隨機(jī)變量的直觀意義連續(xù)型變量

隨機(jī)變量的直觀意義(連續(xù)型變量)對(duì)于離散型隨機(jī)變量，我們可以建立隨機(jī)變量取值和其概率的一一對(duì)應(yīng)，即概率函數(shù)。而對(duì)于非離散型隨機(jī)變量，如“某地氣溫”、“某類考生的體重”、“某地區(qū)麥穗的長度”、“顧客在郵局窗口等待服務(wù)的時(shí)間”等，這些隨機(jī)變量可能取的值充滿一個(gè)區(qū)間，該怎樣描述它們呢？

連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿一個(gè)區(qū)間，對(duì)這種類型的隨機(jī)變量，不能象離散型隨機(jī)變量那樣，以指定它取每個(gè)值概率的方式，去給出其概率分布，而是通過給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式。引例

某地區(qū)麥穗的長度X是一個(gè)隨機(jī)變量。抽取了部分麥穗，測(cè)得它們的長度，數(shù)據(jù)整理后的信息如下：即當(dāng)Δx無限減小，分組無限增多時(shí)，頻率分布直方圖就會(huì)無限接近一條光滑曲線，此即為隨機(jī)變量X的概率密度曲線，以該曲線為圖形的函數(shù)稱為X的概率密度函數(shù)。

連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的定義

對(duì)于隨機(jī)變量X，若存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)f(x)，x∈(-∞，+∞)，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，b(a<b),有就稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度或密度函數(shù)。在直角坐標(biāo)系下，密度函數(shù)的圖形稱為隨機(jī)變量X的密度曲線。由定積分的幾何意義可知:X在區(qū)間(a,b]上取值的概率P{a<X≤b}正是在該區(qū)間上以密度曲線為曲邊的曲邊梯形的面積。由密度函數(shù)定義和定積分的幾何意義可知：（1）連續(xù)型隨機(jī)變量X取任何一固定值c的概率為零，即P{X=c}=0（2）連續(xù)型隨機(jī)變量X在任一區(qū)間上取值的概率與是否包含區(qū)間的端點(diǎn)無關(guān)，即常見連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)

1.均勻分布(Uniformdistribution)若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

就稱X在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布，記作X~U(a，b)均勻分布常見于下列情形：如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五入，小數(shù)點(diǎn)后某一位小數(shù)引入的誤差，例如對(duì)小數(shù)點(diǎn)后第一位進(jìn)行四舍五入時(shí)，那么一般認(rèn)為誤差服從（-0.5,0.5）上的均勻分布。

再者，假定班車每隔a分鐘發(fā)出一輛，由于乘客不了解時(shí)間表，到達(dá)本站的時(shí)間是任意的（具有等可能性），故可以認(rèn)為候車時(shí)間服從區(qū)間(0，a)上的均勻分布。

性質(zhì)：均勻分布具有等可能性

服從U(a,b)上的均勻分布的隨機(jī)變量X落入(a,b)中的任意子區(qū)間上的概率只與其區(qū)間長度有關(guān)，與區(qū)間所處的位置無關(guān)。直觀理解就是，X落入(a,b)中的任意等長度子區(qū)間上是等可能的。

例

某報(bào)時(shí)臺(tái)以1min為單位報(bào)時(shí)，即等于或超過30s進(jìn)位1min，不足30s則略去不計(jì)，若以X表明報(bào)時(shí)臺(tái)報(bào)時(shí)的化整（化整為1min）的誤差：(1)寫出X的概率密度函數(shù)；（2）求P{X>10},P{|X|≤10}。解：(1)依題意，X的可能取值必落在區(qū)間(-30，30]內(nèi)，而且在該區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)有相同的概率密度，或者說，X落在區(qū)間(-30，30]之內(nèi)的任意等長度的部分區(qū)間的可能性是相同的。所以X在區(qū)間(-30，30]上服從均勻分布。概率密度函數(shù)為可以看出，隨機(jī)誤差X落在區(qū)間長度為20s的時(shí)間段內(nèi)的概率都是1/3，其概率與區(qū)間所處的位置無關(guān)，只與區(qū)間長度有關(guān)。案例

北京公交1路每5分鐘一趟按時(shí)通過天安門東站，一乘客在隨機(jī)選擇的時(shí)間到達(dá)車站。以X記他的等車時(shí)間(以分計(jì))，則X是一個(gè)隨機(jī)變量，計(jì)算其等車時(shí)間不多于2分鐘的概率。2.指數(shù)分布(Exponentialdistribution)指數(shù)分布的概率密度曲線如圖:因?yàn)橹笖?shù)分布只可能取非負(fù)實(shí)數(shù)，所以它被用作各種“壽命”分布的近似分布，例如電子元器件的壽命，隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間等都可假定服從指數(shù)分布．指數(shù)分布在可靠性理論與排隊(duì)論中有著廣泛的應(yīng)用。例

設(shè)某日光燈管的使用壽命X服從參數(shù)為λ=1/2000的指數(shù)分布。(1)任取一根這種燈管，求能正常使用1000小時(shí)以上的概率；(2)有一根這種燈管，求正常使用了2000小時(shí)后，還能使用1000小時(shí)以上的概率。從本例可看出，一根燈管能正常使用1000小時(shí)以上的概率為0.607，在使用2000小時(shí)后還能使用1000小時(shí)以上的概率仍為0.607。這是指數(shù)分布的一個(gè)有趣的“無記憶性”。性質(zhì)：指數(shù)分布具有無記憶性指數(shù)分布的無記憶性，簡(jiǎn)單來理解，就是使用壽命的長短，與它工作過多少小時(shí)是無關(guān)的。即案例

電子元件的使用壽命——某種電子元件的壽命X(以小時(shí)計(jì))服從指數(shù)分布，其概率密度