中國二次型研究的開拓者數(shù)學(xué)家柯召

第頁中國二次型研究的開拓者——數(shù)學(xué)家柯召柯召，數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)教育家。長期在四川大學(xué)任教，曾任該校校長多年。研究領(lǐng)域涉及數(shù)論、組合數(shù)學(xué)與代數(shù)學(xué)。在二次型、不定方程領(lǐng)域獲眾多優(yōu)秀成果。 柯召，字惠棠。1910年出生在浙江溫嶺一個平民家里。父親柯伯存在當(dāng)?shù)匾患倚〔间佒挟?dāng)?shù)陠T，母親是家庭婦女，家境窘迫，勉強度日?？抡?歲時，父親即教他認(rèn)字，訓(xùn)教甚嚴(yán)。1921年，柯召11歲，本已可升中學(xué)，因年幼，父親便讓他在家鄉(xiāng)讀了一年私塾，從此打下了良好的古漢文基礎(chǔ)。1922年，入杭州安定中學(xué)讀書，1926年畢業(yè)。同年考入廈門大學(xué)預(yù)科，1928年升入廈門大學(xué)數(shù)學(xué)系。學(xué)滿兩年后，他希望轉(zhuǎn)學(xué)到師資力量更強的清華大學(xué)。為籌學(xué)費，他去教了一年中學(xué)。1931年，通過考試轉(zhuǎn)學(xué)到清華大學(xué)算學(xué)系。當(dāng)時，在系里任教的有熊慶來、孫光遠(yuǎn)、楊武之、胡坤陞等，和柯召一起聽課的有陳省身、華羅庚、許寶騄、吳大任等。華羅庚是系里的職員，陳省身和吳大任是研究生，柯召和許寶騄是本科生。后來，這五人都成了著名的數(shù)學(xué)家。1933年，柯召以優(yōu)異成績畢業(yè)。當(dāng)時的清華大學(xué)淘汰率極高，他們那一屆畢業(yè)時僅剩他和許寶騄二人，都是在三年級轉(zhuǎn)學(xué)來的。楊武之是美國芝加哥大學(xué)博士，中國早期從事現(xiàn)代數(shù)論研究的學(xué)者，柯召和華羅庚都受他指導(dǎo)，師生情誼很深。課余時間，柯召常去老師家中下圍棋。楊武之的兒子楊振寧當(dāng)時還年幼，常站在一旁觀棋。 1933年，柯召應(yīng)姜立夫的聘請，去天津南開大學(xué)數(shù)學(xué)系當(dāng)助教。當(dāng)時南開大學(xué)數(shù)學(xué)系只有他一個助教，任務(wù)很重，他工作孜孜不倦，做得十分出色。 1935年，他考上了中英庚款的公費留學(xué)生，去英國曼徹斯特大學(xué)深造，在導(dǎo)師L.J.莫德爾(Mordell)的指導(dǎo)下研究二次型，在表二次型為線性型平方和的問題上，取得優(yōu)異成績，并應(yīng)邀在倫敦數(shù)學(xué)會作報告，受到當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家G.H.哈代(Hardy)的好評。這是中國人首次登上倫敦數(shù)學(xué)會的講臺。1937年，由哈代和莫德爾主考，柯召獲得博士學(xué)位。接著，他在曼徹斯特大學(xué)數(shù)學(xué)系工作一年，指導(dǎo)一位英國學(xué)生取得碩士學(xué)位。在英國3年，柯召學(xué)習(xí)刻苦、工作勤奮，為他畢生從事數(shù)學(xué)的教學(xué)和研究打下了堅實的基礎(chǔ)。到1938年為止，才華橫溢的柯召，在《數(shù)論學(xué)報》、《牛津數(shù)學(xué)季刊》、《倫敦數(shù)學(xué)會雜志》、《倫敦數(shù)學(xué)會會報》等國際一流雜志上發(fā)表了10多篇極為出色的論文，除了包括二次型方面的一系列深刻工作外，還包括了中國最早的代數(shù)數(shù)論和數(shù)的幾何方面的研究成果。 當(dāng)時，在曼徹斯特大學(xué)聚集了一批數(shù)論新秀，他們當(dāng)中除柯召外，還有P.愛爾特希(Erdos)、H.達(dá)文波特(Davenport)、K.馬勒(Mahler)等人，后來他們都成了國際上的著名數(shù)學(xué)家?？抡倥c愛爾特希在曼徹斯特大學(xué)期間合寫了3篇重要論文，結(jié)下了深厚的友誼，持續(xù)至今。