《高等數(shù)學(xué) 上冊》 課件 王娜 第1、2章 函數(shù)、極限與連續(xù)；導(dǎo)數(shù)與微分

一、集合二、映射三、函數(shù)第一章函數(shù)與極限第一節(jié)映射與函數(shù)1/27元素a

屬于集合

M,記作元素a

不屬于集合M,記作一、集合1.定義及表示法定義

1.

具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合.組成集合的事物稱為元素.不含任何元素的集合稱為空集

,記作

.

(或).2/27表

示

法：(1)列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素.例1有限集合自然數(shù)集(2)描述法：

x

所具有的特征例2

整數(shù)集合或有理數(shù)集

p與q

互質(zhì)實(shí)數(shù)集合

x為有理數(shù)或無理數(shù)開區(qū)間閉區(qū)間3/27無限區(qū)間點(diǎn)的

鄰域其中,a

稱為鄰域中心,

稱為鄰域半徑.半開區(qū)間去心

鄰域4/27是B的子集

,或稱B包含A

,2.集合之間的關(guān)系及運(yùn)算定義2則稱A若且則稱A

與B

相等,例如,顯然有下列關(guān)系:

,

,

若設(shè)有集合記作記作必有5/27定義3

給定兩個(gè)集合A,B,并集交集且差集且定義下列運(yùn)算:余集直積特例:記為平面上的全體點(diǎn)集或6/27二、映射1.映射的概念

某校學(xué)生的集合學(xué)號(hào)的集合按一定規(guī)則查號(hào)某班學(xué)生的集合某教室座位的集合按一定規(guī)則入座例7/27定義4.設(shè)X,Y

是兩個(gè)非空集合,若存在一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則f,使得有唯一確定的與之對(duì)應(yīng),則稱f

為從X到Y(jié)

的映射,記作元素

y

稱為元素x

在映射

f下的像

,記作元素

x稱為元素y

在映射

f

下的原像

.集合X

稱為映射f

的定義域;Y

的子集稱為f

的值域

.注意:1)映射的三要素—

定義域,對(duì)應(yīng)規(guī)則,值域.2)元素x

的像y

是唯一的,但y

的原像不一定唯一.8/27對(duì)映射若,則稱f

為滿射;若有則稱f

為單射;若f既是滿射又是單射,則稱f

為雙射或一一映射.9/27X(數(shù)集或點(diǎn)集

)說明:在不同數(shù)學(xué)分支中有不同的慣用X(≠

)Y(數(shù)集)f稱為X

上的泛函X(≠

)Xf稱為X

上的變換

Rf稱為定義在X

上的為函數(shù)映射又稱為算子.名稱.例如,函數(shù)的兩個(gè)要素:1、定義域；

２、對(duì)應(yīng)法則10/272.逆映射與復(fù)合映射(1)逆映射的定義

定義:若映射為單射,則存在一新映射使習(xí)慣上,的逆映射記成例如,映射其逆映射為其中稱此映射為f

的逆映射.11/27定義則當(dāng)由上述映射鏈可定義由D

到Y(jié)

的復(fù)設(shè)有映射記作合映射

,時(shí),或注意:

構(gòu)成復(fù)合映射的條件不可少.(2)復(fù)合映射12/27定義域三、函數(shù)1.函數(shù)的概念

定義4

設(shè)數(shù)集則稱映射為定義在D

上的函數(shù),記為f(D)稱為值域函數(shù)圖形:自變量因變量13/27(對(duì)應(yīng)規(guī)則)(值域)(定義域)例如,反正弦主值

定義域:

對(duì)應(yīng)法則的表示方法:解析法、圖象法、列表法使表達(dá)式及實(shí)際問題都有意義的自變量集合.定義域值域又如,絕對(duì)值函數(shù)定義域值域14/27例3

已知函數(shù)求及解:函數(shù)無定義并寫出定義域及值域.定義域值域15/272.函數(shù)的幾種特性設(shè)函數(shù)且有區(qū)間(1)有界性使稱使稱(2)單調(diào)性為有界函數(shù).在I

上有界.使若對(duì)任意正數(shù)M,均存在則稱f(x)

無界.稱為有上界稱為有下界當(dāng)時(shí),稱為I

上的稱為I

上的單調(diào)增函數(shù);單調(diào)減函數(shù).16/27(3)奇偶性且有若則稱

f(x)為偶函數(shù);若則稱f(x)為奇函數(shù).

