§3-解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例

§3

解

三

角

形

的

實(shí)

際

應(yīng)

用

舉

例第二章

解三角形欄目導(dǎo)引工具1.能

夠

運(yùn)用正

弦

定

理、

余

弦

定

理

等

知

識

和

方

法

解

決

一

些

與

測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.2.提高

應(yīng)

用

數(shù)

學(xué)

知

識

解

決

實(shí)際問

題的能

力

.[

學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)

]第二章

解三角形欄目導(dǎo)引工具[

特

別

關(guān)

注

]1.對解三角形實(shí)際應(yīng)用的考查是本節(jié)的熱點(diǎn).2.本節(jié)內(nèi)容多與實(shí)際問題中測量距離、

高度、角度、面積等問

題

結(jié)

合

考

查

.3.各種題型均可出現(xiàn)，

以中低檔題為主.欄目導(dǎo)引解三角形工具第二章Q

預(yù)習(xí)

學(xué)

案

理教材、巧思維、打牢基礎(chǔ)!欄目導(dǎo)引解三角形第二章工具已知條件應(yīng)用定理一般解法一

邊

和

兩角

(

如

a

,

B

,

C)正弦定理由

A+B+C=180°

,

求

角

A

;

由

正弦定理

求出b與

c

,

在

有

解

時(shí)只有

一

解1.通過前面的學(xué)習(xí)，

我們已經(jīng)知道，在三角形的三條邊和三個(gè)角共六個(gè)元素中，要知道三個(gè)(其中至少有一個(gè)邊)才能解該

三角形，按已知條件可分為四種情況：第二章

解三角形欄目導(dǎo)引工具已知條件應(yīng)用定理一般解法兩

邊

和夾角

(如

a

,b

,C

)余弦定理正弦定理由

余弦定理

求

第

三

邊

c

;

由止弦定理

求出一邊所對的角；再

由

A+B+C=180°

求出

另

一

角

，在

有

解

時(shí)

只

有

一

解三

邊

(

a

,

b

,

c

)余弦定理由

余弦定理

求

出

A

、

B

;

再

利

用A+B+C=180°

求

出

角

C

,

在有

解

時(shí)

只

有

一

解兩

邊和

其

中

一

邊的

對角

(如a,b,A)正弦定理余弦定理正弦定理

求

出

B

;

由

A+B+C=180°

,求出角C

;再

利

用正

弦

定

理

或

奈

弦

定

理

求

c,

可

有

兩

解

、

一

解

或

無

解第二章

解三角形欄目導(dǎo)引工具2.在正弦定理、余弦定理及其變形公式中(1)求邊

a

的

公

式

有

a

(2)求角

A

的公式有

sin

A第二章解三角形欄目

導(dǎo)引工具cosA:

1.

基

線(1)定義：在測量上，根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線

.(2)性質(zhì)：在測量過程中，

要根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基

線

長

度

_,使測量具有較高的

精

確

度

一

般

來

說

，基線越長，測量的精確度越_高第二章

解三角形欄目導(dǎo)引工具2.對實(shí)際應(yīng)用問題中的一些名稱、術(shù)語的含義的理解(1)坡角：坡向與水平方向的夾角，如圖.第二章解三角形欄目導(dǎo)引工具(2)仰角和俯角：在視線和水平線所成角中，視線在水平線上方的角叫仰角，

在水平線下方的角叫俯角，

如圖

.)仰

角

俯

角欄目導(dǎo)引工具水

平

線視線視

線鉛

垂

線(3)方位角：指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的角，如圖中B

點(diǎn)的方位角為a.欄目導(dǎo)引工具(4)方向角：從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，

如南偏西60°,

指以正南方向?yàn)槭歼叄?/p>

順時(shí)針方

向向西旋轉(zhuǎn)60°.如圖中∠ABC為北偏東60°或?yàn)闁|偏北30°

.北3.正弦定理、余弦定理在實(shí)際測量中應(yīng)用很廣，

主要學(xué)習(xí)它們在測量.距離、高

度、角

度等問題中的一些應(yīng)用.欄目導(dǎo)引解三角形第二章工具1.