52年后，愛爾特希在《四川大學(xué)學(xué)報》為慶祝柯召80壽辰出版的專輯上發(fā)表文章，滿懷深情地回憶和柯召在英國同窗的美好日子。 1938年夏，柯召不顧老師莫德爾的再三挽留，滿懷報國之心，毅然回到正受日本侵略軍蹂躪的祖國。他和留英的李華宗都來到了成都，受聘為四川大學(xué)教授，講授代數(shù)和幾何方面的課程。翌年夏，他任四川大學(xué)數(shù)學(xué)系主任。這時，為躲避日本侵略軍的空襲，四川大學(xué)由成都遷往峨嵋。盡管抗戰(zhàn)大后方條件極為艱苦，他仍堅持教書育人，積極從事科學(xué)研究;在此期間他與李華宗合作，進(jìn)行了矩陣代數(shù)方面的研究。特別是他主持?jǐn)?shù)學(xué)系之后，很注意科研工作和學(xué)生能力的培養(yǎng)，除課堂教學(xué)外，定期舉辦全系的學(xué)術(shù)討論會。在四川大學(xué)校史上有這樣一段記載：“1938—1942年在峨嵋期間，數(shù)學(xué)系每周設(shè)專題研究課，召集全系師生作集體研究，各人闡述自己的研究心得，共同討論，這種專題研究十分吸引人……它造就了一批在數(shù)學(xué)上銳進(jìn)不已的人材?！彼屠钊A宗合作的論文，以及和他的學(xué)生朱福祖合作的二次型方面的論文，都是這個專題研究課的產(chǎn)物。 1946年，柯召應(yīng)聘到重慶大學(xué)數(shù)學(xué)系任教授。那時物價暴漲，貨幣貶值，教員生活非常清苦，柯召仍孜孜不倦從事教學(xué)工作，精心講授“群論”、“數(shù)論”等課程，深受學(xué)生的歡迎，培養(yǎng)出陳重穆等優(yōu)秀的學(xué)生。 中華人民共和國建立后，柯召繼續(xù)在重慶大學(xué)任教。1953年，他調(diào)回四川大學(xué)任教至今。在這40余年間，他以滿腔的熱情投入教學(xué)和科研工作，為國家培養(yǎng)了許多優(yōu)秀數(shù)學(xué)人材，在科研上碩果累累。與此同時，他還先后擔(dān)任了四川大學(xué)教務(wù)長、副校長、校長、數(shù)學(xué)研究所所長等職，作為學(xué)術(shù)帶頭人和學(xué)校負(fù)責(zé)人，他卓有成效地抓了幾個重要方面的工作：努力提高教學(xué)質(zhì)量，積極開展基礎(chǔ)理論研究，發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)，培養(yǎng)一批高水平的人材，等等。 柯召一貫重視提高教學(xué)質(zhì)量，反對“注入式”的教學(xué)方法，主張搞教學(xué)的人要積極開展科學(xué)研究，使講課深入淺出，富有啟發(fā)性。他自己以身作則，對待教學(xué)工作認(rèn)真負(fù)責(zé)，從上基礎(chǔ)課“高等代數(shù)”到講授選修課“數(shù)論導(dǎo)引”，均一絲不茍，講解生動，極富啟發(fā)性，深受學(xué)生的歡迎。他還重視教材建設(shè)，中華人民共和國成立初期，翻譯出版了A.Γ.庫洛什(Kypoш)的《高等代數(shù)教程》、A.и.馬爾采夫(Mалъцев)的《線性代數(shù)學(xué)》以及ф.P.甘特馬赫爾(гантмахер)的《矩陣論》等，前二種教材被當(dāng)時各大專院校數(shù)學(xué)系普遍采用，為數(shù)學(xué)教育的發(fā)展作出了貢獻(xiàn)。1981年，他與魏萬迪合作編寫出版了《組合論》(上冊);1986—1987年，他和孫琦合作出版了《數(shù)論講義》，這些教材的出版，受到廣大讀者和國內(nèi)外同行的好評。 柯召非常重視基礎(chǔ)理論研究。1955年，他帶領(lǐng)一些青年教師和學(xué)生，在線性型的最大不可表數(shù)的問題上，作了不少工作。同時，他在二次型方面繼續(xù)發(fā)表了一些優(yōu)秀論文。特別在60年代，他在不定方程方面，得到一系列極為出色的結(jié)果。在組合數(shù)學(xué)方面，與愛爾特希、T.拉多(Radó)合作，發(fā)表了著名的愛爾特希-柯-拉多定理。他主張科研工作要持之以恒，不能停頓，他說，“研究工作不怕慢，只怕站”。他長期參加并指導(dǎo)有多名中青年教師參加的數(shù)論討論班，鼓勵大家敢于向難度大的問題挑戰(zhàn)。