說明:在x=0有定義,為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng)必有若17/27(4)周期性且則稱為周期函數(shù)

,若稱

l

為周期(一般指最小正周期

).周期為

周期為注:

周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如,常量函數(shù)狄里克雷函數(shù)x

為有理數(shù)x為無理數(shù)18/273.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)(1)反函數(shù)的概念及性質(zhì)若函數(shù)為單射,則存在逆映射習(xí)慣上,的反函數(shù)記成稱此映射為f

的反函數(shù).其反函數(shù)(減)(減).1)y＝f(x)單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增性質(zhì):

19/272)函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱.例如,對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線對(duì)稱.指數(shù)函數(shù)20/27(2)復(fù)合函數(shù)

則設(shè)有函數(shù)鏈稱為由①,②確定的復(fù)合函數(shù)

,①②u

稱為中間變量.注意:

構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件不可少.例如,

函數(shù)鏈:函數(shù)但函數(shù)鏈不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)

.可定義復(fù)合21/274.初等函數(shù)(1)基本初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)(2)初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱為非初等函數(shù)

.例如,并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成,稱為初等函數(shù).可表為故為初等函數(shù).22/27非初等函數(shù)舉例:符號(hào)函數(shù)當(dāng)x>0當(dāng)x=0當(dāng)x<0取整函數(shù)當(dāng)23/27四、小結(jié)1.集合及映射的概念定義域?qū)?yīng)法則3.函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性4.初等函數(shù)的結(jié)構(gòu)作業(yè)

P216(5),(10);11;18;19;20

2.函數(shù)的定義及函數(shù)的二要素25/27且思考題證明時(shí)其中a,b,c

為常數(shù),且為奇函數(shù).設(shè)26/27且思考題解答證明證:

令則由消去得時(shí)其中a,b,c

為常數(shù),且為奇函數(shù).為奇函數(shù).設(shè)27/27第二節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的定義二、收斂數(shù)列的性質(zhì)三、小結(jié)、作業(yè)1/28“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：播放——?jiǎng)⒒找?、?shù)列極限的定義2/28正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積3/28例如4/28

例1（1）a,aq,aq2,aq3,…,aqn-1,….其中a,q為常數(shù)且q0。一般項(xiàng)公式為xn

=aq

n-1。此數(shù)列簡記為{aqn-1}或{aqn-1}。（2）（3）5/28在幾何上一個(gè)數(shù)列可看成實(shí)數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)列，也可看成實(shí)數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)注：2.數(shù)列可看成是以自然數(shù)為自變量的函數(shù)：xn

=f(n).6/287/28數(shù)列極限的直觀定義

對(duì){xn}:x1,x2,x3,…,xn

,…

若隨著n的無限增大(記作

n

)，有xn無限接近某個(gè)定數(shù)

a，(允許某些xn甚至全部xn等于a)，則稱{xn}有極限(為a)或收斂(于a)，記作:

xn=a

或

xna(n)8/28例2

討論{

}的極限解

因?yàn)閤n==1+所以xn1(n)，即xn=1。問題:

怎樣用數(shù)學(xué)語言來精確地刻劃數(shù)列極限的概念，即表達(dá)：隨著項(xiàng)數(shù)n的無限增大，有項(xiàng)xn無限接近(或等于)a？9/28

隨著n

，有xn無限接近(或等于)常數(shù)a，也就是|xn-a|無限接近(或等于)0

任給定|xn-a|的上界

，不論它有多么小，只要n足夠大（n>某個(gè)N），總可以使|xn-a|<

。于是有下面數(shù)列極限的定義（用“

—N”語言表達(dá)）10/28如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.11/28注意：1）

（>0）必須可以任意小。

2）N與

有關(guān)。

3）若N(

)存在，則必不唯一。

4）幾何解釋：12/28

5)收斂性和極限值都與數(shù)列中有限個(gè)項(xiàng)無關(guān)。可以任意改動(dòng)、增刪數(shù)列中有限個(gè)項(xiàng)，不影響其收斂性和極限值。

數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.注意：13/28例3證所以,14/28特別注意:用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給定說明相應(yīng)的N存在,但不必求出最小的N.15/28例4

對(duì)xn=，證明。證

任給定>0，因?yàn)閨xn-0|=而所以可取N()=max{[],1}。證畢。若由可取N()=max{[-1],1}。證畢。16/28例5證所以,說明:

常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).17/28例6證18/28例7證19/28二、收斂數(shù)列的性質(zhì)1、有界性例如,有界；無界。20/28定理1

收斂的數(shù)列必定有界.證由定義,推論

無界數(shù)列必定發(fā)散.21/28例8

{n+(-1)nn}:0,4,0,8,0,12,…是無界的,注意收斂

有界;發(fā)散

無界.收斂

有界;發(fā)散

無界.

