四川省樹德中學2023年高二數(shù)學第一學期期末復習檢測模擬試題含解析

四川省樹德中學2023年高二數(shù)學第一學期期末復習檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設，為雙曲線的上，下兩個焦點，過的直線l交該雙曲線的下支于A，B兩點，且滿足，，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.2．已知正三棱柱的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于A. B.C. D.3．設雙曲線的實軸長為8，一條漸近線為，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.4．雙曲線的左、右焦點分別為、，P為雙曲線C的右支上一點．以O為圓心a為半徑的圓與相切于點M，且，則該雙曲線的漸近線為（）A. B.C. D.5．是等差數(shù)列，且，，則的值（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則其導函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.7．1202年，意大利數(shù)學家斐波那契出版了他的《算盤全書》．他在書中收錄了一些有意思的問題，其中有一個關于兔子繁殖的問題：如果1對兔子每月生1對小兔子（一雌一雄），而每1對小兔子出生后的第3個月里，又能生1對小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，如果用Fn表示第n個月的兔子的總對數(shù)，則有(n＞2)，．設數(shù)列{an}滿足：an＝，則數(shù)列{an}的前36項和為（）A.11 B.12C.13 D.188．雙曲線：的左、右焦點分別為、，過的直線與y軸交于點A、與雙曲線右支交于點B，若為等邊三角形，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C.2 D.9．如圖，空間四邊形中，，，，且，，則（）A. B.C. D.10．如圖，在四面體中，，，，，為線段的中點，則等于（）A B.C. D.11．過橢圓的左焦點作弦，則最短弦的長為（）A. B.2C. D.412．若，則x的值為（）A.4 B.6C.4或6 D.8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點和，M是橢圓上一動點，則的最大值為________.14．已知函數(shù)，則的值是______.15．已知圓，直線與圓C交于A，B兩點，且，則______16．在平行六面體中，點P是AC與BD的交點，若，且，則___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓(a>b>0)的右焦點為F2(3，0)，離心率為e.（1）若e＝，求橢圓的方程；（2）設直線y＝kx與橢圓相交于A，B兩點，M，N分別為線段AF2，BF2的中點，若坐標原點O在以MN為直徑的圓上，且<e≤，求k的取值范圍.18．（12分）如圖所示，在三棱柱中，，點在平面ABC上的射影為線段AC的中點D，側(cè)面是邊長為2的菱形（1）若△ABC是正三角形，求異面直線與BC所成角的余弦值；（2）當直線與平面所成角的正弦值為時，求線段BD的長19．（12分）已知是奇函數(shù).（1）求的值；（2）若，求的值20．（12分）已知函數(shù)（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，若關于x的不等式恒成立，試求a的取值范圍21．（12分）如圖，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，為的中點.（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值.22．（10分）已知直線和直線（1）若時，求a的值；（2）當平行，求兩直線，的距離

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】設，表示出，由勾股定理列式計算得，然后在，再由勾股定理列式，計算離心率.【詳解】由題意得，，且，如圖所示，設，由雙曲線的定義可得，，因為，所以，得，所以，在中，，即.故選：A【點睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍)2、C【解析】過作，連接，由于，故平面，所以所求直線與平面所成的角為，設棱長為，則，故，.點睛：本題主要考查空間立體幾何直線與平面的位置關系，考查直線與平面所成的角，考查線面垂直的證明方法和常見幾何體的結(jié)構(gòu)特征.由于題目所給幾何體為直三棱柱，故側(cè)棱和底面垂直，這是一個重要的隱含條件，通過作交線的垂線，即可得到高，由此作出二面角的平面角.3、D【解析】雙曲線的實軸長為，漸近線方程為，代入解析式即可得到結(jié)果.【詳解】雙曲線的實軸長為8，即，，漸近線方程為，進而得到雙曲線方程為.故選：D.4、A【解析】連接、，利用中位線定理和雙曲線定義構(gòu)建參數(shù)關系，即求得漸近線方程.【詳解】如圖，連接、，∵M是的中點，∴是的中位線，∴，且，根據(jù)雙曲線的定義，得，∴，∵與以原點為圓心a為半徑的圓相切，∴，可得，中，，即得，，解得，即，得.由此得雙曲線的漸近線方程為.故選：A.【點睛】本題考查了雙曲線的定義的應用和漸近線的求法，屬于中檔題.5、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計算【詳解】因為是等差數(shù)列，所以，，也成等差數(shù)列，所以故選：B6、A【解析】根據(jù)原函數(shù)圖象判斷出函數(shù)單調(diào)性，由此判斷導函數(shù)的圖象.【詳解】原函數(shù)在上從左向右有增、減、增，個單調(diào)區(qū)間；在上遞減.所以導函數(shù)在上從左向右應為：正、負、正；在上應為負.所以A選項符合.故選：A7、B【解析】由奇數(shù)+奇數(shù)＝偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)＝奇數(shù)可知，數(shù)列{Fn}中F3，F(xiàn)6，F(xiàn)9，F(xiàn)12，，F(xiàn)3n為偶數(shù)，其余項都為奇數(shù)，再根據(jù)an＝，即可求出數(shù)列{an}的前36項和【詳解】由奇數(shù)+奇數(shù)＝偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)＝奇數(shù)可知，數(shù)列{Fn}中F3，F(xiàn)6，F(xiàn)9，F(xiàn)12，，F(xiàn)3n為偶數(shù)，其余項都為奇數(shù)，∴前36項共有12項為偶數(shù)，∴數(shù)列{an}的前36項和為12×1+24×0＝12.