他用袁枚的一首詩來表達(dá)他對科學(xué)研究的深切體會：“但肯尋詩便有詩，靈犀一點是吾師，夕陽芳草尋常物，解用都為絕妙詞?！彼f：“對科學(xué)研究確有此種境界，肯下功夫，總會有收獲，靈感之來源于刻苦，能靈活運用，可以得出很好的結(jié)果。” 柯召很重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用工作。早在50年代初期，他就在四川大學(xué)數(shù)學(xué)系提出要發(fā)展微分方程、概率統(tǒng)計和計算數(shù)學(xué)這三個有重要應(yīng)用價值的數(shù)學(xué)分支。60年代初，他曾親自參加線性規(guī)劃的推廣和應(yīng)用工作。1972—1973年，他不辭辛苦地同一些中青年教師一道，到四川的滬州、廣元、峨嵋、成都等地去推廣優(yōu)選法，舉辦講座。1974-1975年，他親自編寫了國內(nèi)第一部組合論講義，作為部隊學(xué)員培訓(xùn)班的教材。他支持他的學(xué)生魏萬迪從事組合數(shù)學(xué)的研究，支持孫琦、鄭德勛等開展快速數(shù)論變換的研究，使得四川大學(xué)在這兩個方面都取得了不少好成績。80年代初，他又積極帶領(lǐng)四川大學(xué)數(shù)論組的教師從事國防應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究，開拓數(shù)論應(yīng)用的新領(lǐng)域，為社會主義現(xiàn)代化服務(wù)，取得了豐碩的成果。 柯召認(rèn)為：“大學(xué)的設(shè)備，不如師資重要，西南聯(lián)合大學(xué)就是證明。它的設(shè)備不行，還是培養(yǎng)出了楊振寧、李政道等多位杰出學(xué)者，其原因是西南聯(lián)合大學(xué)的師資力量很強?！币虼?，他熱心于培養(yǎng)學(xué)生，提攜優(yōu)秀人材，反對論資排隊。50年代以來，他培養(yǎng)過的許多學(xué)生，例如陳重穆、陸文端、張同、鄭德勛、魏萬迪、謝盛剛、孫琦、李德瑯等，如今都已成長為我國數(shù)學(xué)教學(xué)和研究隊伍中的骨干力量。 柯召是最早的中國科學(xué)院數(shù)理學(xué)部委員之一，長期擔(dān)任中國數(shù)學(xué)會的領(lǐng)導(dǎo)工作，直至1983年第4屆全國數(shù)學(xué)大會改任為名譽理事長。他于1963年和1978年，兩度參加了制定國家發(fā)展規(guī)劃的工作，為中國數(shù)學(xué)事業(yè)的發(fā)展做了大量的重要工作。他還擔(dān)任過國務(wù)院學(xué)位委員會第一屆學(xué)科評議組成員，國家教委教材編審組“代數(shù)、數(shù)論”組成員，《數(shù)學(xué)學(xué)報》編委，《數(shù)學(xué)年刊》副主編等多種職務(wù)。 柯召還是一位社會活動家。1950年，他參加了九三學(xué)社，歷任九三學(xué)社中央常委、副主席、參議委員會副主任，九三學(xué)社四川省主委，四川省政治協(xié)商會議副主席，四川省科學(xué)技術(shù)協(xié)會副主席、名譽主席等職?？抡偈堑?至第7屆的全國人民代表大會代表。 從30年代到80年代，柯召發(fā)表了上百篇卓有創(chuàng)見的論文，其中不少論文從結(jié)果到方法在國際上都產(chǎn)生了重大影響，具有重要的學(xué)術(shù)價值。 中國二次型研究的開拓者 從30年起，柯召在表二次型為線性型平方和的問題方面，在二次型表為不可分解型之和以及二次型的等價分類等問題上，作了一系列重要工作，他是中國二次型研究的開拓者。 1.表平方和問題。 設(shè) 是一個整系數(shù)正定二次型，Rn表示最小的i，j=1正整數(shù)rn，使得對一個任給的n元二次型f，存在rn個線性型 這里Q表示有理數(shù)域。尋求Rn的工作始于E.G.H.蘭道(Landau)和莫德爾。1937年，莫德爾證明了Rn≤n十3。1937年，柯召對Rn≤n十3給出了一個簡潔的證明，并于1938年證明了Rn=n十3，從而徹底解決了這一問題。這是他在二次型方面的第一個重要工作。 