2023年中考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)+重點(diǎn)題型+高分秘籍+題組訓(xùn)練+過關(guān)檢測-全等模型

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)資料五合一《核心考點(diǎn)＋重點(diǎn)題型＋高分秘籍＋題組特訓(xùn)＋過關(guān)檢測》(全國通用版)第17講 全等模型、垂直平分線、角平分線核心考點(diǎn)1：全等三角形的概念和性質(zhì)全等三角形的概念：能完全重合的三角形叫做全等三角形；完全重合即形狀相同，大小相等。2.全等三角形的性質(zhì)：（1）全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；（2）全等三角形的周長相等，面積相等；（3）全等三角形對應(yīng)的中線、高線、角平分線、中位線都相等．核心考點(diǎn)2：三角形全等的判定方法（1）邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）；（2）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）；（3）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）；（4）角角邊定理：有兩角和它們所對的任意一邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“角角邊”或“AAS”）；（5）對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．核心考點(diǎn)3：全等模型幾何變換中的全等模型1. 平移全等模型，如下圖：2. 對稱(翻折)全等模型，如下圖：3. 旋轉(zhuǎn)全等模型，如下圖：三、一線三等角全等模型4. 三垂直全等模型，如圖：5. 一線三直角全等模型，如圖：6. 一線三等角與一組對應(yīng)邊相等全等模型，如圖：四、手拉手全等模型7. 等腰三角形中的手拉手全等模型 如圖，△ABC與△ADE均為等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，連接BD、CE，則△ABD≌△ACE.8. 等邊三角形中的手拉手全等模型 如圖，△ABC與△CDE均為等邊三角形，點(diǎn)B、C、E三點(diǎn)共線，連接AE、BD，則△BCD≌△ACE.9. 一般三角形中的手拉手全等模型如圖，在任意△ABC中，以AB為邊作等邊△ADB，以AC為邊作等邊△ACE，連接DC、BE，則△ADC≌△ACE.10. 正方形中的手拉手全等模型 如圖，在任意△ABC中，以AB為邊作正方形ABDE，以AC為邊作正方形ACFG，連接EC、BG，則△AEC≌△ABG.核心考點(diǎn)4：線段的垂直平分線1．線段的軸對稱性：線段是軸對稱圖形，垂直并且平分線段的直線是它的一條對稱軸．2．垂直平分線：垂直于一條線段，并且平分這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線．3．垂直平分線性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．（可通過全等證明）心考點(diǎn)5：角平分線的性質(zhì)定理1、角平分線性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．如圖，已知平分，，，則．2．角平分線的判定：在角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。3．定理證明方法：全等三角形全等三角形是一個(gè)非常重要的基礎(chǔ)，也是中考數(shù)學(xué)中必考內(nèi)容之一，一般大小題都會涉及，通常會有一個(gè)大題專門考查全等的證明。在其他題目中通常也會有，比如會結(jié)合圓或者雙曲線或拋物全等等。通常的全等模型也是非常重要的，比如，平移型全等；軸對稱型全等，旋轉(zhuǎn)型全等，手拉手型，一線三等角型，十字模型等等。1——考查全等三角形的概念1．關(guān)于全等圖形的描述，下列說法正確的是（

）A．形狀相同的圖形 B．面積相等的圖形C．能夠完全重合的圖形 D．周長相等的圖形【分析】根據(jù)全等圖形的概念對各選項(xiàng)分析判斷即可得解．【詳解】A.形狀相同的兩個(gè)圖形大小不一定相等，所以不是全等圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．B.面積相等的兩個(gè)圖形形狀、大小都不一定相同，所以，不是全等圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．C.能夠完全重合的兩個(gè)圖形是全等圖形，故本選項(xiàng)正確．D.周長相等的兩個(gè)圖形形狀、大小都不一定相同，所以，不是全等圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．【反思】本題考查的是全等形的識別：熟記全等形是能夠完全重合的兩個(gè)圖形是解題關(guān)鍵．2——根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求線段長2．如圖，，點(diǎn)與，與分別是對應(yīng)頂點(diǎn)，且測得，，則長為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)全等三角形性質(zhì)求出，求出CF，代入即可求出答案．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，∴，故選：C．【反思】本題考查了全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出BC和CF的長，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等．3．如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一直線上，，若，．則AD的長度等于（