{n+(-1)nn}發(fā)散.22/28例9證由定義,區(qū)間長度為1.不可能同時(shí)位于長度為1的區(qū)間內(nèi).{xn}發(fā)散.證畢。23/282、唯一性定理2

每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限.證由定義,故收斂數(shù)列極限唯一.證畢。24/283、子數(shù)列的收斂性注意：例如，25/28定理3數(shù)列{xn}收斂于a

{xn}的任一子數(shù)列都收斂于a．證“”“”易證(略)。證畢。26/28推論

若{xn}有發(fā)散子列或有兩個(gè)收斂于不同極限的子列

{xn}發(fā)散.例10(1){xn}={(-1)n}有子列{x2n}={1}1，{x2n-1}={-1}-1

，

{xn}={n+(-1)nn}有子列{x2n}={4n}無界,

{x2n}發(fā)散.

{xn}發(fā)散.

{(-1)n}發(fā)散.27/28三、小結(jié)1.數(shù)列:定義，幾何表示，主要研究其變化規(guī)律。2.數(shù)列極限：直觀描述，精確定義，幾何意義。3.收斂數(shù)列的性質(zhì):

有界性，唯一性，數(shù)列與子數(shù)列的收斂性的關(guān)系。28/28作業(yè)習(xí)題1-22;3(3);4;5;6練習(xí)題1、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——?jiǎng)⒒找弧?shù)列極限的定義1、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——?jiǎng)⒒找?、?shù)列極限的定義“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?、?shù)列極限的定義“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?、?shù)列極限的定義“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找弧?shù)列極限的定義“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?、?shù)列極限的定義“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?、?shù)列極限的定義“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?、?shù)列極限的定義“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?、?shù)列極限的定義第五節(jié)極限的運(yùn)算法則

極限的四則運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則小結(jié)、作業(yè)1/22一、極限的四則運(yùn)算法則定理12/22證由無窮小運(yùn)算法則，得3/22推論1常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.推論2推論34/22例1解注只要極限運(yùn)算與四則運(yùn)算交換順序后的算式有意義(包括出現(xiàn)

)，就可交換順序。5/22例2解6/22例3解7/22注

不能直接用極限的四則運(yùn)算法則時(shí)，可先將函數(shù)適當(dāng)變形，再用極限的四則運(yùn)算法則。常用的變形方法有：通分，約去非零因子，用非零因子同乘或同除分子分母，分子或分母有理化，等。解例4（消去零因子法）8/22例5求

解(無窮小因子分出法)9/22例6求解

（消去零因子法）10/22例7求解（分子有理化）11/22例8求解（分母有理化）12/22例9求解先變形再求極限.13/22例10解14/22例11解左右極限存在且相等,15/22例12解16/22總結(jié)：(1)有理函數(shù)在無窮遠(yuǎn)的極限

(2)有理函數(shù)在x0

的極限17/22二、復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則定理2（復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則，極限過程代換法則）18/22證：

只對(duì)t-,

x=

t

x0+0且AR的情形來證。19/22例13求極限20/22注數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系：(2)x1=x2=

1,xn+2=xn

+xn+1(Fibonacci數(shù)列)

xn

0？思考題(1)在某個(gè)過程中，若f(x)有極限、g(x)無極限，那么f(x)+g(x)是否有極限？為什么？f(x)-g(x)是否有極限？21/22三、小結(jié)：極限的四則運(yùn)算法則（注意除法）,

有理函數(shù)的極限；

2.復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則（過程代換）。22/22作業(yè)習(xí)題1-51(5);2(1);3一、填空題:練習(xí)題二、求下列各極限:練習(xí)題答案第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則

兩個(gè)重要極限極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限小結(jié)、作業(yè)1/17證（略）注：準(zhǔn)則1（夾逼準(zhǔn)則）對(duì)A=