以下圖示是表示北偏西135°的是(

)第二章

解三角形欄目導(dǎo)引答案

：

C工具2.

甲

、

乙兩人在同一地平面上的不同方

向觀測20m高

的

旗桿

，

甲觀測

的仰角為

5

0

°

,

乙

觀

測

的

仰

角

為

4

0

°

,

用d?,d?分別

表示

甲、

乙兩人離旗桿

的距離

，那

么有

()A.d?>d?

B.d?<d?C.d?>20

m

D.d?<20

m解

析：由可

知

，d

?

<d?

.答

案：

Btan50°>tan40°欄

目

導(dǎo)

引工具,3.如下圖所示，

已知兩座燈塔A

和B

與海洋觀察站C

的距離都

等

于akm,

燈塔A在

觀

察

站C的北偏東20°

,燈塔B在

觀

察

站C的南偏東40°,則燈塔A

與燈塔B

的距離為

_第二章

解三角形欄目導(dǎo)引工具AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos3a2.∴AB=√3a.答

案

：

√3a

cm解

析

：

易知

∠ACB=120°,在

△ABC中

，

由余弦定理，得欄目導(dǎo)引工具4.如圖，海上有A

、B

、C三個(gè)小島，

其中A

、B兩個(gè)小島相距10

n

mile從A島

望C島

和B島成45°的視角，

從B島

望C島和A島

成7

5°的

視

角

，

則

BC

的

距

離

為

nmile.欄目導(dǎo)引工具解

析

：

易知

C=180°-75°-45°=60°,由

正

弦

定

理

，欄目導(dǎo)引工具答

案

：5.如圖，在海岸

A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距

A處(√3—1)海里的

B

處有一艘走私船

.在

A處北偏西75°方向，距

A

處2海里的

C處的我方緝私船，奉命以10

√

3海里/小時(shí)的速

度追截走私

船，此時(shí)走私

船正以10海里/小時(shí)的速度從

B

處

向北偏東30°方向逃竄，

問：

緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并

求

出所

需

時(shí)

間

.第二章

解三角形欄目導(dǎo)引工具解析：

設(shè)緝私船應(yīng)沿

CD

方向行駛

t

小時(shí)，

才能最快截獲(在

D

點(diǎn))走私船，則

CD=10√3t

海里

，BD=10t海

里

.∵BC2=AB2+AC2—2AB·AC-cos∠BAC=(√3-1)2+22-2(√3-1)·2cos

120?=6,∴BC=√

6.欄

目

導(dǎo)

引工具∠ABC=45°,∴B

點(diǎn)在

C

點(diǎn)

的正

東

方

向

上，∴∠CBD=90°+30°=120°欄

目

導(dǎo)引工

具∴∠BCD=30°答：緝私

船

沿

北

偏

東

6

0°的

方向

行

駛，

才能

最

快

截

獲

走

私船

，

需

時(shí)

.由

∠CBD=120°,

∠BCD=30°,∴BD=BC,

即

1

0r=√

6,∴欄

目

導(dǎo)

引得

∠D=30°,工具心

口·Q

〇

課堂講義

析經(jīng)典、巧點(diǎn)撥、

互動講練!欄目導(dǎo)引解三角形工具第二章題

型

測量距

離問

題例

1

<

一商船行至索馬里海域時(shí)，遭到海盜的追擊，

隨即發(fā)出求救信號.正在該海域執(zhí)行護(hù)航任務(wù)的海軍“黃山”

艦在A處獲

悉后，即測出該商船在方位角為45°距離10海里的C

處，

并沿方

位角為105°的方向，

以9海里/時(shí)的速度航行

.

“黃山”艦立即以21

海

里

/時(shí)的

速

度

前

去

營

救

.