）A．2 B．8 C．9 D．10【分析】根據(jù)得出，進(jìn)而得出，即可求解．【詳解】解：∵∴，∴，即，∵，，∴，故選：B．【反思】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3——根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求角度4．如圖，已知，平分，若，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理求出，求出，根據(jù)角平分線的定義求出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出答案即可．【詳解】解：∵△ABC≌△DEF，，，，，在四邊形中，，，平分，，，故選：A．【反思】本題考查了角平分線的定義，全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是能熟記全等三角形的性質(zhì)，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．5．如圖，，，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【分析】根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得，再利用三角形內(nèi)角和定理求得的度數(shù)，然后根據(jù)即可得解．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，∵，∴．故選：B．【反思】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖，理清圖中角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4——考查垂直平分線的性質(zhì)6．到三角形各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是（

）A．三條邊垂直平分線交點(diǎn) B．三個(gè)內(nèi)角平分線交點(diǎn)C．三條中線交點(diǎn) D．三條高交點(diǎn)【分析】根據(jù)線段垂直平分線的判定，即可求解．【詳解】解：∵到線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，∴到三角形各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三條邊垂直平分線交點(diǎn)．故選：A【反思】本題主要考查了線段垂直平分線的判定，熟練掌握到線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在△ABC中，，的垂直平分線交于D，的垂直平分線交與E，則的周長等于（）A．6 B．7 C．8 D．12【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而可得，從而可得答案．【詳解】解：∵的垂直平分線交于D，∴，∵的垂直平分線交于E，∴，∵，∴，∴，∴△ADE的周長為8，故選：C．【反思】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．8．如圖，，，的垂直平分線交于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【分析】先由線段垂直平分線的性質(zhì)得到，則，再由三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)得到，由此即可得到答案．【詳解】解：的垂直平分線交于點(diǎn)，，，，，．故選A．【反思】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．5——考查角平分線的性質(zhì)9．如圖，在△ABC中，，，，將折疊，使邊落在邊上，展開后得到折痕，則的長度為（

）A．2 B． C． D．【分析】過點(diǎn)D作，根據(jù)折疊得出平分，證明△ABC為直角三角形，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，證明Rt△ADB≌Rt△ADE，得出，求出，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程，即可得出答案．【詳解】解：過點(diǎn)D作，如圖所示：根據(jù)題意可得：，∴平分，∵，，，又∵，∴為直角三角形，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：，即的長度為，故C正確．故選：C．【反思】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程．10．如圖，已知平分，P是上一點(diǎn)，于點(diǎn)H，Q是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如，則長的最小值為（

）A．10 B．5 C．3 D．6【分析】當(dāng)時(shí)，有最小值，利用角平分線的性質(zhì)可得，即可解答．【詳解】解：如圖：當(dāng)時(shí)，有最小值，∵平分，∴，∴長的最小值為5，故選B．【反思】本題考查了角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．11．如圖，中，，，，是的平分線，設(shè)、的面積分別為、，則等于（