也成立。一、極限存在準(zhǔn)則2/17例1解由夾逼定理得注：1)求n項(xiàng)和的數(shù)列極限時(shí)常用夾逼準(zhǔn)則。

2)使用夾逼準(zhǔn)則時(shí)需要對(duì)極限的值有個(gè)猜測。3/17解：例2求4/17例3求解：再由夾逼定理及例2得例4求解：由夾逼定理得5/17第一個(gè)重要極限證：證畢。6/17例5解注：在求與三角函數(shù)比有關(guān)的極限時(shí)常用到此極限。例6求解7/17例7求解例8求解8/17定義：單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列幾何解釋:注:

此準(zhǔn)則只給出了極限存在的充分性條件，并沒有給出極限是什么。但是，在已知極限存在時(shí)?？梢酝ㄟ^一些方法求出極限（特別是由遞推公式給出的數(shù)列的極限問題）。9/17例9證由xn>0

A0,例1010/17第二個(gè)重要極限11/17注：常用此極限求冪指型函數(shù)的極限。例11解例12解13/17例13解例14解14/17*二、柯西極限存在準(zhǔn)則15/17三、小結(jié)1.兩個(gè)準(zhǔn)則2.兩個(gè)重要極限夾逼準(zhǔn)則;單調(diào)有界準(zhǔn)則.16/17作業(yè)習(xí)題1-61(5)(6);2(3);4(2)思考題求極限17/17思考題解答一、填空題:練習(xí)題二、求下列各極限:練習(xí)題答案第七節(jié)無窮小的比較

無窮小的比較等價(jià)無窮小的替換小結(jié)、作業(yè)1/13一、無窮小的比較無窮小之比的極限（0/0）可以出現(xiàn)各種情況：例如,不可比.觀察各極限2/13出現(xiàn)不同情況的原因是無窮小趨向于零的速度不同.定義:注若

C，則

C.3/13例1例２解4/13常用等價(jià)無窮小:5/13例3證證畢6/13證證畢意義：用等價(jià)無窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式．例如,7/13例4解8/13二、等價(jià)無窮小代換定理２(等價(jià)無窮小代換定理)證證畢注可利用這條性質(zhì)簡化一些極限的計(jì)算：求極限時(shí)，分子、分母中的因子可用等價(jià)無窮小替換（替換后極限情況不變）。9/13例5解例6解10/13例7解解錯(cuò)11/13注意：只可對(duì)乘積中的無窮小因子作等價(jià)無窮小代換，對(duì)于代數(shù)和中各無窮小項(xiàng)不能作等價(jià)無窮小代換（但是，可以象例4中那樣利用等價(jià)無窮小）.注

對(duì)無窮大量也可以比較它們趨于無窮大的速度，定義高（低、同）階無窮大以及等價(jià)無窮大；也可以進(jìn)行等價(jià)無窮大替換。12/13幾個(gè)常用的無窮大按階從低到高排列為：三、小結(jié)1、無窮小的比較

反映了同一過程中，兩無窮小趨于零的速度相對(duì)的快慢。但并不是所有的無窮小都可進(jìn)行比較。2、等價(jià)無窮小的代換:求極限的又一種方法,

注意適用條件.高(低、同)階無窮小;等價(jià)無窮小;無窮小的階.13/13作業(yè)習(xí)題1-72;3(1);4(3)練習(xí)題練習(xí)題答案第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)一、函數(shù)的連續(xù)性二、函數(shù)的間斷點(diǎn)三、小結(jié)、作業(yè)1/16一、函數(shù)的連續(xù)性1.連續(xù)的定義2/16f(x)在x0連續(xù)的幾何特征曲線

y=f(x)在

x0點(diǎn)不斷裂。2.單側(cè)連續(xù)的定義單側(cè)連續(xù)的幾何特征：…。3/16定理連續(xù)性是函數(shù)的局部性質(zhì)。例1證證畢4/16例2解f(x)右連續(xù)但不左連續(xù)

,5/163.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間

若f(x)在區(qū)間I的內(nèi)部每一點(diǎn)處都連續(xù)，并且當(dāng)I含左（右）端點(diǎn)時(shí)f(x)在該端點(diǎn)處右（左）連續(xù)，則稱f(x)是區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)，或者說函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，并且稱I為f(x)的連續(xù)區(qū)間。

