河北省2023年各地區(qū)中考考數學模擬（二模）試題按題型難易度分層分類匯編-03解答題（較難題）②（含解析）

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一．一次函數綜合題（共1小題）

1．（2023開發(fā)區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝﹣x+n圖象與正比例函數y＝2x的圖象交于點A（m，4）．

（1）求m，n的值；

（2）設一次函數y＝﹣x+n的圖象與x軸交于點B，與y軸交于點C，求點B，點C的坐標；

（3）直接寫出使函數y＝﹣x+n的值小于函數y＝2x的值的自變量x的取值范圍．

（4）在x軸上是否存在點P使△PAB為等腰三角形，若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

二．二次函數的應用（共1小題）

2．（2023定遠縣二模）某公園要在小廣場建造一個噴泉景觀．在小廣場上都O處垂直于地面安裝一個高為1.25米的花形柱子OA，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA的任一平面上拋物線路徑如圖1所示，為使水流形狀較為美觀，設計成水流在距OA的水平距離為1米時達到最大高度，此時離地面2.25米．

（1）以點O為原點建立如圖2所示的平面直角坐標系，水流到OA水平距離為x米，水流噴出的高度為y米，求出在第一象限內的拋物線解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（2）張師傅正在噴泉景觀內維修設備期間，噴水管意外噴水，但是身高1.76米的張師傅卻沒有被水淋到，此時他離花形柱子OA的距離為d米，求d的取值范圍；

（3）為了美觀，在離花形柱子4米處的地面B、C處安裝射燈，射燈射出的光線與地面成45°角，如圖3所示，光線交匯點P在花形柱子OA的正上方，其中光線BP所在的直線解析式為y＝﹣x+4，求光線與拋物線水流之間的最小垂直距離．

三．二次函數綜合題（共4小題）

3．（2023灤州市二模）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣5，0）兩點，與y軸交于點C．P是拋物線上的任意一點（不與點C重合），點P的橫坐標為m，拋物線上點C與點P之間的部分（包含端點）記為圖象G．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當m符合什么條件時，圖象G的最大值與最小值的差為4？

（3）當m＜0時，若圖象G與平行于x軸的直線y＝﹣2m+3有且只有一個公共點，直接寫出m的取值范圍．

4．（2023路南區(qū)二模）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線G：y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）．

（1）若拋物線過點A（﹣1，6），求出拋物線的解析式；

（2）當1≤x≤5時，y的最小值是﹣1，求1≤x≤5時，y的最大值；

（3）已知直線y＝﹣x+1與拋物線y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）存在兩個交點，若兩交點到x軸的距離相等，求a的值；

（4）如圖2，作與拋物線G關于x軸對稱的拋物線G'，當拋物線G與拋物線G'圍成的封閉區(qū)域內（不包括邊界）共有11個橫、縱坐標均為整數的點時，直接寫出a的取值范圍．

5．（2023遷安市二模）已知拋物線L：y＝﹣+kx+6（k為常數）與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），與y軸的正半軸交于點C．

（1）當k＝2時，如圖所示．

①拋物線L的對稱軸為直線，點A的坐標為；

②在x軸從左到右有D，E兩點，且DE＝1，從點E向上作EF⊥x軸，且EF＝3，連接DF，當△DEF在x軸正半軸左右平移時，若拋物線L與邊DF（包括端點）有交點，求點F橫坐標的最大值比最小值大多少？

（2）當拋物線L的頂點P的縱坐標yP取得最小值時，求此時拋物線L的函數解析式；

（3）當k＞0，且x≤k時，拋物線L的最高點到直線l：y＝9的距離為1，求出此時k的值．

6．（2023孟村縣二模）如圖，已知二次函數y＝﹣x2+bx+c與x軸的交點為A（﹣3，0），，與y軸的交點為C．

（1）求此二次函數的解析式；

（2）在拋物線上是否存在一點D，使得BD⊥AC，若存在，求出點D的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）P是二次函數y＝﹣x2+bx+c的圖象上在第二象限內的一動點，求出△PAC面積的最大值．

四．三角形綜合題（共1小題）

7．（2023路南區(qū)二模）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，AB＝4．動點P從點C出發(fā)，沿CA以每秒3個單位長度的速度向終點A勻速運動．過點P作CA的垂線交射線CB于點M，當點M不和點B重合時，作點M關于AB的對稱點N．設點P的運動時間為t秒（t＞0）．