）A． B． C． D．【分析】由已知條件可得點(diǎn)D到兩邊距離相等，即兩三角形的高相等，要求三角形的面積比，只要求出兩個(gè)三角形的底的比即可．【詳解】解：過D作于E，如圖所示：∵，∴，∵是的平分線，∴，∵，，又∵，，∴，故A正確．故選：A．【反思】本題考查了角平分線的性質(zhì)，作出輔助線，發(fā)現(xiàn)并利用兩個(gè)三角形等高是正確解題的關(guān)鍵．6——全等三角形的證明12．如圖，在△ABC和△BAD中，，．求證：．【分析】先證明，再利用證明即可證明．【詳解】證明：∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴．【反思】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵，全等三角形的判定定理有．13．如圖，已知，，，求證：．【分析】首先根據(jù)得到，然后由得到，進(jìn)而證明出△DEF≌△ABC，最后利用全等三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】∵∴，即∵∴又∵∴∴．【反思】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．14．如圖，已知點(diǎn)B、E、C、F在同一直線上，，，．求證：(1)；(2)．【分析】（1）由，依據(jù)“兩只相平行，同位角相等”得到，結(jié)合已知根據(jù)“”可判定全等；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，依據(jù)“同位角相等，兩只相平行”可進(jìn)行求證．【詳解】（1）∵，，在和中，，（2），【反思】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在△ABC和△DEF中，，，，在同一直線上，且，．(1)請你添加一個(gè)條件：_________，使；（只添一個(gè)即可）(2)根據(jù)（1）中你所添加的條件，試說明的理由．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理即可求解．（2）結(jié)合（1）的條件，利用ASA即可求證．(1)解：添加使，故答案為：．(2)∵，∴，即，在和中，，∴．【反思】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在△ABC中，，平分，于E，連接，交于點(diǎn)F．(1)求證：是線段的垂直平分線；(2)若，，求的長．【分析】（1）只需要利用證明得到，，即可證明是線段的垂直平分線；（2）先由角平分線的定義得到，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出，再求出，即可得到．【詳解】（1）證明：∵，，∴又∵平分，∴，在和中，∴，∴，，∴點(diǎn)A、點(diǎn)D在線段的垂直平分線上∴是線段的垂直平分線．（2）∵平分，，∴，∵于E，∴在中，，，∴，∵是線段的垂直平分線，∴∴在中，，∴．【反思】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在△ABC中，的平分線相交于點(diǎn)O．(1)求證：點(diǎn)O在的平分線上；(2)連接OA，若，則點(diǎn)O到三角形三條邊的距離是______．【分析】（1）過點(diǎn)O作，，垂足分別為D、E、F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，即可證明點(diǎn)O在的平分線上；（2）如圖所示，連接，根據(jù)三線合一定理得到，由此推出三點(diǎn)共線，設(shè)，則，由勾股定理建立方程，解得，則，故點(diǎn)O到三角形三條邊的距離是．【詳解】（1）證明：過點(diǎn)O作，，垂足分別為D、E、F．∵的平分線相交于點(diǎn)O，∴，∴，∴點(diǎn)O在的平分線上；（2）解：如圖所示，連接，∵，平分，∴，∵，∴三點(diǎn)共線，設(shè)，則，在中，，即，在中，，即，∴，解得，∴，∴點(diǎn)O到三角形三條邊的距離是，故答案為：．【反思】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)與判定，三線合一定理，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．18．如圖，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，若．(1)求證：平分；(2)請猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【分析】（1）根據(jù)證明，得到，再根據(jù)角平分線的判定定理，求證即可；（2）通過證明，得到，利用線段之間的關(guān)系，求解即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，在Rt△DBE和，∴，∴，∵，，∴平分．（2）解：，證明如下：在Rt△ADE和，∴，∴，∴．【反思】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及角平分線的判定定理，解題的關(guān)鍵是靈活利用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解．——學(xué)習(xí)幾何要做到三個(gè)統(tǒng)一：文字語言、圖形語言、符號語言能統(tǒng)一起來！有不少同學(xué)在學(xué)習(xí)幾何知識時(shí)感覺很吃力，其主要原因是沒有做好三個(gè)統(tǒng)一，就是每學(xué)習(xí)一個(gè)新的幾何概念或者定理時(shí)，一定要做到三個(gè)統(tǒng)一，即要把文字語言、圖形語言、符號語言能統(tǒng)一起來。具體做法非常簡單，先讀文字語言敘述，讀到很熟練，再去畫出相應(yīng)的圖形，最后根據(jù)圖形去寫出對應(yīng)的符號語言，這樣就能很好地理解這個(gè)內(nèi)容了。秘籍十三：學(xué)習(xí)幾何要做到三個(gè)統(tǒng)一：文字語言、圖形語言、符號語言能統(tǒng)一起來！一、選擇題1．如圖，圖中的兩個(gè)三角形全等，則等于（

