最優(yōu)控制-西安交通大學(xué)課件note06

線性連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制補(bǔ)充講義（2004-03-03.6可化為規(guī)范形式的LQ問題3.6.1具有規(guī)定衰減速度（穩(wěn)定度）的調(diào)節(jié)器ReImReIm衰減速度：系統(tǒng)離虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)與虛軸間的距離，。越大，系統(tǒng)的非零初態(tài)響應(yīng)的衰減速度愈快。若閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)都在距離虛軸為的直線左邊，則稱閉環(huán)系統(tǒng)有至少不低于的衰減速度。最優(yōu)化問題I：式中，R正定，Q半正定，為正常量，（A,B）為能控對(duì)，（A,D）為能觀對(duì)，令，則有轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問題II： 可以證明：[A,B]完全能控完全能控。[A,D]完全能觀完全能觀。則，最優(yōu)化問題II有唯一解：其中又由于所以，兩個(gè)最優(yōu)控制問題的反饋增益陣是相同的，又由于最優(yōu)控制問題II的閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，即所以，也是漸近穩(wěn)定的，且其衰減速度不低于。即閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)均落在復(fù)平面-直線的左邊。注意，這時(shí)并不能保證衰減速度恰好是，且大于多少也不能保證?？梢杂尚〉酱蟾淖?，通過試驗(yàn)的方法找到合適的值，保證有規(guī)定的衰減率。3.6.2具有非零設(shè)定點(diǎn)的調(diào)節(jié)器線性定常系統(tǒng)其中第一項(xiàng)由最優(yōu)化問題解得：（不考慮非零設(shè)定值）確定：代入狀態(tài)方程由于系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定由于(A-BK)的特征值都在左半復(fù)平面，(A-BK)非奇異。則(這是一個(gè)線性方程組，需討論其有解、無解、有無窮解的條件。)當(dāng)，控制維數(shù)=輸出維數(shù)時(shí)，有如下定理。定理：已知線性定常系統(tǒng)其中y和u具有相同的維數(shù)，對(duì)于任何漸近穩(wěn)定的定?？刂坡桑毫钍情_環(huán)傳遞函數(shù)陣是閉環(huán)傳遞函數(shù)陣當(dāng)且僅當(dāng)，的“分子多項(xiàng)式”沒有的零點(diǎn)，則是非奇異矩陣，若選可保證穩(wěn)態(tài)時(shí)，從而實(shí)現(xiàn)非零給定點(diǎn)調(diào)節(jié)。aaC+-Kxyuysp例：（解書p389）受控系統(tǒng)：其中 取解最優(yōu)控制LQR得得——對(duì)零設(shè)定點(diǎn)對(duì)非零設(shè)定點(diǎn)：而3.6.3跟蹤問題要求系統(tǒng)輸出盡量接近所希望的軌線，并使規(guī)定的性能指標(biāo)泛函為最小。線性系統(tǒng)設(shè)預(yù)期的軌線：求最優(yōu)控制，使令則，最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為： （有局限性，預(yù)期軌線漸進(jìn)穩(wěn)定。）可解得由推導(dǎo)，易知K1為給出調(diào)節(jié)器問題的反饋增益陣。CCKxyK1u*--CCK1xyK--當(dāng)不可測(cè)時(shí)，由狀態(tài)觀測(cè)器得到。3.6.4限制輸入信號(hào)的變化速率在控制輸入前引入一個(gè)積分環(huán)節(jié)，構(gòu)成一個(gè)xx∫uu增廣系統(tǒng)給定記則，系統(tǒng)性能指標(biāo)轉(zhuǎn)化為：當(dāng)完全能控，對(duì)任意滿足的，完全能觀時(shí)，最優(yōu)問題有定常解記最優(yōu)控制滿足KKxK1∫u增廣系統(tǒng)控制器--uK1xK∫--動(dòng)態(tài)控制器可以證明（1）完全能控完全能控（2）對(duì)任意滿足的矩陣，完全能觀測(cè)對(duì)滿足的，完全能觀測(cè)。3.6.5補(bǔ)償擾動(dòng)的影響補(bǔ)償緩變擾動(dòng)的影響，亦稱為無差調(diào)節(jié)器。系統(tǒng)其中為被控制變量，考慮與維數(shù)相同以定義一個(gè)新的狀態(tài)定義二次型性能指標(biāo)其中體現(xiàn)被控制量響應(yīng)曲線下的面積盡可能小。轉(zhuǎn)化為如下最優(yōu)控制問題：在適當(dāng)?shù)哪芸匦?、能觀性條件下，可得且閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。u-K1xKC∫∫yz--由于（常值）擾動(dòng)不改變閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。因此，在擾動(dòng)作用下，仍有由則，無穩(wěn)態(tài)誤差。此稱作PI最優(yōu)反饋系統(tǒng)。