（1）BC＝；

（2）求MN的長．（用含t的代數式表示）

（3）取PC的中點Q．

①連結MQ、PN，當點M在邊BC上，且MQ∥PN時，求MN的長．

②連結NQ，當∠CNQ＝∠A時，直接寫出t的值．

五．四邊形綜合題（共1小題）

8．（2023橋西區(qū)二模）在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，∠C＝90°，，AB＝4，AH⊥BC于點H．在△EFG中，FG＝2，EG＝2，∠G＝90°．將△EFG按如圖1放置，頂點E在AD上，且EF⊥AD，然后將△EFG沿DA平移至點E與點A重合，再改變△EFG的位置，如圖3，將頂點E沿AB移動至點B，并使點H始終在EF上．

（1）當點E在DA上運動時，

①如圖1，連接AF，當EG∥AF時，求AE的長；

②如圖2，設FG與BC的交點為M，當頂點G落在CD上時，求CM的長；

（2）如圖3，點E在AB上運動時，EG交AH于點P，設AE＝d，請用d表示PH的長，并求出PH長度的最小值．

六．圓的綜合題（共3小題）

9．（2023灤州市二模）如圖，AB是OO的直徑，AD是OO的切線，點C在⊙O上，OD∥BC與AC相交于點E．

（1）若AB＝12，OD＝16，求BC的長；

（2）若BC＝8，∠BAC＝30°，求劣弧AC的長；

（3）若△ABC≌△DAE時，直接寫出AC與BC的數量關系．

10．（2023青龍縣二模）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上兩點．AE與過點C的切線垂直，垂足為E，直線EC與直徑AB的延長線相交于點P，弦CD交AB于點F，連接AC、AD、BC、BD．

（1）若∠ABC＝∠ABD＝60°，判斷△ACD的形狀，并證明你的結論；

（2）若CD平分∠ACB，求證：PC＝PF；

（3）在（2）的條件下，若AD＝5，PF＝5，求由線段PC、和線段BP所圍成的圖形（陰影部分）的面積．

11．（2023遷安市二模）如圖，點P是△ABC內一點，PD⊥BC，垂足為點D，將線段PD繞點P順時針旋轉90°得到扇形DPE，過點E作EM⊥PE交AB于點M，連接PM，與弧DE交于點F，過點P作PN⊥PM交BC于點N．

（1）求證：△PEM≌△PDN；

（2）已知PD＝4，EM＝3．

①通過計算比較線段PN和弧DF哪個長度更長；

②計算圖中陰影部分的面積（結果保留π）．（參考數據：tan37°＝0.75）

七．相似形綜合題（共1小題）

12．（2023開發(fā)區(qū)二模）綜合與實踐課上，老師讓同學們以“線段的旋轉”為主題開展數學活動．

問題情境：在△ABC中，AB＝AC，點D在邊BC上，連接AD，將AD繞點A逆時針旋轉至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°．

（1）操作判斷

當AE∥BC時，如圖1，連接CE，試判斷四邊形ADCE的形狀，并證明；

（2）深入探究

連接BE，取BE的中點G，連接AG．善于思考的小東發(fā)現當點D在BC邊上運動時，的值始終不變，請你利用圖2求的值．

（3）解決問題

若∠BAC＝60°，AB＝6，如圖3，在（2）的探究中，當時，直接寫出C，G兩點之間的距離．

河北省2023年各地區(qū)中考考數學模擬（二模）試題按題型難易度分層分類匯編-03解答題（較難題）②

參考答案與試題解析

一．一次函數綜合題（共1小題）

1．（2023開發(fā)區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝﹣x+n圖象與正比例函數y＝2x的圖象交于點A（m，4）．

（1）求m，n的值；

（2）設一次函數y＝﹣x+n的圖象與x軸交于點B，與y軸交于點C，求點B，點C的坐標；

（3）直接寫出使函數y＝﹣x+n的值小于函數y＝2x的值的自變量x的取值范圍．

（4）在x軸上是否存在點P使△PAB為等腰三角形，若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）m＝2，n＝6；