I上連續(xù)函數(shù)的圖形在I上是一條連續(xù)而不間斷的曲線.幾何特征注意：函數(shù)在區(qū)間

I上處處連續(xù)與在區(qū)間

I上連續(xù)是有區(qū)別的.6/16例3解書上（P33例5）已證：當(dāng)x0

>0時(shí)，有又前面例已證：當(dāng)x0

0時(shí)，有從而有7/16二、函數(shù)的間斷點(diǎn)由此尋找函數(shù)的間斷點(diǎn)。間斷點(diǎn)的分類：8/16例4解9/16注意可通過修改函數(shù)在可去間斷點(diǎn)處的定義,使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).例5解如例5中,10/16例6解例7解11/16注意不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只能是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn).狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷，且都是第二類間斷點(diǎn)。★在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,但其絕對(duì)值處處連續(xù).★12/16判斷下列各間斷點(diǎn)類型:例813/16例9解14/16三、小結(jié)1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義及必須滿足的三個(gè)條件;3.間斷點(diǎn)的分類:2.函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的定義;第一類間斷點(diǎn):

可去型，跳躍型；第二類間斷點(diǎn):

無窮型，振蕩型，...。間斷點(diǎn)15/16作業(yè)習(xí)題1-82(1)(4);3思考題16/16練習(xí)題練習(xí)題答案第九節(jié)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與

初等函數(shù)的連續(xù)性一、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算法則二、反函數(shù)的連續(xù)性法則三、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性法則四、初等函數(shù)的連續(xù)性法則五、小結(jié)、作業(yè)1/14一、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算法則定理1（函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)性的四則運(yùn)算法則）推論（區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算法則）注單側(cè)連續(xù)函數(shù)也有與定理1相應(yīng)的四則運(yùn)算法則。2/14例13/14二、反函數(shù)的連續(xù)性法則定理2

（嚴(yán)格）單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有(嚴(yán)格)單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).問：

y=f-1(x)

與x=f-1(y)的連續(xù)的有何聯(lián)系？例24/14*例3試證:證:(1)先證在x=0連續(xù)。(2)再證，在

x處連續(xù)。證畢指數(shù)函數(shù)在定義域上連續(xù)。對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域上連續(xù)。

5/14三、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性法則定理3意義極限符號(hào)可與連續(xù)函數(shù)符號(hào)交換先后順序，即極限運(yùn)算可以穿過連續(xù)函數(shù)符號(hào)。6/14例4或由或由7/148/14定理4注由定理4知：f(g(x))的不連續(xù)點(diǎn)只可能是

g(x)的不連續(xù)點(diǎn)及f(u)的不連續(xù)點(diǎn)u在

g(x)下的原象。9/14四、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.★★★★y=x

(

)在定義區(qū)間上連續(xù).10/14定理5

基本初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù).定理6

一切初等函數(shù)都在其定義區(qū)間上連續(xù).1.初等函數(shù)在其定義域內(nèi)不一定連續(xù).注意例如,11/14利用初等函數(shù)的連續(xù)性求極限的方法（代入法）：

若初等函數(shù)

f(x)

在x0

及鄰近（或左鄰近，或右鄰近）有定義，則例412/14五、小結(jié)1)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性.

復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.

初等函數(shù)的連續(xù)性.注意：定義區(qū)間與定義域的區(qū)別.反函數(shù)的連續(xù)性.2)

求極限的兩種新方法：極限運(yùn)算可以穿過連續(xù)函數(shù)符號(hào)；利用初等函數(shù)的連續(xù)性求函數(shù)在一點(diǎn)處的極限。13/14作業(yè)習(xí)題1-93(5)(6);5思考題14/14第十節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、最大值和最小值TH二、有界性TH三、零點(diǎn)TH四、介值TH五、小結(jié)、作業(yè)1/9最大值和最小值定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.定義:2/9有界性定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.零點(diǎn)定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)如果在端點(diǎn)處異號(hào)，則一定在該區(qū)間內(nèi)部有零點(diǎn).3/9MBCAmab介值定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，如果在端點(diǎn)處取值不同，則在該區(qū)間內(nèi)部一定可以取到介于端點(diǎn)處函數(shù)值之間的任何值.推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.4/9例1證證畢5/9例2證由零點(diǎn)定理,yf(b)b

y=f(x)a

y=xf(a)O

a

b

x

證畢6/9證7/9五、小結(jié)關(guān)于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)整體性質(zhì)的四個(gè)定理：有界性定理、最值定理、零點(diǎn)定理、介值定理，注意條件：

