云南省賓川縣四校2024屆數(shù)學高二上期末教學質量檢測模擬試題含解析

云南省賓川縣四校2024屆數(shù)學高二上期末教學質量檢測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．點到直線的距離為A.1 B.2C.3 D.42．已知是空間的一個基底，若，，若，則（）A B.C.3 D.3．三棱錐D－ABC中，AC＝BD，且異面直線AC與BD所成角為60°，E、F分別是棱DC、AB的中點，則EF和AC所成的角等于()A.30° B.30°或60°C.60° D.120°4．在空間直角坐標系下，點關于軸對稱的點的坐標為（）A. B.C. D.5．設實數(shù)，滿足，則的最小值為（）A.5 B.6C.7 D.86．已知銳角的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若向量，，，則的最小值為（）A. B.C. D.7．直線分別與曲線，交于，兩點，則的最小值為（）A. B.1C. D.28．甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機地排成一行，則甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的概率為（）A. B.C. D.9．如圖所示，已知是橢圓的左、右焦點，為橢圓的上頂點，在軸上，，且是的中點，為坐標原點，若點到直線的距離為3，則橢圓的方程為（）A B.C. D.10．若1，m，9三個數(shù)成等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率是（）A.或 B.或2C.或 D.或211．已知半徑為2的圓經過點（5，12），則其圓心到原點的距離的最小值為（）A.10 B.11C.12 D.1312．將點的極坐標化成直角坐標是(

)A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，，則___________.14．隨機變量X的取值為0，1，2，若，，則_________15．若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則該雙曲線的實軸長為______.16．直線被圓所截得的弦中，最短弦所在直線的一般方程是__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓C的圓心在直線上，且過點，（1）求圓C的方程；（2）過點作圓C的切線，求切線的方程18．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）設為的導數(shù)，若方程的兩根為，且，當時，不等式對任意的恒成立，求正實數(shù)的最小值.19．（12分）設函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，.（1）若，求的最小值；（2）若，證明：恒成立.20．（12分）已知橢圓C：的離心率為，點為橢圓C上一點（1）求橢圓C的方程；（2）若M，N是橢圓C上的兩個動點，且的角平分線總是垂直于y軸，求證：直線MN的斜率為定值21．（12分）已知數(shù)列滿足，（）.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列滿足：（），求數(shù)列的前項和.22．（10分）已知為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列前n項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】直接利用點到直線的距離公式得到答案.【詳解】，答案為B【點睛】本題考查了點到直線的距離公式，屬于簡單題.2、C【解析】由，可得存在實數(shù)，使，然后將代入化簡可求得結果【詳解】，，因為，所以存在實數(shù)，使，所以，所以，所以，得，，所以，故選：C3、B【解析】取AD中點為G，連接GF、GE，易知△EFG為等腰三角形，且∠EGF為異面直線AC和BD所成角或其補角，據(jù)此可求∠FEG大小，從而得EF和AC所成的角的大小【詳解】如圖，取AD中點為G，連接GF、GE，易知FG∥BD，GE∥AC，且FG＝，GE＝AC，故FG＝GE，∠EGF為異面直線AC和BD所成角或其補角，故∠EGF＝60°或120°故EF和AC所成角為∠FEG或其補角，當∠EGF＝60°時，∠FEG＝60°，當∠EGF＝120°時，∠FEG＝30°，∴EF和AC所成的角等于30°或60°故選：B4、C【解析】由空間中關于坐標軸對稱點坐標的特征可直接得到結果.【詳解】關于軸對稱的點的坐標不變，坐標變?yōu)橄喾磾?shù)，關于軸對稱的點為.故選：C.5、A【解析】作出不等式組的可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結合的思想求解即可.【詳解】畫出約束條件的平面區(qū)域，如下圖所示：目標函數(shù)可以化為，函數(shù)可以看成由函數(shù)平移得到，當直線經過點時，直線的截距最小，則，故選：6、C【解析】由，得到，根據(jù)正弦、余弦定理定理化簡得到，化簡得到，再結合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，向量，，因為，所以，可得，由正弦定理得，整理得，又由余弦定理，可得，因為，所以，由，所以，因為是銳角三角形，且，可得，解得，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為.故選：C7、B【解析】設，，，，得到，用導數(shù)法求解.