（2）點B坐標為（6，0），點C坐標為（0，6）；

（3）x＞2；

（4）點P坐標為（6+4，0）或（6﹣4，0）或（﹣2，0）或（2，0）．

【解答】解：（1）正比例函數y＝2x的圖象過點A（m，4）．

∴4＝2m，

∴m＝2．

又∵一次函數y＝﹣x+n的圖象過點A（2，4）．

∴4＝﹣2+n，

∴n＝6．

（2）一次函數y＝﹣x+n的圖象與x軸交于點B，

∴令y＝0，則0＝﹣x+6

∴x＝6，

∴點B坐標為（6，0），

令x＝0，則y＝6，

∴點C坐標為（0，6）；

（3）由圖象可知：x＞2；

（4）∵點A（2，4），

∴AB＝＝4，

當AB＝BP＝4時，則點P（6+4，0）或（6﹣4，0）；

當AB＝AP時，如圖，過點A作AE⊥BO于E，則點E（2，0），

∵AB＝AP，AE⊥BO，

∴PE＝BE＝4，

∴點P（﹣2，0）；

當PA＝PB時，

∴∠PBA＝∠PAB＝45°，

∴∠APB＝90°，

∴點P（2，0），

綜上所述：點P坐標為（6+4，0）或（6﹣4，0）或（﹣2，0）或（2，0）．

二．二次函數的應用（共1小題）

2．（2023定遠縣二模）某公園要在小廣場建造一個噴泉景觀．在小廣場上都O處垂直于地面安裝一個高為1.25米的花形柱子OA，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA的任一平面上拋物線路徑如圖1所示，為使水流形狀較為美觀，設計成水流在距OA的水平距離為1米時達到最大高度，此時離地面2.25米．

（1）以點O為原點建立如圖2所示的平面直角坐標系，水流到OA水平距離為x米，水流噴出的高度為y米，求出在第一象限內的拋物線解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（2）張師傅正在噴泉景觀內維修設備期間，噴水管意外噴水，但是身高1.76米的張師傅卻沒有被水淋到，此時他離花形柱子OA的距離為d米，求d的取值范圍；

（3）為了美觀，在離花形柱子4米處的地面B、C處安裝射燈，射燈射出的光線與地面成45°角，如圖3所示，光線交匯點P在花形柱子OA的正上方，其中光線BP所在的直線解析式為y＝﹣x+4，求光線與拋物線水流之間的最小垂直距離．

【答案】（1）第一象限內的拋物線解析式為y＝﹣（x﹣1）2+2.25；

（2）d的取值范圍為0.3＜d＜1.7；

（3）光線與拋物線水流之間的最小垂直距離為米．

【解答】解：（1）根據題意第一象限內的拋物線的頂點坐標為（1，2.25），A（0，1.25），

設第一象限內的拋物線解析式為y＝a（x﹣1）2+2.25，

將點A（0，1.25）代入物線解析式，

1.25＝a（0﹣1）2+2.25，

解得α＝﹣1，

∴第一象限內的拋物線解析式為y＝﹣（x﹣1）2+2.25；

（2）根據題意，令y＝1.76，

即﹣（x﹣1）2+2.25＝1.76，

解得x1＝0.3，x2＝1.7，

∵﹣1＜0，拋物線開口向下，

∴當0.3＜x＜1.7時，y＞1.76，

∴d的取值范圍為0.3＜d＜1.7；

（3）作直線BP的平行線l，使它與拋物線相切于點D，分別交x軸，y軸于點E，F，過點E，作EG⊥PB，垂足為G，如圖所示，

∵l∥PB，

設直線l的解析式為y＝﹣x+m，

聯立直線與拋物線解析式，

，

整理得x2﹣3x+m﹣1.25＝0，

∵直線l與拋物線相切，

∴方程只有一個根，

∴Δ＝32﹣4×1×（m﹣1.25）＝0，

解得m＝3.5，

∴直線l的解析式為y＝﹣x+3.5，

令y＝0，則x＝3.5，

∴E（3.5，0），

∴BE＝4﹣3.5＝0.5，

即EB＝，

∵射燈射出的光線與地面成45°角，

∴∠EBG＝45°，

∵∠EGB＝90°，

sin∠EBG＝＝，

∴EG＝×＝，

∴光線與拋物線水流之間的最小垂直距離為米．

三．二次函數綜合題（共4小題）

3．（2023灤州市二模）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣5，0）兩點，與y軸交于點C．P是拋物線上的任意一點（不與點C重合），點P的橫坐標為m，拋物線上點C與點P之間的部分（包含端點）記為圖象G．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當m符合什么條件時，圖象G的最大值與最小值的差為4？

