高中數(shù)學空間向量的向量積

、、、、空間向量的數(shù)量積本次課課堂教學內(nèi)容要點一：空間向量的數(shù)量積1．兩個向量的數(shù)量積．已知兩個非零向量、，則||·||cos〈，〉叫做向量與的數(shù)量積，記作·，即·=||·||cos〈，〉．要點詮釋：①由于空間任意兩個向量都可以轉(zhuǎn)化為共面向量，所以空間兩個向量的夾角的定義和取值范圍、兩個向量垂直的定義和表示符號及向量的模的概念和表示符號等，都與平面向量相同．②兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)而非向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號由夾角的余弦值決定．③兩個向量的數(shù)量積是兩向量的點乘，與以前學過的向量之間的乘法是有區(qū)別的，在書寫時一定要將它們區(qū)別開來，不可混淆．2.空間向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)是非零向量，是單位向量，則①；②；③或；④；⑤3．空間向量的數(shù)量積滿足如下運算律①（）·=（·）；②·=·（交換律）；③·（+）=·+·（分配律）．要點詮釋：①對于三個不為的向量、、，若·=·，則=；對于三個不為的向量，若不能得出，即向量不能約分．②若·=k，不能得出（或），就是說，向量不能進行除法運算．③對于三個不為0的實數(shù)，、、有（）=（），對于三個不為0的向量、、，有，向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律．要點二：空間兩個向量的夾角1.定義：已知兩個非零向量、，在空間任取一點D，作，，則∠AOB叫做向量與的夾角，記作〈，〉，如下圖。根據(jù)空間兩個向量數(shù)量積的定義：·=||·||·cos〈，〉，那么空間兩個向量、的夾角的余弦,要點詮釋：1.規(guī)定：2.特別地，如果，那么與同向；如果，那么與反向；如果，那么與垂直，記作。2.利用空間向量求異面直線所成的角異面直線所成的角可以通過選取直線的方向向量，計算兩個方向向量的夾角得到。在求異面直線所成的角時，應注意異面直線所成的角與向量夾角的區(qū)別：如果兩向量夾角為銳角或直角，則異面直線所成的角等于兩向量的夾角；如果兩向的夾角為鈍角，則異面直線所成的角為兩向量的夾角的補角。要點三、空間向量的長度1.定義：在空間兩個向量的數(shù)量積中，特別地·=||·||cos0°=||2，所以向量的模：。將其推廣：；。2.利用向量求線段的長度。將所求線段用向量表示，轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題。一般可以先選好基底，用基向量表示所求向量，然后利用||2=2來求解。要點四、空間向量的垂直若，則稱與互相垂直，并記作⊥．根據(jù)數(shù)量積的定義：⊥?·＝0要點詮釋：⊥?·＝0是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一，通?？梢耘c向量的運算法則、有關(guān)運算律聯(lián)系來解決垂直的論證問題．學習目標1.掌握空間向量的數(shù)量積的運算法則、運算律和性質(zhì)。2.能用向量的數(shù)量積計算向量的夾角、長度。3.能用向量的數(shù)量積判斷向量的垂直．重點難點1.能用向量的數(shù)量積計算向量的夾角、長度。2.能用向量的數(shù)量積判斷向量的垂直．【典型例題】類型一：空間向量的數(shù)量積例1．已知向量，向量與的夾角都是，且，試求：（1）；（2）．舉一反三：【變式1】已知向量和的夾角為120°，且||=2，||=5，則（2－）·=_____.例2、如圖，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于a，點E、F、G分別是AB、AD、DC的中點，求下列向量的數(shù)量積．（1）；（2）；（3）；（4）．舉一反三：【變式】已知在長方體中，，AD=4，E為側(cè)面的中心，F(xiàn)為的中點．求下列向量的數(shù)量積：（1）；（2）．類型二：利用空間向量的數(shù)量積求兩向量的夾角．例3．在棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，求異面直線BA1與AC所成的角.舉一反三：【變式1】如圖所示，在空間四邊形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=45°，∠OAB=60°，求異面直線OA與BC所成角的余弦值?！咀兪?】如圖，在棱長為1的正方體中，M、N分別是和的中點，那么直線AM與CN所成的角的余弦值是（）A.B.C.D.類型三：利用空間向量的數(shù)量積求線段的長度。例4、已知，，，求的值。舉一反三：【變式】已知向量、、兩兩之間的夾角都為60°，其模都為1，則等于（）A．B．5C．6D．例5、在直二面角的棱上有兩點A、B，AC和BD各在這個二面角的一個面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，設(shè)AB=8cm，AC=6cm，BD=24cm，求CD的長。舉一反三：【變式1】已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，求線段PC的長。【變式2】已知在平行六面體中，AB=4，AD=3，AA＇=5，∠BAD=90°，∠BAA＇=∠DAA＇=60°，則AC＇等于（）A．85B．C．D．50類型四：利用空間向量的數(shù)量積證垂直．例6．已知空間四邊形中，，，求證：．舉一反三：【變式1】已知在四棱錐中，底面為正方形,平面，且，點分別是的中點.求證：；【變式2】如圖，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a，點M、N分別是邊AB、CD的中點。（1）求證：MN為AB和CD的公垂線；（2）求MN的長；（3）求異面直線AN與MC所成角的余弦值。本次課課后練習一、選擇題：1．對于向量a，b，c和實數(shù)λ，下列命題中真命題是()A．若a·b＝0，則a＝0或b＝0B．若λa＝0，則λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，則a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，則b＝c2．已知向量a、b是平面α的兩個不相等的非零向量，非零向量c是直線l的一個方向向量，則c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C.充要條件D．既不充分也不必要條件3．已知a，b均為單位向量，它們的夾角為60°，那么|a＋3b|=()A. B.C. D．44．若A，B，當取最小值時，的值等于（）A．B．C．D．5．已知向量，滿足且則與的夾角為（） A．B．C．D．6．若平面向量與向量平行，且，則()A．B．C．D．或7．已知在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，同一頂點為端點的三條棱長都等于1，且彼此的夾角都是60°，則此平行六面體的對角線AC1的長為（）．A．6B．C．3D．二、填空題：8．已知單位向量e1，e2的夾角為60°，則|2e1－e2|＝__________.9．已知a，b是空間兩個向量，若|a|=2，|b|=2，，則cos〈a，b〉=________．10．已知線段AB的長度為，與直線的正方向的夾角為120°，則在上的射影的長度為______。11．已知，，，，，，則________。三、解答題12．如圖，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于a，點E、F，G分別是AB、AD、DC的中點。求下列向量的數(shù)量積：（1）；（2）；（3）；（4）。13．已知a＋3b與7a－5b垂直，且a－4b與7a－2b垂直，求〈a，b〉．14．平面向量，若存在不同時為的實數(shù)和，使且，試求函數(shù)關(guān)系式。15．如圖，在四棱錐P-AB