Ch10綜合提高題解答

習(xí)題10：綜合提高題1．在一元線性回歸分析中，對(duì)于給定的，相應(yīng)的因變量的取值記為，的點(diǎn)預(yù)測(cè)為．證明：．證明：令，則可得上式表明是的線性組合．由于相互獨(dú)立，并且因此服從正態(tài)分布．由于可知于是所以．2．一種物質(zhì)吸附另一種物質(zhì)的能力與溫度有關(guān)．現(xiàn)通過試驗(yàn)測(cè)定在不同溫度（℃）下吸附的重量（mg），結(jié)果如下表：1.51.82.43.03.53.94.44.85.04.85.77.08.310.912.413.113.615.3（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖；（2）求吸附重量關(guān)于溫度的一元線性回歸方程；（3）對(duì)回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)（取）；（4）估計(jì)溫度為6℃時(shí)的吸附重量．解：根據(jù)已知數(shù)據(jù)計(jì)算得（1）散點(diǎn)圖如下：（2）假設(shè)關(guān)于的理論回歸方程為則所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為（3）對(duì)回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的原假設(shè)和備擇假設(shè)為計(jì)算得和的自由度分別為1和7，，，從而得方差分析表如下：方差來源平方和自由度均方值臨界值回歸112.48391112.4839387.60825.59殘差2.031770.2902總計(jì)114.51568由上表可知，所以拒絕原假設(shè)，關(guān)于的回歸方程是顯著的．（4）的預(yù)測(cè)值為．取，則，又，可得從而可得與對(duì)應(yīng)的的置信水平為95%的預(yù)測(cè)區(qū)間如下：3．抽查某中學(xué)16名學(xué)生的體測(cè)成績，數(shù)據(jù)見下表：序號(hào)身高/cm體重/kg肺活量/L1174.261.64.4152165.9573.4673175.261.34.5604176.255.44.6815170.563.44.7526175.857.14.5577171.357.83.8568169.966.34.7769165.159.73.98310161.952.22.91811170.151.94.09512169.455.54.23813157.446.32.47514159.2532.42215166.760.24.27516168.751.73.544求肺活量關(guān)于身高和體重的二元線性回歸方程，并對(duì)回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)（?。猓航?jīng)計(jì)算得,,（1）假設(shè)關(guān)于的理論回歸方程為列出如下方程組解方程組得故關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為（2）對(duì)回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的原假設(shè)和備擇假設(shè)為經(jīng)計(jì)算得由題意知，和的自由度分別為2和13，，，于是可得方差分析表如下：方差來源平方和自由度均方值臨界值回歸7.966223.983149.72663.81殘差1.0413130.0801總計(jì)9.007515由上表可知，所以拒絕原假設(shè)，認(rèn)為關(guān)于的回歸方程是顯著的．4．請(qǐng)根據(jù)例10.1.1中的人體耗氧能力測(cè)試數(shù)據(jù)（見表10-1），求耗氧能力與諸因素的多元線性回歸方程．解：假設(shè)關(guān)于的理論回歸方程為令可得參數(shù)的估計(jì)值為所以，關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為5．重新考慮例10.4.1，假設(shè)頭圍關(guān)于月齡的理論回歸方程為，其中為未知參數(shù)．試求的估計(jì)值．解：由于為未知參數(shù)，因此不能通過變量代換的方式將非線性函數(shù)化為線性函數(shù)．對(duì)于這種不能線性化的非線性回歸，通常的做法是借助計(jì)算軟件（如Python或MATLAB），利用迭代算法求參數(shù)的估計(jì)值．為此，令求解函數(shù)的最小值點(diǎn)，即得未知參數(shù)的最小二乘估計(jì)．相應(yīng)的Python代碼如下：importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltfromscipyimportoptimize#定義數(shù)據(jù)x=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,24,36,48,60,72,84,96,108,120)y=(37.8,39.4,40.7,41.8,42.8,43.7,42.9,44.7,46.1,45.4,46.9,\47.0,49.7,51.2,51.4,52.3,52.9,53.1,53.3,53.0,53.5)#定義目標(biāo)函數(shù)deffun(b):yhat=b[0]*np.exp(b[1]/(x+b[2]))r=y-yhatreturnnp.sum(r**2)#求解并顯示參數(shù)值b=optimize.fmin(fun,(55,-3,9))print(b)#繪制擬合效果圖plt.figure()plt.scatter(x,y,25,"red")x1=np.arange(1,120,1)y1=b[0]*np.exp(b[1]/(x1+b[2]))plt.plot(x1,y1,"blue")plt.xlabel("月齡",fontsize=16)plt.ylabel("頭圍",fontsize=16)plt.legend(["散點(diǎn)","回歸曲線"],fontsize=13)plt.xticks(f