（3）當m＜0時，若圖象G與平行于x軸的直線y＝﹣2m+3有且只有一個公共點，直接寫出m的取值范圍．

【答案】（1）拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣4x+5；

（2）﹣4≤m≤﹣2或m＝2﹣2時，圖象G的最大值與最小值的差為4；

（3）當m＝﹣3或﹣﹣1＜m≤﹣1時，圖象G與直線y＝﹣2m+3有且只有一個公共點．

【解答】解：（1）將A（1，0），B（﹣5，0）代入y＝﹣x2+bx+c，

∴，

解得，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣4x+5；

（2）在y＝﹣x2﹣4x+5中，令x＝0，則y＝5，

∴C（0，5），

∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，

∴拋物線的頂點為（﹣2，9），

當y＝5時，﹣x2﹣4x+5＝5，

∴x＝0或x＝﹣4，

當m≤﹣4時，圖象G的最大值為9，最小值為﹣m2﹣4m+5，

∴9﹣（﹣m2﹣4m+5）＝4，

解得m＝0或m＝﹣4，

∴m＝﹣4時，圖象G的最大值與最小值的差為4；

當﹣4＜m≤﹣2時，圖象G的最大值為9，最小值為5，

∴圖象G的最大值與最小值的差為4；

當﹣2＜m＜0時，圖象G的最大值為﹣m2﹣4m+5，最小值為5，

∴﹣m2﹣4m+5﹣5＝4，

解得m＝﹣2（舍去）；

當m＞0時，圖象G的最大值為5，最小值為﹣m2﹣4m+5，

∴5﹣（﹣m2﹣4m+5）＝4，

解得m＝2﹣2或m＝﹣2﹣2（舍去）；

綜上所述：﹣4≤m≤﹣2或m＝2﹣2時，圖象G的最大值與最小值的差為4；

（3）當﹣2m+3＝5時，m＝﹣1，此時圖象G與直線y＝﹣2m+3有且只有一個公共點C，如圖：

當﹣2m+3＝﹣m2﹣4m+5時，m＝﹣﹣1，此時圖象G與直線y＝﹣2m+3有且只有兩個公共點，如圖：

當﹣2m+3＝9時，m＝﹣3，此時圖象G與直線y＝﹣2m+3有且只有一個公共點，

綜上所述：當m＝﹣3或﹣﹣1＜m≤﹣1時，圖象G與直線y＝﹣2m+3有且只有一個公共點．

4．（2023路南區(qū)二模）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線G：y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）．

（1）若拋物線過點A（﹣1，6），求出拋物線的解析式；

（2）當1≤x≤5時，y的最小值是﹣1，求1≤x≤5時，y的最大值；

（3）已知直線y＝﹣x+1與拋物線y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）存在兩個交點，若兩交點到x軸的距離相等，求a的值；

（4）如圖2，作與拋物線G關于x軸對稱的拋物線G'，當拋物線G與拋物線G'圍成的封閉區(qū)域內（不包括邊界）共有11個橫、縱坐標均為整數的點時，直接寫出a的取值范圍．