【詳解】解：設，，，，則，，，令，則，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，時，函數(shù)的最小值為1，故選：B8、A【解析】先求出所有的基本事件，再求出甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的基本事件，根據(jù)古典概型的概率公式求解即可【詳解】甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機地排成一行有種方法，甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的排法為先將甲、乙捆綁在一起，再與戊進行排列，然后丙、丁從3個空中選2個空插入，則共有種方法，所以甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的概率為，故選：A9、D【解析】由題設可得，直線的方程為，點線距離公式表示到直線的距離，又聯(lián)立解得即可得出答案.【詳解】且，則△是等邊三角形，設，則①，∴直線方程為，即，∴到直線的距離為②，又③，聯(lián)立①②③，解得，，故橢圓方程為.故選：D.10、D【解析】運用等比數(shù)列的性質可得，再討論，，求出曲線的，，由離心率公式計算即可得到【詳解】三個數(shù)1，，9成等比數(shù)列，則，解得，，當時，曲線為橢圓，則；當時，曲線為為雙曲線，則離心率故選：11、B【解析】由條件可得圓心的軌跡是以點為圓心，半徑為2的圓，然后可得答案.【詳解】因為半徑為2的圓經過點（5，12），所以圓心的軌跡是以點為圓心，半徑為2的圓，所以圓心到原點的距離的最小值為，故選：B12、A【解析】本題考查極坐標與直角坐標互化由點M的極坐標，知極坐標與直角坐標的關系為，所以的直角坐標為即故正確答案為A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】由空間向量數(shù)量積的坐標運算可得答案.【詳解】因為，，，所以，.故答案為：2.14、##0.4【解析】設出概率，利用期望求出相應的概率，進而利用求方差公式進行求解.【詳解】設，則，從而，解得：，所以故答案為：15、2【解析】求得雙曲線的一條漸近線方程，求得圓心和半徑，運用點到直線的距離公式和弦長公式，可得a，b的關系，即可得到的值【詳解】一漸近線x＋ay＝0，被圓(x－2)2＋y2＝4所截弦長為2，所以圓心到直線距為，即，a＝1.所以雙曲線的實軸長為2.故答案為：16、【解析】先求出直線所過的定點，當該定點為弦的中點時弦長最短，利用點斜式求出直線方程，整理成一般式即可.【詳解】即，令，解得即直線過定點圓的圓心為，半徑為，最短弦所在直線的方程為整理得最短弦所在直線的一般方程是故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】(1)由圓心在直線上，設，由點在圓上，列方程求，由此求出圓心坐標及半徑，確定圓的方程；(2)當切線的斜率存在時，設其方程為，由切線的性質列方程求，再檢驗直線是否為切線，由此確定答案.小問1詳解】因為圓C的圓心在直線上，設圓心的坐標為，圓C過點，，所以，即，解得，則圓心，半徑，所以圓的方程為；【小問2詳解】當切線的斜率存在時，設直線的方程為，即，因為直線和圓相切，得，解得，所以直線方程為，當切線的斜率不存在時，易知直線也是圓的切線，綜上，所求的切線方程為或18、（1）（2）1【解析】（1）先求導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可求得切線方程；（2）將已知方程結合其兩根，進行變式，求得，利用該式再將不等式變形，然后將不等式的恒成立問題變?yōu)楹瘮?shù)的最值問題求解.【小問1詳解】由題意可得，所以切點為，則切線方程為：.【小問2詳解】由題意有：，則，因為分別是方程的兩個根，即.兩式相減，則，則不等式，可變?yōu)?，兩邊同時除以得，，令，則在上恒成立.整理可得，在上恒成立，令，則，①當，即時，在上恒成立，則在上單調遞增，又，則在上恒成立；②當，即時，當時，，則在上單調遞減，則，不符合題意.綜上：，所以的最小值為1.19、（1）（2）證明見解析【解析】（1）當時，，求出，可得答案；（2）設，，，，，設，求出利用單調性可得答案.【小問1詳解】當時，，則，所以單調遞增，又，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以.【小問2詳解】設，若，則，若，則，設，則，所以單調遞增，又，當時，，上單調遞減，當時，，單調遞增，所以，所以，綜上，恒成立.【點睛】本題考查了求函數(shù)值域或最值的問題，一般都需要通過導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值、最值來處理，特別的要根據(jù)所求問題，適時構造恰當?shù)暮瘮?shù)，再利用所構造函數(shù)的單調性、最值解決問題是常用方法，考查了學生分析問題、解決問題的能力.20、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率公式，結合代入法進行求解即可；（2）根據(jù)角平分線的性質，結合一元二次方程根與系數(shù)關系、斜率公式進行求解即可.【小問1詳解】橢圓的離心率，又，∴∵橢圓C：經過點，解得，∴橢圓C的方程為；【小問2詳解】∵∠MPN的角平分線總垂直于y軸，∴MP與NP所在直線關于直線對稱．設直線MP的斜率為k，則直線NP的斜率為∴設直線MP的方程為，直線NP的方程為設點，由消去y，得∵點在橢圓C上，則有，即同理可得∴，又∴直線MN的斜率為【點睛】關鍵點睛：由∠MPN的角平分線總垂直于y軸，得到MP與NP所在直線關于直線對稱是解題的關鍵.21、(1)證明見解析，；