角平分線綜合復(fù)習(xí)解析

（一）導(dǎo)語

學(xué)習(xí)幾何應(yīng)該具有三種基本能力：1、善于處理已知信息的能力：根據(jù)已知條件能找到相應(yīng)的基本幾何圖形，并且由此聯(lián)想出相應(yīng)的幾何結(jié)論，還能夠和其它的已知條件綜合起來或通過添加輔助線聯(lián)想出更多的幾何圖形和新的結(jié)論；2、從求證找出證明方法的能力；3、不斷積累經(jīng)驗的能力。第一頁第二頁，共21頁。（二）角平分線的基本幾何圖形

①角的平分線

②三角形的角平分線

③角平分線的性質(zhì)和判定第二頁第三頁，共21頁。④角平分線與全等三角形⑤角平分線與構(gòu)造全等三角形BAPO（1）AFEDBC注：③④⑤在角平分線上向角的兩邊作兩條相等的線段，③④中相等線段在對稱的位置；⑤中相等線段在不對稱的位置。（以上結(jié)論自己想想）（2）AFEDBC第三頁第四頁，共21頁。

例1、如圖，F(xiàn)是∠BCD、∠CBE的角平分線的交點，點F到AB的距離為3cm，則點F到AC的距離為

BACEFD例1圖第四頁第五頁，共21頁。

例2、如圖，已知點P到OM、ON、AB的距離恰好都相等，則點P的位置：①在∠MON的平分線上；②在∠BAN的平分線上；③在∠ABM的平分線上；④P為∠MON、∠BAN、∠ABM三條角平分線的交點。上述論述中，正確的有（）A．1個B.2個C.3個D.4個OANBMP例2圖第五頁第六頁，共21頁。BACD例3圖A1A2例3、如圖，在△ABC中，∠A＝a．∠ABC與∠ACD的平分線交于點A1，得∠A1；∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點A2，得∠A2；

……；∠A2009BC與∠A2010CD的平分線相交于點A2010，得∠A2010

．則∠A2010＝

第六頁第七頁，共21頁。

（三）角平分線與直角三角形、

等腰三角形和線段垂直平分線

例4、如圖，在⊿ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC且過O點交AB于M，交AC于N.AB=8，AC=7，則⊿AMN的周長為

CNBMAO例4圖第七頁第八頁，共21頁。例5、如圖，AD是⊿ABC的角平分線，DE，DF分別是⊿ABD和⊿ACD的高.求證：AD垂直平分EFBECDFA例5圖第八頁第九頁，共21頁。

例6、如圖，∠AOP=∠BOP=150，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，則PD=P

CBADO例6圖第九頁第十頁，共21頁。

例7、如圖，⊿ABC中，BC的垂直平分線DE與∠BAC的平分線交于點E，過E作EP⊥AB于P，EQ⊥AC的延長線于Q.求證：BP=CQ.例7圖DBCEPQA第十頁第十一頁，共21頁。（四）角平分線與面積

例8、如圖，⊿ABC的三邊AB、BC、CA長分別是20、30、40，其三條角平分線將⊿ABC分為三個三角形，則等于（）A.1︰1︰1B.1︰2︰3C.2︰3︰4D.3︰4︰5例8圖ABCO第十一頁第十二頁，共21頁。

例9、如圖，P為∠AOB內(nèi)一點，OA=OB，且⊿OPA與⊿OPB面積相等，求證：∠AOP=∠BOP.BAPO例9圖第十二頁第十三頁，共21頁。

例10、RT⊿ABC中∠C=900，AB=10cm,AC=6cm,BC=8cm,且三角形三個內(nèi)角平分線相交于點O，則點O到三角形三邊的距離分別是第十三頁第十四頁，共21頁。（五）角平分線與構(gòu)造全等三角形

例11、如圖，Rt⊿ABC中，∠C=900，CB＝CA，AB=8cm，BH平分∠ABC交AC于點H，HE⊥AB于E，則⊿AEH周長＝例11圖BHCEA第十四頁第十五頁，共21頁。

例12、如圖1，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形.請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：(1)如圖2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F.請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其他條件不變，請問，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.第十五頁第十六頁，共21頁。第十六頁第十七頁，共21頁。（六）角平分線的變式問題

例13、如圖，D、B分別在∠A的兩邊上，C是∠A內(nèi)一點，且AB=AD，BC=DC，CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分別為E、F，求證：CE=CFDBC例13圖EFA此題可以交換題設(shè)和結(jié)論，大家可以試試

（1）題設(shè)“AB=AD”和結(jié)論“CE=CF”（2）題設(shè)“BC=DC”和結(jié)論“CE=CF”（3）題設(shè)“CE⊥AD”和結(jié)論“CE=CF”（4）題設(shè)“CF⊥AB”和結(jié)論“CE=CF”(以上為換題設(shè)和結(jié)論的四種情形）（5）題設(shè)不變，結(jié)論改為“AC平分∠DAB”

還有別的變式嗎？自己想想。第十七頁第十八頁，共21頁。例14、如圖，在∠BAC的平分線AP上任取一點D，在AB、AC上各取一點E和F，若DE=DF，且AE＞AF，求證：∠AED+∠AFD=1800.例14圖AFEDBC若將上題中的“DE=DF”改為“DH⊥AB于H，”，結(jié)論是否還成立，試證之。P第十八頁第十九頁，共21頁。

此題還可以改為“如圖，在四邊形AFDE中，有以下三個要素：