二次函數(shù)與一元二次方程 蘇科版數(shù)學九年級下冊

5.1二次函數(shù)第五章二次函數(shù)蘇科版數(shù)學九年級下冊1.二次函數(shù)與一元二次方程的關系.2.二次函數(shù)圖像與一元二次方程的近似解的關系.3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像特征與a，b，c的符號關系.學習目標新知一二次函數(shù)與一元二次方程的關系1.二次函數(shù)圖像與x軸的交點的橫坐標與一元二次方程根的關系一般地，從二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像可知：如果拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸有公共點，公共點的橫坐標是x0，那么當x=x0時，函數(shù)值是0，因此x=x0是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個根合作探究2.二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系與區(qū)別一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)與二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)二者之間的內在聯(lián)系與區(qū)別，列表如下：b2－4ac>0b2－4ac=0b2－4ac<0一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況有兩個不相等的實數(shù)根有兩個相等的實數(shù)根沒有實數(shù)根二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像a>0a<0拋物線與x軸的交點(x1，0)，(x2，0)沒有交點拓寬視野：1.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c，求當y=m

時自變量x的值，可以解一元二次方程ax2+bx+c=m；反之，解一元二次方程ax2+bx+c=m

可以看成是已知y=ax2+bx+c的函數(shù)值y=m，求自變量x的值.方程ax2+bx+c=m

的解是拋物線y=ax2+bx+c與直線y=m的公共點的橫坐標.2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c

與一元二次方程ax2+bx+c=0的關系密切，二者可以相互轉化.已知二次函數(shù)的值為0，求自變量x的值，可以看作解一元二次方程ax2+bx+c=0;反過來，解一元二次方程ax2+bx+c=0可以看作已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值為0，求自變量x

的值.[一?！ぬK州]若拋物線y＝a(x－1)2+k與x

軸的一個交點坐標為(－2，0)，則與x軸的另一個交點坐標為()A.(0，0)

B.(2，0)

C.(3，0)

D.(4，0)D解題秘方：緊扣拋物線與x軸的兩個交點坐標與拋物線對稱軸的關系求解．方法技巧：利用對稱軸法求一元二次方程的根：根據(jù)一元二次方程與二次函數(shù)的關系，當已知拋物線與x軸的一個公共點的坐標和對稱軸時，可根據(jù)軸對稱的性質求出拋物線與x軸的另一個公共點的坐標，從而求得對應一元二次方程的根.解：根據(jù)題意，可知拋物線y＝a(x－1)2+k的對稱軸為直線x＝1.∵點(－2，0)關于直線x＝1的對稱點為(4，0)，∴拋物線與x軸另一個交點的坐標為(4，0)．新知二二次函數(shù)圖像與一元二次方程的近似解的關系二次函數(shù)y=ax2+bx+c

的圖像與x軸的公共點的橫坐標是一元二次方程ax2+bx+c=0的解，因此可以借助二次函數(shù)的圖像求一元二次方程的解.1.利用二次函數(shù)y=ax2+bx+c

的圖像與x軸的公共點求一元二次方程ax2+bx+c=0的解(1)作出二次函數(shù)y=ax2+bx+c

的圖像，確定圖像與x軸公共點的個數(shù)，公共點的個數(shù)就是方程ax2+bx+c=0的解的個數(shù).(2)觀察圖像，函數(shù)圖像與x

軸的交點的橫坐標就是一元二次方程ax2+bx+c=0的解，當函數(shù)圖像與x軸有兩個交點，且交點的橫坐標不是整數(shù)時，可通過不斷縮小解所在的范圍估計一元二次方程的解.方法點撥：估計一元二次方程的解的方法：在難以讀出公共點的坐標時，我們可以通過不斷縮小解所在范圍估計一元二次方程的解，對于y=ax2+bx+c(a≠0)，如果ax21+bx1+c>0，且ax22+bx2+c<0，那么在x1與x2之間存在一個解，取x3=，若ax23+bx3+c>0，則取x4=；若ax23+bx3+c<0，則取x4=

.這樣不停地取下去，直到達到所要求的精確度為止.2.利用二次函數(shù)y=ax2

的圖像與直線y=－bx－c的公共點求方程ax2+bx+c=0的解(1)將一元二次方程ax2+bx+c=0化為ax2=－bx－c

的形式；(2)在平面直角坐標系中畫出拋物線y=ax2

和直線y=－bx－c，并確定拋物線與直線的公共點的坐標；(3)公共點的橫坐標即為一元二次方程ax2+bx+c=0的解.[模擬·上海]根據(jù)下列表格中y＝ax2+bx+c