求

“黃山”

艦靠近商船所需要的

最少時(shí)間及所經(jīng)過的路程.第二章

解三角形欄目導(dǎo)引工具構(gòu)造三

角形實(shí)際問

題答案依

題

意

構(gòu)圖欄目導(dǎo)引解三

角形工具建模還原轉(zhuǎn)化[

解

題

過

程

]如圖所示，若“黃

山

”

艦

以最少

時(shí)

間在

B處追上商船，則A,B,C

構(gòu)成一個(gè)三角形.設(shè)所

需時(shí)

間

為t

小

時(shí)，則AB=21t,BC=9t.又

已知

AC=10,

依題意

知

，

∠

ACB=120°,根據(jù)余弦定理，AB2=AC2+BC2-2·AC·BCcos∠ACB.欄

目

導(dǎo)

引工具∴(21t)2=102+(9t)2-2×10×9tcos∴(21t)2=100+81t2+90t,即360t2—90t—100=0.時(shí)靠近商船，共航行14海里.即

“黃山”

艦

需要用欄

目導(dǎo)引工具120°,·

··[題后感悟]

(1)將追及問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，即可把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

這樣借助于正弦定理或余弦定理，就容

易解決問題了.

最后要把數(shù)學(xué)問題還原到實(shí)際問題中去.(2)測量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，

一般可轉(zhuǎn)化為已知兩個(gè)角和一條邊解三角形的問題，從

而運(yùn)用正弦定理去解決.(3)測量兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，

一般是把求距離問題轉(zhuǎn)化為應(yīng)用余弦定理求三角形的邊長的問題.

然后把求

未知的另外邊長問題轉(zhuǎn)化為只有一點(diǎn)不能到達(dá)的兩點(diǎn)距離測量

問題，然后運(yùn)用正弦定理解決.欄目導(dǎo)引工具解三角形第二章1.如

圖

，為測量河對岸

A,B兩點(diǎn)

的距離

，在河

的這邊測

出cD的長：,

∠ADB=∠CDB=30°,∠ACD=60°,∠ACB=45°,

求

A

,B兩點(diǎn)間

的距離.欄

目

導(dǎo)

引變

式

訓(xùn)練工具在△ACD

中，

∠

CAD=180°—60°—60°=60°,∴

△

A

CD

為正

三

角

形，方法

一

：

∠ADB=∠BDC,∴B

D

為

正

△ADC

邊

AC

上的中垂線，解析：

在

△BCD

中，

∠CBD=180°—30°—105°=45°,由正

弦定

理

：欄目導(dǎo)引7

具方

法

二：在正

△ADC

中

，在

△ABC中

，

由余弦

定

理

得

，AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos

45答

：河

對

岸A,B兩

點(diǎn)

間

距

離欄

目

導(dǎo)

引工具km.測量

高

度

問題例

2

<

如圖所示，

A

、B

是水平面上的兩個(gè)點(diǎn)，相距800m,在A點(diǎn)測得

山

頂C

的仰角為45°,

∠BAD=12

0°,

又在B點(diǎn)

測

得∠ABD=45°,其中D

點(diǎn)

是

點(diǎn)C到水平面的垂足，

求

山

高CD.第二章

解三角形欄目導(dǎo)引工具

思路點(diǎn)撥

先求∠BDA第二章解三角形欄目

導(dǎo)引正弦定理工具求AD[

解

題

過

程

]

由

于CD工

面AB

D,∠CAD=45°,所

以

CD=AD,因此

，

只

需在

△ABD中

求

出

AD即可

.在△ABD

中，

∠BDA=180°—45°—120°=15°,答：山高

CD

為800(

√

3+1)km.欄

目

導(dǎo)引工具根據(jù)已知條件畫出示意圖分析與問題有關(guān)的三角形運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)

的三角形，逐步求解在解題中，要綜合運(yùn)用立體幾何知識與平面幾何知識，注意方程思想的運(yùn)用.[題后感悟]

解決測量高度問題的一般步驟是：畫圖分析三角形求解第二章

解三角形欄目導(dǎo)引工具2.在某一山頂觀測山下兩村莊A

、B,

測得A的俯角為30°,B的俯角為40°,

觀測A、B

兩村莊的視角為50°,已知A、B

在

同一海平面上且相距1000米，求山的高度.(精確到1米，

sin40°≈0.643)欄目導(dǎo)引變

式

訓(xùn)

練工具解三角形第二章解析：

設(shè)

山頂為

C,山高CD=x,由

題

意∠CAD=30°,

∠CBD=40°,

∠ACB=50°.Rt△ADCRt△BDC中

，中

，欄

目

導(dǎo)