故選：B8、B【解析】由雙曲線的定義知，，又為等邊三角形，所以，由對稱性有，所以，在直角三角形中，求出，在三角形中，由余弦定理求出，從而即可求解.【詳解】解：由雙曲線的定義知，，又為等邊三角形，所以，由對稱性有，所以，在直角三角形中，，在三角形中，由余弦定理有，所以，解得，所以雙曲線C的離心率，故選：B.9、C【解析】根據(jù)空間向量的線性運算即可求解.【詳解】因為，又因為，，所以.故選：C10、D【解析】根據(jù)空間向量的線性運算求解【詳解】由已知，故選：D11、A【解析】求出橢圓的通徑，即可得到結(jié)果【詳解】過橢圓的左焦點作弦，則最短弦的長為橢圓的通徑：故選：A12、C【解析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可求解.【詳解】,或，即或.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題設條件可知，.當M在直線與橢圓交點上時，在第一象限交點時有，在第三象限交點時有.顯然當M在直線與橢圓第三象限交點時有最大值，其最大值.由此能夠求出的最大值.【詳解】解：A為橢圓右焦點，設左焦點為，則由橢圓定義，于是.當M不在直線與橢圓交點上時，M、F、B三點構(gòu)成三角形，于是，而當M在直線與橢圓交點上時，在第一象限交點時，有，在第三象限交點時有.顯然當M在直線與橢圓第三象限交點時有最大值，其最大值為.故答案為：.【點睛】本題考查橢圓的基本性質(zhì)，解題時要熟練掌握基本公式.14、【解析】求出，代值計算可得的值.【詳解】因為，則，因此，.故答案為：.15、-2【解析】將圓的一般方程化為標準方程，結(jié)合垂徑定理和勾股定理表示出圓心到弦的距離，再由點到直線的距離公式表示出圓心到弦的距離，解方程即可求得的值.【詳解】解：將圓的方程化為標準方程可得，圓心為，半徑圓C與直線相交于、兩點,且，由垂徑定理和勾股定理得圓心到直線的距離為，由點到直線距離公式得，所以，解得，故答案為：.16、【解析】由向量的運算法則，求得，根據(jù)，結(jié)合向量的數(shù)量積的運算，即可求解.【詳解】由題意可得，，則，故.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】(1)根據(jù)右焦點為F2(3，0)，以及，求得a，b，c即可.(2)聯(lián)立，根據(jù)M，N分別為線段AF2，BF2中點，且坐標原點O在以MN為直徑的圓上，易得OM⊥ON，則四邊形OMF2N為矩形，從而AF2⊥BF2，然后由0，結(jié)合韋達定理求解.【詳解】(1)由題意得c＝3，，所以.又因為a2＝b2＋c2，所以b2＝3.所以橢圓的方程為.(2)由,得(b2＋a2k2)x2－a2b2＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝0，x1x2＝，依題意易知，OM⊥ON，四邊形OMF2N為矩形，所以AF2⊥BF2.因為(x1－3，y1)，(x2－3，y2)，所以(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋9＝0.即，將其整理為k2＝＝－1－.因為<e≤，所以2≤a<3，12≤a2<18.所以k2≥，即k∈【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵是由O在以MN為直徑的圓上，即OM⊥ON，得到四邊形OMF2N為矩形，推出AF2⊥BF2，結(jié)合韋達定理得出斜率k與離心率e的關系.18、（1）（2）或【解析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法求得直線與所成角的余弦值.（2）結(jié)合直線與平面所成的角，利用向量法列方程，化簡求得的長.【小問1詳解】依題意點在平面ABC上的射影為線段AC的中點D，所以平面，，由于，所以，以為空間坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，，，當是等邊三角形時，，.設直線與所成角為，則.【小問2詳解】設，則，，設平面的法向量為，則，故可設，設直線與平面所成角為，則，化簡的，解得或，也即或.19、（1）；（2）4【解析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義，代入化簡得，進而可得的值；（2）設，可得，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得，進而可得結(jié)果.【詳解】解：（1）因為是奇函數(shù)，所以，即，整理得，又，所以（2）設，因為，所以因為是奇函數(shù)，所以所以【點睛】本題主要考查了已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的值，根據(jù)函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的值，屬于中檔題.20、（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為（2）【解析】（1）利用導數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間.（2）利用分離參數(shù)法，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法以及導數(shù)求得的取值范圍.【小問1詳解】當時，，，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.【小問2詳解】，恒成立.構(gòu)造函數(shù)，，，構(gòu)造函數(shù)，，所以在上遞增，，所以在上成立，所以，所以，即的取值范圍是.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）利用面面垂直和線面垂直的性質(zhì)定理可證得；由菱形邊長和角度的關系可證得；利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）以為坐標原點建立起空間直角坐標系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.詳解】（1）平面平面，平面平面，且平面，平面，平面，，四邊形為菱形且為中點，，又，，又，，平面，，平面.（2）以為坐標原點可建立如下圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，，，則，，，設平面的法向量，則，令，則，，，設平面的法向量，則，令，