1940年，他還證明了對于任給的非定n元么模二次型f，存在εi=±1和線性型Li，使得 2.不可分問題。 設(shè)f是一個整系數(shù)正定二次型，如果f不能表成二個整系數(shù)非負(fù)二次型的和，我們稱f是n元不可分解型。1937年，莫德爾證明了對于n≤5，不存在不可分解型，而在n=8時有這樣的型存在?？抡俸蛺蹱柼叵ＷC明了n≥12時，除開n=13，17，19，23外，均存在n元不可分解型，使這一問題得以基本解決。1958年，柯召證明了不存在13元不可分解型。 3.類數(shù)問題。 設(shè)Cn，1，代表n元正定么模二次型的類數(shù)。C.埃爾米特(Her-mite)證明了n≤7時，Cn，1=1。1937年，莫德爾證明了C8，1=2。1938年，柯召證明了n=9，10，11時，Cn，1=2。同年，他和愛爾特希證明了對適當(dāng)大的n，Cn，1≥2√n。1958年至1960年，他先后證明了C12，1=C13，1=3，C14，1=4，C15，1=5，以及C16，1≥8，并且找出了每一個類的代表型。 這些結(jié)果，至今仍具有重要的學(xué)術(shù)價值。1988年，在日本召開的國際信息論會議上，兩位獲獎人中的一位——美國數(shù)學(xué)家N.J.A.斯托勒(Stoane)，對一位中國代表談到柯召30年代有關(guān)二次型的論文時說：“我很驚異中國人那么早就已作出了巨大的成就?！彼雇欣者€請這位代表帶信向柯召致意：“我拜讀了您1938年關(guān)于二次型的論文，棒極了?！?對不定方程的突出貢獻(xiàn) 柯召從30年代起，就潛心研究不定方程，對這個領(lǐng)域的貢獻(xiàn)十分突出。 1.愛爾特希猜想的否定。 1938年，愛爾特希猜想：不定方程xxyy=zz(1)無整數(shù)解x>1，y>1，z>1。1940年，柯召用極其精湛的初等方法證明了當(dāng)(x，y)=1時，方程(1)無x>1，y>1，z>1的整數(shù)解;但當(dāng)(x，y)>1時，有無窮多組解 時至今日，50多年過去了，愛爾特希對這一美妙的結(jié)果仍然贊嘆不已。愛爾特希說：“柯給出的無窮多組解使我十分驚奇，也許這就是方程的全部解?！笔聦嵣希匠?1)有無其他的解?方程(1)有無奇數(shù)解?這是兩個至今仍未解決的問題。 2.M.維爾納(Werner)猜想的證明。 維爾納猜想：不存在3個有理數(shù)，它們的和為1，它們的乘積也是1。即不定方程 x十y十z=xyz=1無有理數(shù)解。 這一猜想在很長時間內(nèi)使數(shù)學(xué)家們束手無策。這一猜想等價于不定方程 x3+y3+z3-xyz=0，(x，y，z)=1 無xyz≠0的整數(shù)解。1960年，柯召以其扎實的代數(shù)數(shù)論功底，證明了這一猜想。近年來，不定方程x十y十z=xyz=1已推廣到各種代數(shù)數(shù)域，引出一系列深刻的工作。 3.柯氏定理，卡塔朗猜想的重大突破。 1842年，法國數(shù)學(xué)家E.C.卡塔朗(Catalan)提出一個猜想：8和9是僅有的二個大于1的連續(xù)整數(shù)，它們都是正整數(shù)的乘冪。這一著名的猜想，在很長一段時間內(nèi)，甚至連“是否有3個連續(xù)整數(shù)，它們都是正整數(shù)的乘冪;以及方程x2=yn十1(n>3，xy≠0)是否有正整數(shù)解”都未解決。1962年，柯召以極其精湛的方法解決了這兩個難度很大的問題。他證明了不存在3個連續(xù)數(shù)都是正整數(shù)的乘冪，以及證明了方程x2=yn十1在n>3時無xy≠0的正整數(shù)解。這是研究卡塔朗猜想的重大突破。莫德爾的專著《不定方程》(TheDiophantineEquations)中把柯召關(guān)于方程x2-1=yn的結(jié)果稱為柯氏定理。特別是，他在證明這個定理時，提出了計算雅可比(Jacobi)符號來研究不定方程的方法，這里n是奇數(shù)，p、q是不同的奇素數(shù)。1977年，G.特爾加尼亞(Terjanian)對偶指數(shù)費馬大定理第一情形的證明，以及1983年，A.羅特基維奇(Rotkiwicz)在不定方程中所取得的一系列重要結(jié)果，都用到柯召的方法和思想。 愛爾特希-柯-拉多定理 設(shè)S是一個有限集，|S|=n，AiS，|Ai|≤k