引工具在在∴x=1000·sin

40°≈643(m)答

：

山高約為643

m

.在

△ABC中

，

由余

弦

定

理

知AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB欄

目

導(dǎo)引工

具測量角

度問題例

3

火

某海上養(yǎng)殖基地

A,

接到氣象部門預(yù)報(bào)，位于基地南偏東60°相距20(

√3+1)海里的海面上有一臺風(fēng)中心，影響半

徑為20海里，正以每小時(shí)10

√

2海里的速度沿某一方向勻速

直線前進(jìn)，預(yù)計(jì)臺風(fēng)中心將從基地東北方向刮過且

√

3+1小

時(shí)后開始影響基地持續(xù)2小時(shí).求臺風(fēng)移動的方向.畫出示意圖，在三角形中利用正、余弦定理求有關(guān)角度進(jìn)

而解決問題.第二章

解三角形思路點(diǎn)撥欄目導(dǎo)引工具[解題過程]如圖所示，設(shè)預(yù)報(bào)時(shí)臺風(fēng)中心為

B,開始影響基地時(shí)臺風(fēng)

中心為C,

基地剛好不受影響時(shí)臺

風(fēng)中心

為

D,

則

B、C、D在一直

線

上，且

AD

=20

、AC=20.由題意

AB=20(√3+1),DC=20√2,BC=(√3+1)·10√2.在△ADC

中

，

∵DC2=AD2+AC2,∴∠DAC=90°,

∠ADC=45°.第二章

解三角形欄目導(dǎo)引工具北在△ABC

中，由余

弦

定

理

得∴∠BAC=30°,又

∵B

位于A

南

偏

東

6

0°

,欄

目

導(dǎo)

引工具60°

+30°

+90°

=180°

,∴D位于A的正北方向，又

：

∠ADC=45°

,∴臺風(fēng)移動的方向?yàn)楸逼?5°方向.答：

臺風(fēng)向北偏西45°方向移動.第二章

解三角形欄目導(dǎo)引工具[題后感悟]

在充分理解題意的基礎(chǔ)上畫出大致圖形，由問題中的有關(guān)量提煉出三角形中的元素.

用余弦定理、勾股定理解

三

角

形

.欄目導(dǎo)引工具3.甲船在

A處遇險(xiǎn)，在甲船西南10海里

B處的乙船收到甲船的求救信號后，測得甲船正沿著北偏西15°的方向，以

每

小

時(shí)9海里

的速度

向某

島

靠

近

.

如

果

乙

船要

在40

分鐘

內(nèi)追上甲船，問乙船應(yīng)以多大速度、向何方向航行?(sin

變

式

訓(xùn)

練

第二章

解三角形欄目導(dǎo)引工具解析

：設(shè)

乙船速

度

為

v海

里

/時(shí)

，在

△ABC

中

，

由余弦定理可知：BC2=AC2+AB2-2AC·AB-cos

∠CAB,欄

目

導(dǎo)

引工具∴B≈21°47'即乙船應(yīng)按北偏東45°—21°47′

=23°13′的方向航行.∴

v=21

海

里

/

時(shí)

.又

由正弦定

理可

知：欄

目

導(dǎo)

引工具(1)解三角形應(yīng)用題的基本思路畫圖解

三

角形解與三角形有關(guān)的應(yīng)用題的基本思路和步驟實(shí)

際

問

題實(shí)際問題的解.數(shù)學(xué)問題的解

檢驗(yàn)，

第二章

解三角形欄目導(dǎo)引數(shù)

學(xué)

問

題工具(2)解三角形應(yīng)用題的步驟①準(zhǔn)確理解題意

，

分

清

已

知

與

所

求

，

尤

其

要

理

解

應(yīng)

用

題

中的有

關(guān)

名

詞

和

術(shù)

語

；②

畫出示意圖，

并將已知條件在圖形中標(biāo)出；③分析與所研究的問題有關(guān)的一個(gè)或幾個(gè)三角形，

通過合理運(yùn)用正弦定理和余弦定理正確求解，

并作答.數(shù)學(xué)模型的解實(shí)

際

問題

的解第二章

解三角形欄目導(dǎo)引還原說明抽象概括工具數(shù)

學(xué)