shù)列為等比數(shù)列，求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，也即：，，即：，當(dāng)時(shí)，，解得：，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推式，解題關(guān)鍵是由，將已知式子變形得：，進(jìn)一步得出數(shù)列為等比數(shù)列，考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬于難題.三、解答題17．在中，是上的點(diǎn)，平分，面積是面積的2倍.（1）求；（2）若，，求的長(zhǎng).【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根據(jù)面積比得到，再根據(jù)平分關(guān)系和正弦定理得到；（2）根據(jù)邊角關(guān)系，設(shè)，，由，知，由余弦定理得到和，建立方程求解即可.【詳解】（1）由題，，∵，，∴，由正弦定理可知：；（2）∵，，∴設(shè)，則，在與中，由余弦定理可知，，，∵，∴，，解得，即.【點(diǎn)睛】本題考查正、余弦定理和三角形中的幾何計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于?？碱}.18．已知數(shù)列，，其中，，數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）根據(jù)題設(shè)條件用累乘法能夠求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，，，所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，由此求出的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，由此能推出數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，所以，即，又，所以，當(dāng)時(shí)，上式成立，所以，因?yàn)椋?，所以是首?xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故；（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，因此.【點(diǎn)睛】本題考查用累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的求和方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于?？碱}.數(shù)列求和的方法一般有：倒序相加法、分組（并項(xiàng)）求和法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法等.19．如圖，在四棱錐中，，底面四邊形為直角梯形，為線段上一點(diǎn)．(1)若，則在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面?若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)己知，若異面直線與成角，二面角的余弦值為，求的長(zhǎng)．【答案】（1）存在，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)；（2）2.【解析】(1)延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接．通過(guò)證明及，可得M為PB上的一個(gè)三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)P．(2)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求得平面和平面的法向量，再根據(jù)二面角夾角的余弦值即可得參數(shù)t的值，進(jìn)而求得CD的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，則平面.若平面，由平面平面，平面，則.由，，則，故點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn).（2）∵，，，平面，平面，則平面以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在的直線分別為軸、軸，過(guò)點(diǎn)與平面垂直的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，設(shè)平面和平面的法向量分別為，.由，得即，令，則，故.同理可求得.于是，則，解之得（負(fù)值舍去），故.∴.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何的證明，空間向量在夾角問(wèn)題中的綜合應(yīng)用，法向量的求法與用法，屬于中檔題．20．動(dòng)點(diǎn)到距離與到直線的距離之比為，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.（1）求出曲線的方程，并求出的最小值，其中點(diǎn)（2）是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，且直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)，使得，若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1），最小值為3；（2）存在，定點(diǎn).【解析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由動(dòng)點(diǎn)到距離與到直線的距離之比為，利用直接法求出點(diǎn)的軌跡；又，的最小值即為點(diǎn)到直線的距離；（2）假設(shè)存在滿足題意的定點(diǎn)，設(shè)，設(shè)直線的方程為，，，由消去，得，利用韋達(dá)定理以及，得直線與的斜率和為零，建立方程求解即可.【詳解】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由已知，可得，化簡(jiǎn)得到軌跡的方程為：，所以，的最小值即為點(diǎn)到直線的距離，最小值為3；（2）假設(shè)存在滿足題意的定點(diǎn)，設(shè)，設(shè)直線的方程為，，，由消去，得，由直線過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)作直線，故，由韋達(dá)定理得：，，由，得直線與的斜率和為零，所以有：，，故：，,所以存在定點(diǎn)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)定點(diǎn)也符合題意，綜上所述，定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查軌跡方程的求法，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓中滿足某種條件的定點(diǎn)問(wèn)題，考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬于高考常考題.21．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)（，）（1）設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)為導(dǎo)數(shù)，（i）證明：當(dāng)，時(shí)，；（ii）設(shè)關(guān)于的方程的根為，求證：【答案】（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)的增區(qū)間為及，減區(qū)間為．（2）（i）證明見(jiàn)解析，（ii）證明見(jiàn)解析．【解析】（1）對(duì)，求導(dǎo)可得，分當(dāng)為大于1的奇數(shù)，和為偶數(shù)時(shí)兩種情況討論可得的單調(diào)區(qū)間；（2）（i）設(shè)，，求導(dǎo)得，根據(jù)研究即可得到所證結(jié)論；（ii），原方程化為解得，因?yàn)?，所以；作差得，，由（i）知，可得，所以，即可得證.【詳解】（1），當(dāng)，時(shí)即（a）當(dāng)為大于1的奇數(shù)時(shí)，是偶數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)故的增區(qū)間為，減區(qū)間為當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，是奇數(shù)，由于，所以當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)故的增區(qū)間為及，減區(qū)間為綜上，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)的增區(qū)間為及，減區(qū)間為，（2）（i）證明：設(shè)，，則，因?yàn)椋?，故在是增函?shù)，從而，由于，所以，所以在是增函數(shù)，，即（ii），原方程化為解得，因?yàn)椋?；作差得，，由（i）知，當(dāng)，時(shí)，，令，，故有，所以，，綜上，【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．22．