的自變量x與函數(shù)值y的對應值，判斷方程ax2+bx+c＝0(a≠0，a，b，c為常數(shù))的一個解x的范圍是___________．x6.176.186.196.20y=ax2+bx+c－0.03－0.010.020.066.18＜

x＜6.19解題秘方：緊扣二次函數(shù)的函數(shù)值y由負變?yōu)檎龝r，自變量x的取值即可．解：由表格中的數(shù)據(jù)看出函數(shù)值為－0.01和0.02更接近于0，根據(jù)表格可知，當y＝－0.01時，x＝6.18，當y＝0.02時，x＝6.19，故x

應取對應的范圍是6.18＜x＜6.19．[模擬·灤州]二次函數(shù)y＝－

x2+mx的圖像如圖5.4-1，對稱軸為直線x＝2，若關于x

的一元二次方程－x2+mx

－t＝0(t為實數(shù))在1＜x＜5的范圍內有解，則t的取值范圍是()A.t＞－5

B.－5＜

t＜3C.3＜

t≤4

D.－5＜t≤4D解題秘方：利用“關于x的一元二次方程－x2+mx

－t＝0的解就是拋物線y＝－x2+mx與直線y＝t的交點的橫坐標”解決問題．解：∵關于x

的一元二次方程－x2+mx－t＝0，∴－x2+mx

＝t．∴關于x的一元二次方程－x2+mx

－

t＝0的解就是拋物線y＝－x2+mx

與直線y＝t的交點的橫坐標．∵拋物線y＝－x2+mx的對稱軸為直線x＝2，∴m

＝4．∴

y＝－

x2+4x.當x＝1時，y＝－x2+4x

＝3．當x＝5時，y＝－

x2+4x

＝－5．如圖5.4-2所示，由圖像可知，若關于x的一元二次方程－x2+mx

－t＝0(t為實數(shù))在1＜x＜5的范圍內有解，則直線y＝t

在直線y＝－5和直線y＝4之間包括直線y＝4．∴－5＜t≤4．拓展：圖像法求方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的其他方法：①將方程變形為ax2+bx=－c，再分別作拋物線y=ax2+bx和直線y=－c，則直線y=－c

與拋物線y=ax2+bx的交點的橫坐標即為方程的根.②將方程變形為ax2=－bx－c，再分別作拋物線y=ax2和直線y=－bx－c，則直線y=－bx－c與拋物線y=ax2的交點的橫坐標即為方程的根.③將方程變形為ax+b=－，再分別作直線y=ax+b和雙曲線y=－，則直線y=ax+b和雙曲線y=－的交點的橫坐標即為方程的根.新知三二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像特征與a，b，c的符號關系二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，a

的符號決定拋物線的開口方向，ab的符號決定拋物線的對稱軸的大致位置，c

的符號決定拋物線與y

軸交點的大致位置，b2－4ac

的符號決定拋物線與x軸的交點情況，具體如下表：字母或式子的符號圖像的特征aa>0開口向上a<0開口向下b=0對稱軸為y

軸ab>0(a，b

同號)對稱軸在y軸左側ab<0(a，b

異號)對稱軸在y軸右側cc=0圖像過原點c>0圖像與y

軸正半軸相交c<0圖像與y軸負半軸相交b2-4acb2-4ac=0圖像與x軸有唯一一個交點b2-4ac>0圖像與x軸有兩個交點b2-4ac<0圖像與x軸沒有交點收藏夾：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c：當x=1時，y=a+b+c，此時，若y=0，則a+b+c=0；若y＞0，則a+b+c

＞0；若y

＜0，則a+b+c＜0.當x=－1時，y=a-b+c，此時，若y=0，則a-b+c=0；若y＞0，則a-b+c

＞0；若y

＜0，則a-b+c

＜0.[期末·開封]在平面直角坐標系中，如圖5.4-3是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c(a≠0)的圖像的一部分，給出下列命題：①a+b+c＝0；②b＞2a；③方程ax2+bx+c＝0的兩根分別為－3和1；④b2－4ac＞0，其中正確的命題有()1個2個3個4個C方法點撥：當x＝1時，對應的函數(shù)值y＝ax2+bx+c

＝a+b+c，觀察圖像可知此時，拋物線上對應的點在x軸上，說明此時的函數(shù)值y＝0，即得a+b+c

＝0．解題秘方：根據(jù)二次函數(shù)的圖像特征與字母系數(shù)之間的關系判斷．解：觀察圖像可知，拋物線經(jīng)過點(1，0)，把點(1，0)的坐標代入y＝ax2+bx+c，得a+b+c＝0，故①正確；拋物線的對稱軸為直線x＝－1，即－＝－1，整理得b＝2a，故②