3.7最優(yōu)調(diào)節(jié)器的頻率公式與性質(zhì)線性定常調(diào)節(jié)器不僅能使控制系統(tǒng)在二次型性能指標(biāo)意義下達(dá)到最優(yōu)，同時(shí)還保證了閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，這一點(diǎn)具有重要的工程意義。關(guān)心的問題：穩(wěn)定裕量、快速性、對(duì)參數(shù)變化的靈敏度、對(duì)非線性介入的容許限度以及穩(wěn)態(tài)特性等?；仡櫼幌聺u近穩(wěn)定的定常調(diào)節(jié)器問題。線性定常系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)：其中，A，B，R和Q都是具有適當(dāng)維數(shù)的定常矩陣，[A,B]完全能控，RT=R>0，QT=Q0，且對(duì)于任一使Q=DDT成立的矩陣D，[A,D]完全能觀測(cè)。最優(yōu)控制律為：反饋增益陣：其中P是Riccati矩陣代數(shù)方程：的唯一正定解矩陣。閉環(huán)系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定。3.7.1頻域公式在考查閉環(huán)穩(wěn)定性時(shí)，如下兩個(gè)方框圖是系價(jià)的。KKu*x-Ku*x-則系統(tǒng)前向通道傳遞函數(shù)下面討論與此有關(guān)的關(guān)系式由Riccati方程：加減PsI：由，得：左乘，右乘兩邊加I，且,則稱為最優(yōu)反饋系統(tǒng)的頻率公式。取是正定陣的平方根陣，也是非奇異對(duì)稱陣右側(cè)右邊一項(xiàng)，由于半正定，即。所以,稱作最優(yōu)性頻域條件（必要條件）。對(duì)單輸入情況，不失一般性可取R=1，B=b為向量則：其中，3.7.2最優(yōu)調(diào)節(jié)器的增益裕度在經(jīng)典的頻率域分析中，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性可由開環(huán)頻率特性（Nyquist曲線）在復(fù)平面中圍繞(-1,j0)點(diǎn)的情況來判定。Nyquist曲線離(-1,j0)點(diǎn)的遠(yuǎn)近，反映出閉環(huán)系統(tǒng)離開穩(wěn)定邊界的程度。當(dāng)通過(-1,j0)點(diǎn)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界，稱臨界穩(wěn)定。接近穩(wěn)定邊界的系統(tǒng)，系統(tǒng)呈現(xiàn)振蕩傾向，且當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，系統(tǒng)容易變?yōu)椴环€(wěn)定。頻率分析中常用相角裕量和增益裕量來表征Nyquist曲線與(-1,j0)點(diǎn)的接近程度。增益裕量：閉環(huán)系統(tǒng)到達(dá)臨界穩(wěn)定點(diǎn)之前，開環(huán)增益系數(shù)所增加的倍數(shù)。在數(shù)值上，它等于最靠近(-1,j0)點(diǎn)的Nyquist曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的倒數(shù)。如果將開環(huán)增益系數(shù)的變化表示為，當(dāng)時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。改變后，只要Nyquist曲線逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)的次數(shù)等于在右半平面內(nèi)的極點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，則閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。當(dāng)改變時(shí)，Nyquist曲線變大或縮小，而形狀保持不變，最優(yōu)調(diào)節(jié)器保證，即其上任何點(diǎn)與(-1,j0)點(diǎn)的距離總不小于1。因此最優(yōu)反饋系統(tǒng)的變化范圍在()ReReIm-103.7.3相位裕量相位裕量：在增益交界頻率上，使系統(tǒng)達(dá)到不穩(wěn)定邊緣所需附加的相位滯后量。增益交界頻率：開環(huán)頻率特性的模時(shí)的頻率，從數(shù)值上看，如果Nyquist曲線的部分與以原點(diǎn)為圓心的單位圓的交點(diǎn)記為A，則相位裕量等于OA與負(fù)實(shí)軸間的夾角。最優(yōu)反饋系統(tǒng)Nyquist曲線與單位圓的交點(diǎn)A，只能限制在紅色的部分。最優(yōu)反饋系統(tǒng)的相位裕量不小于。