【答案】（1）y＝x2﹣4x+1；

（2）；

（3）；

（4）＜a≤1．

【解答】解：（1）把A（﹣1，6）代入y＝ax2﹣4ax+1，得a+4a+1＝6，解得a＝1，

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣4x+1．

（2）∵y＝ax2﹣4ax+1＝a（x﹣2）2﹣4a+1，

∴拋物線的對稱軸為直線x＝2，

∵拋物線的頂點的橫坐標在1≤x≤5的范圍內，

∴拋物線的頂點的縱坐標就是y的最小值﹣1，

∴﹣4a+1＝﹣1，

解得a＝，

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x+1，

當1≤x≤2時，y隨x的增大而減小，當x＝1時，y最大＝﹣2+1＝﹣；

當2＜x≤5時，y隨x的增大而增大，當x＝5時，y最大＝﹣10+1＝，

∵﹣＜，

∴y的最大值為．

（3）∵直線y＝﹣x+1及拋物線y＝ax2﹣4ax+1與y軸的交點都是（0，1），

∴直線y＝﹣x+1與拋物線y＝ax2﹣4ax+1的兩個交點到x軸的距離都是1，且其中一個交點坐標為（0，1），

∴另一個交點的縱坐標為﹣1，

當y＝﹣1時，由﹣1＝﹣x+1，得x＝2，

∴另一交點坐標為（2，﹣1），

把（2，﹣1）代入y＝ax2﹣4ax+1得4a﹣8a+1＝﹣1，解得．

（4）由題意可知，拋物線G與拋物線G′圍成的封閉區(qū)域是以x軸為對稱軸的軸對稱圖形，

∴該區(qū)域內x軸上有三個橫、縱坐標均為整數的點，x軸的下方和上方各有四個這樣的點，且兩兩關于x軸對稱．

如圖，對于拋物線G，當x＝1時，y＝﹣3a+1；當x＝2時，y＝﹣4a+1，

由題意，得，

解得＜a≤1，

∴a的取值范圍是＜a≤1．

5．（2023遷安市二模）已知拋物線L：y＝﹣+kx+6（k為常數）與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），與y軸的正半軸交于點C．

（1）當k＝2時，如圖所示．

①拋物線L的對稱軸為直線x＝2，點A的坐標為（﹣2，0）；

②在x軸從左到右有D，E兩點，且DE＝1，從點E向上作EF⊥x軸，且EF＝3，連接DF，當△DEF在x軸正半軸左右平移時，若拋物線L與邊DF（包括端點）有交點，求點F橫坐標的最大值比最小值大多少？

（2）當拋物線L的頂點P的縱坐標yP取得最小值時，求此時拋物線L的函數解析式；

（3）當k＞0，且x≤k時，拋物線L的最高點到直線l：y＝9的距離為1，求出此時k的值．

【答案】（1）①x＝2，（﹣2，0）；②；

（2）；

（3）或．

【解答】解：（1）∵，k＝2，

∴，

∴對稱軸為，

∵與x軸有兩個交點分別是A、B，

∴，

解得x1＝6，x2＝﹣2，

∴A（﹣2，0）．

故答案為：x＝2，（﹣2，0）；

②當拋物線對稱軸右側的圖象經過點D時，此時點F的橫坐標值最大；

當拋物線對稱軸左側的圖象經過點F時，此時點F的橫坐標最?。?/p>

∵拋物線經過點D時，y＝0，

∴，

解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），

∵DE＝1，

∴此時點F的橫坐標為7，

∵拋物線經過點F時，y＝3，

∴，

解得，（不合題意舍去），

∴點F橫坐標的最大值比最小值大

（2）∵，

∴頂點P的縱坐標，

當k＝0時，yP取得最小值，

∴此時拋物線L的函數解析式為；

（3）由（2）可得拋物線的對稱軸為直線x＝k，

∴當k＞0且時，處有最大值，

∴，此時所在的點是拋物線G的最高點，

當直線l：y＝9在拋物線G的最高點上方時，

可得方程：，

解得，（舍去），

∴，

當直線l：y＝9在拋物線G的最高點下方時，

可得方程：，

解得，（舍去），

∴，

綜上所述，k的值為或．

6．（2023孟村縣二模）如圖，已知二次函數y＝﹣x2+bx+c與x軸的交點為A（﹣3，0），，與y軸的交點為C．

（1）求此二次函數的解析式；

（2）在拋物線上是否存在一點D，使得BD⊥AC，若存在，求出點D的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）P是二次函數y＝﹣x2+bx+c的圖象上在第二象限內的一動點，求出△PAC面積的最大值．

【答案】（1）；

（2）存在，；

（3）最大值為．

【解答】解：（1）把點A（﹣3，0），代入y＝﹣x2+bx+c得：

，

解得：，

∴此二次函數的解析式為；

（2）存在點D，使得BD⊥AC，過點O作OE⊥AC于點E，由（1）可得點C的坐標為（0，4）．如圖所示：

設AC的解析式為y＝mx+n，把點A（﹣3，0），C（0，4）代入得：

，

解得：，

∴AC的解析式為．

∵A（﹣3，0），C（0，4），

∴AC＝5，

∵，

∴，

過點E作EF⊥x軸于點F，易知△EOF∽△AOC，

∴＝，

∴OF＝，

同理可得：EF＝，

∴，

∴直線OE的解析式為，

設過點B與OE平行的直線的解析式為，

把點代入得：

0＝×+d，

解得：d＝1，

∴直線BD的解析式為，與拋物線聯立，

，

解得：（舍去），，

∴點D的坐標為．

（3）過點P作PG⊥x軸交AC于點F，連接PC，PA，

設，則，

∴，

∴，

∴當時，S△PAC最大，最大值為．

四．三角形綜合題（共1小題）

7．（2023路南區(qū)二模）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，AB＝4．動點P從點C出發(fā)，沿CA以每秒3個單位長度的速度向終點A勻速運動．過點P作CA的垂線交射線CB于點M，當點M不和點B重合時，作點M關于AB的對稱點N．設點P的運動時間為t秒（t＞0）．