1．閉區(qū)間；2．連續(xù)函數(shù)．這兩點(diǎn)不全滿足時(shí)上述定理不一定成立．它們是研究連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的重要工具。8/9思考題下述命題是否正確？9/9思考題解答不正確.例函數(shù)作業(yè)習(xí)題1-102;4;5微積分學(xué)的創(chuàng)始人:德國數(shù)學(xué)家Leibniz微分學(xué)導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢微分描述函數(shù)變化程度都是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具(從微觀上研究函數(shù))第二章導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)思想最早由法國數(shù)學(xué)家Ferma

在研究極值問題中提出.英國數(shù)學(xué)家Newton牛頓(1642–1727)偉大的英國數(shù)學(xué)家

,物理學(xué)家,天文學(xué)家和自然科學(xué)家.他在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分.1665年他提出正流數(shù)(微分)術(shù),次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671年完成《流數(shù)術(shù)與無窮級(jí)數(shù)》一書(1736年出版).他還著有《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》和《廣義算術(shù)》等.萊布尼茲(1646–1716)德國數(shù)學(xué)家,哲學(xué)家.他和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人,他在《學(xué)藝》雜志上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學(xué)的論文中,有的早于牛頓,所用微積分符號(hào)也遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓.他還設(shè)計(jì)了作乘法的計(jì)算機(jī),系統(tǒng)地闡述二進(jìn)制計(jì)數(shù)法,并把它與中國的八卦聯(lián)系起來.第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念一、問題的提出二、導(dǎo)數(shù)的定義三、由定義求導(dǎo)數(shù)四、導(dǎo)數(shù)的物理意義與幾何意義五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系六、小結(jié)、思考題一、問題的提出1、瞬時(shí)速度問題

設(shè)運(yùn)動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)方程為

s=s(t),則在t

與t0之間平均速度t0時(shí)刻的（瞬時(shí)）速度自由落體運(yùn)動(dòng)2、切線問題

切線——割線的極限位置上的直線4/22兩個(gè)問題的共性:瞬時(shí)速度切線斜率所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.類似問題還有:加速度角速度線密度電流強(qiáng)度是速度增量與時(shí)間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時(shí)間增量之比的極限變化率問題定義1.

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在,并稱此極限為記作:即則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義,在點(diǎn)處可導(dǎo),在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).二、導(dǎo)數(shù)的定義單側(cè)導(dǎo)數(shù)：可導(dǎo)性是局部性質(zhì)。雙側(cè)、單側(cè)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系6/22注意“導(dǎo)數(shù)為

”時(shí)不可導(dǎo)，即導(dǎo)數(shù)不存在。區(qū)間上可導(dǎo)性的定義

若f(x)

在區(qū)間I的內(nèi)部處處可導(dǎo)，并且在I所含的左（右）端點(diǎn)處右(左)導(dǎo)數(shù)存在，則稱f(x)

在區(qū)間I上可導(dǎo)。導(dǎo)函數(shù)7/22三、由定義求導(dǎo)數(shù)例1解例2解例3解一般地10/22*例4解11/22*例5解12/22例6解13/22例7解14/22四、導(dǎo)數(shù)的物理意義與幾何意義2、幾何意義1、物理意義——因變量關(guān)于自變量的變化率。15/22例8解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,得切線斜率為所求切線方程為法線方程為16/22五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理可導(dǎo)

連續(xù).證證畢17/22注意:該定理的逆定理不成立.即連續(xù)

可導(dǎo)連續(xù)但不可導(dǎo)函數(shù)舉例★

y

y=|x|

O

x0

yy=f(x)

O

x18/22例9011/π－1/π解19/22*例10解20/22內(nèi)容小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:4.可導(dǎo)必連續(xù),但連續(xù)不一定可導(dǎo);5.已學(xué)求導(dǎo)公式:6.判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).直接用導(dǎo)數(shù)定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.2.增量比的極限;切線的斜率;思考與練習(xí)1.