（1）BC＝3；

（2）求MN的長．（用含t的代數式表示）

（3）取PC的中點Q．

①連結MQ、PN，當點M在邊BC上，且MQ∥PN時，求MN的長．

②連結NQ，當∠CNQ＝∠A時，直接寫出t的值．

【答案】見試題解答內容

【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，AB＝4，

∴BC＝＝＝3．

故答案為：3．

（2）當0＜t＜時，MN＝2（3﹣5t）＝6﹣10t．

當＜t≤時，MN＝2（5t﹣3）＝10t﹣6．

（3）①當MP∥PN時，＝，

∵CQ＝PQ，

∴CM＝MN，

∴5t＝6﹣10t，

解得t＝，

此時MN＝6﹣10×＝2．

②如圖1中，當NQ⊥AC時，∠CNQ＝∠A，此時CN＝MN．

在Rt△CPM中，CP＝3t，

∵△CPM∽△CBA，

∴＝＝，

∴＝＝，

∴PM＝4t，CM＝5t，

∵M，N關于點B對稱，

∴BM＝BN＝5t﹣3，

∴CN＝5t﹣2（5t﹣3），

∴5t﹣2（5t﹣3）＝2（5t﹣3），

∴t＝，

如圖2中，當∠CNQ＝∠A時，過點Q作QH⊥BC于H．

∵CQ＝1.5t，

∴CH＝CQ＝t，QH＝CQ＝t，

∵BN＝BM＝5t﹣3，

∴CN＝5t﹣3﹣3＝5t﹣6，

∴NH＝CN+CH＝5t﹣6+t＝t﹣6，

∵tan∠CNQ＝＝，

∴＝，

∴t＝，

經檢驗t＝是分式方程的解，

綜上所述，滿足條件的t的值為或．

五．四邊形綜合題（共1小題）

8．（2023橋西區(qū)二模）在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，∠C＝90°，，AB＝4，AH⊥BC于點H．在△EFG中，FG＝2，EG＝2，∠G＝90°．將△EFG按如圖1放置，頂點E在AD上，且EF⊥AD，然后將△EFG沿DA平移至點E與點A重合，再改變△EFG的位置，如圖3，將頂點E沿AB移動至點B，并使點H始終在EF上．

（1）當點E在DA上運動時，

①如圖1，連接AF，當EG∥AF時，求AE的長；

②如圖2，設FG與BC的交點為M，當頂點G落在CD上時，求CM的長；

（2）如圖3，點E在AB上運動時，EG交AH于點P，設AE＝d，請用d表示PH的長，并求出PH長度的最小值．

【答案】（1）①；

②6﹣3；

（2）PH＝（d﹣3）2+．PH最小值為．

【解答】解：（1）①在Rt△EFG中，∠G＝90°，FG＝2，EG＝2，

∴tan∠FEG＝＝，

∴∠FEG＝30°，

∴EF＝2FG＝4，

∵AF∥EG，

∴∠AFE＝∠FEG＝30°，

∵EF⊥AD，

∴∠AEF＝90°，

∴AE＝EFtan30°＝；

②∵EF⊥AD，

∴∠FED＝90°，

∵∠FEG＝30°，

∴∠GED＝60°，

∵AD∥BC，∠C＝90°，

∴∠D＝90°，

∴∠EGD＝30°，

∵∠EGF＝90°，

∴∠MGC＝60°，

∴DG＝EGcos30°＝3，

∵AH⊥BC，

∴∠AHC＝90°，

∴四邊形AHCD是矩形，

∴CD＝AH＝ABsin60°＝2，

∴CG＝2﹣3，

∴CM＝CG＝6﹣3；

（2）過點H作HJ⊥AB于點J．

∵BH＝ABcos60°＝2，

∴BJ＝BHcos60°＝1，JH＝BJ＝，

∵AB＝﹣4，

∴AJ＝AB﹣BJ＝4﹣1＝3，

∴EJ＝|3﹣d|．

∴EH2＝EJ2+HJ2＝（3﹣d）2+3＝d2﹣6d+12，

∵∠BAH＝∠FEG＝30°，∠EHP＝∠AHE，

∴△EHP∽△AHE，

∴＝，

∴EH2＝HPAH，

∴PH＝＝（d﹣3）2+．

∵＞0，

∴當d＝3時，PH的值最小，最小值為．

六．圓的綜合題（共3小題）

9．（2023灤州市二模）如圖，AB是OO的直徑，AD是OO的切線，點C在⊙O上，OD∥BC與AC相交于點E．

（1）若AB＝12，OD＝16，求BC的長；

（2）若BC＝8，∠BAC＝30°，求劣弧AC的長；

（3）若△ABC≌△DAE時，直接寫出AC與BC的數量關系．

【答案】（1）BC的長為．

（2）劣弧AC的長為．

（3）AC＝2BC．

【解答】解：（1）∵AB＝12，

∴OA＝6，

∵OD∥BC，

∴∠ABC＝∠DOA，

∵AB是直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵AD是⊙O的切線，

∴∠DAO＝90°，

∴∠ACB＝∠DAO，

∴△ABC∽△DOA，

∴，

即，

∴．

答：BC的長為．

（2）如圖，連接OC，

∵∠BAC＝30°，

∴∠BOC＝60°，

∵OB＝OC，

∴△BOC是等邊三角形，

∵BC＝8，

∴OC＝BC＝8，

又∵∠AOC＝180°﹣∠BOC＝120°，

，

答：劣弧AC的長為．

（3）AC＝2BC，理由如下：

∵AB是直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠B+∠BAC＝90°，

∵AD是切線，

∴∠CAD+∠BAC＝90°，

∴∠EAD＝∠B，

∵BC∥OD，

∴∠AOD＝∠B，

∴OD⊥AC，

∴AE＝EC，

∴AC＝2AE，

∵△ABC≌△DAE，

∴BC＝AE，

∴AC＝2BC．

10．（2023青龍縣二模）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上兩點．AE與過點C的切線垂直，垂足為E，直線EC與直徑AB的延長線相交于點P，弦CD交AB于點F，連接AC、AD、BC、BD．

（1）若∠ABC＝∠ABD＝60°，判斷△ACD的形狀，并證明你的結論；

（2）若CD平分∠ACB，求證：PC＝PF；

（3）在（2）的條件下，若AD＝5，PF＝5，求由線段PC、和線段BP所圍成的圖形（陰影部分）的面積．

【答案】（1）△ACD是等邊三角形；

（2）證明詳見解答；

（3）﹣．

【解答】解：（1）△ACD是等邊三角形，

理由如下：

＝，

∴∠ACD＝∠ABD＝60°，

∵＝，

∴∠ADC＝∠ABC＝60°，

∴△ACD是等邊三角形；

（2）如圖1，

連接OC，OD，

∵PC切⊙O于C，

∴OC⊥PC，

∴∠PCO＝90°，

∴∠OCF+∠PCF＝90°，

∵CD平分∠ACB，

∴＝，

∴∠DOB＝∠AOD＝90°，

∴∠ODF+∠OFD＝90°，

∵OC＝OD，

∴∠ODF＝∠OCF，

∴∠PCF＝∠OFD，

又∵∠CFP＝∠OFD，

∴∠PCF＝∠CFP，

∴PC＝PF；

（3）由（2）知，

＝，

∴AD＝BD＝5，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴AB＝＝10，

∴OC＝5，

∵PC＝PF，

∴PC＝5，

∵tan∠BOC＝＝

∴∠BOC＝60°，

∵S△PCO＝OCPC＝＝，

S扇形BOC＝＝，

∴S陰影＝S△PCO﹣S扇形BOC＝﹣．

11．（2023遷安市二模）如圖，點P是△ABC內一點，PD⊥BC，垂足為點D，將線段PD繞點P順時針旋轉90°得到扇形DPE，過點E作EM⊥PE交AB于點M，連接PM，與弧DE交于點F，過點P作PN⊥PM交BC于點N．

（1）求證：△PEM≌△PDN；

（2）已知PD＝4，EM＝3．

①通過計算比較線段PN和弧DF哪個長度更長；

②計算圖中陰影部分的面積（結果保留π）．（參考數據：tan37°＝0.75）

【答案】（1）證明見解析過程；

（2）①PN更長；

②．

【解答】（1）證明：∵PD⊥BC，

∴∠PDN＝90°，

∵將線段PD繞點P順時針旋轉90°得到PE，

∴PD＝PE，∠DPE