函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)區(qū)別:是函數(shù),是數(shù)值;聯(lián)系:注意:有什么區(qū)別與聯(lián)系?？與導(dǎo)函數(shù)2.

設(shè)存在,則3.

已知?jiǎng)t4.

若時(shí),恒有問是否在可導(dǎo)?解:由題設(shè)由夾逼準(zhǔn)則故在可導(dǎo),且5.設(shè),問a

取何值時(shí),在都存在,并求出解:顯然該函數(shù)在x=0連續(xù).故時(shí)此時(shí)在都存在,

作業(yè)

P662、4、5、

6、7、8

第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則三、常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則五、小結(jié)、作業(yè)1/21一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理注意

一般地說,乘積的導(dǎo)數(shù)=導(dǎo)數(shù)的乘積;

商的導(dǎo)數(shù)=導(dǎo)數(shù)的商.2/21證(3)：證畢3/21推論例14/21例2解例3解5/21例4解6/21二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理即

反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).*證7/21

y

y=f(x)

x=f--1

(y)

Iy

y0

(x0

,y0)

y

x

O

x0

x

Ix(f--1)

′(y0)=tan

y=cot

x

=1/

tan

x=1/f′(x0)8/21即解同理可得我們知道了所有基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例59/21*例6解特別地10/21三、常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式11/21四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理(復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t)

即因變量對(duì)自變量求導(dǎo),等于因變量對(duì)中間變量求導(dǎo),乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo).12/21*證13/21推廣例7解14/21例8解注熟練地掌握了復(fù)合函數(shù)的分解及鏈?zhǔn)椒▌t后，可以不寫出中間變量（符號(hào)），采用逐層求導(dǎo)的方式計(jì)算復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（這樣可省去還原這一步）。15/21例9解現(xiàn)在我們可以（利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及常數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t）求出所有初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。16/21例10解17/21例10另解18/21例11解例12解19/21五、小結(jié)2、反函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意成立條件）.3、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（鏈?zhǔn)椒▌t）（注意函數(shù)的復(fù)合過程）.4、基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。

注意:分段函數(shù)求導(dǎo)時(shí),分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)要用左右導(dǎo)數(shù)來求.1、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：5、可以求出所有初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

20/21作業(yè)習(xí)題2-23-(2)48-(8)12-(6)(8)思考題

求曲線上與軸平行的切線方程.21/21第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)的定義二、高階導(dǎo)數(shù)的求法三、小結(jié)、作業(yè)1/12一、高階導(dǎo)數(shù)的定義定義稱y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)

f

(x)在x0

的導(dǎo)數(shù)(f

)

(x0)為

y=f(x)在x0

的二階導(dǎo)數(shù)，可記做稱y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)

(f

(x))

為y=f(x)的

二階導(dǎo)函數(shù):D={x|f

(x)存在}，x

f

(x)，可記做2/12如此定義

y=f(x)的n階導(dǎo)數(shù)和n階導(dǎo)函數(shù)，

二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).注若f(x)在x0點(diǎn)n

階可導(dǎo)，則必在某個(gè)U(x0)上n-1階可導(dǎo)。3/12二、高階導(dǎo)數(shù)求法舉例例1解求n階導(dǎo)數(shù)就是連續(xù)地求n次一階導(dǎo)數(shù)。4/12例2解5/12例3解若

不是自然數(shù)

求n階導(dǎo)數(shù)時(shí)，求出若干階后不要急于合并，分析結(jié)果的規(guī)律性，寫出n階導(dǎo)數(shù)(數(shù)學(xué)歸納法證明).注:6/12例4解同理可得7/12*例5解8/12高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:——萊布尼茲公式9/12例6解10/12*例7解11/12三、小結(jié)1、高階導(dǎo)數(shù)的定義;2、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

——特別是萊布尼茲公式;3、n階導(dǎo)數(shù)的求法。12/12作業(yè)習(xí)題2-31-(12)3-(2)8-(4)9-(3)第四節(jié)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)*相關(guān)變化率一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)四、*相關(guān)變化率五、小結(jié)、作業(yè)1/18一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的顯化問題：隱函數(shù)不易顯化或不能顯化時(shí)如何求導(dǎo)?隱函數(shù)求導(dǎo)法則:

視y=y(x),應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法直接對(duì)方程F(x,y)=0兩邊求導(dǎo)，然后解出y

即得隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2/18例1解解得