）A． B． C． D．2．如圖，已知，若，，則的長為（）A．2 B．3 C．4 D．53．如圖，已知，若，則的度數(shù)為（

）A．80° B．90° C．100° D．110°4．如圖，，且與相交于點(diǎn)A，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．5．如圖，是的平分線，于點(diǎn)，，，，則的長是（）A．5 B．6 C．7 D．86．小強(qiáng)在證明“角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”給出如下過程：已知：如圖，點(diǎn)P在上，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，且．求證：是的平分線．證明：通過測量可得，．∴．∴是的平分線．關(guān)于這個(gè)證明，下面說法正確的是（

）A．小強(qiáng)用到了從特殊到一般的方法證明該定理B．只要測量一百個(gè)到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)都在角的平分線上，就能證明該定理C．不能只用這個(gè)角，還需要用其它角度進(jìn)行測量驗(yàn)證，該定理的證明才完整D．小強(qiáng)的方法可以用作猜想，但不屬于嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明7．如圖，是的平分線，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，點(diǎn)P為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若的面積為12，，則線段的長不可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5.58．如圖，在中，邊上的垂直平分線分別交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，若的長為，的長為，則的長為（

）A． B． C． D．9．如圖，在中，，，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，則的大小為（

）A． B． C． D．10．如圖，，，的垂直平分線交于點(diǎn)D，那么的度數(shù)為（

）A． B． C． D．11．如圖是的正方形網(wǎng)格，的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，像這樣的三角形叫格點(diǎn)三角形．畫與有一條公共邊且全等的格點(diǎn)三角形，這樣的格點(diǎn)三角形最多可以畫的個(gè)數(shù)是（

）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)12．如圖，在等腰直角三角形中，，，D是BC邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)B作于E，過點(diǎn)C作交延長線于點(diǎn)F．若，，則的長為（

）A．2 B． C．3 D．513．如圖，在正方形中，點(diǎn)在對角線上，分別為垂足，連結(jié)，若，則（）A． B． C． D．14．如圖，用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，能得出的依據(jù)是（

）A． B． C． D．15．如有下列四個(gè)條件①

②

③

④任取三個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，最多可以構(gòu)成正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．416．如圖，將兩根鋼條、的中點(diǎn)連在一起，使、能繞著點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，就做成了一個(gè)測量工具，由三角形全等可知的長等于槽寬，那么判定的理由是（

）A． B． C． D．17．如圖，已知點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，那么下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．18．如圖，在中，以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑畫弧，交于點(diǎn)P．交于點(diǎn)Q，分別以點(diǎn)P，Q為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)部相交于點(diǎn)R，連接并延長交于點(diǎn)D，根據(jù)題干描述，添加一個(gè)條件，不能使的是（

）A． B． C． D．19．如圖，，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，則的長是（

）A．2 B．5 C．7 D．920．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．二、解答題21．如圖，在中，于D，E為線段上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F，已知，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．22．如圖，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，若．(1)求證：平分；(2)請猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．23．如圖，在中，，，D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在上，且．求證：．24．如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，，．求證：．25．已知：如圖，，，，垂足分別為，，，，，．求的長．一、選擇題1．下列說法中，正確的有（

）①形狀相同的兩個(gè)圖形是全等形②面積相等的兩個(gè)圖形是全等形③全等三角形的周長相等，面積相等④若，則，A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．如圖，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．已知：紙片，將紙片分別按以下兩種方法翻折：①如圖1．沿著的平分線翻折，得到，設(shè)的周長為m．②如圖2，沿著的垂直平分線翻折，得到，設(shè)的周長為n．線段的長度用含m，n的代數(shù)式可表示為（）A． B． C．m D．4．如圖，若中，其中，則下列結(jié)論中，不正確的是（

）A． B．C． D．5．如圖，的三邊AC、BC、AB的長分別是8、12、16，點(diǎn)O是三條角平分線的交點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．6．如圖，在中，為的平分線，于E，于F，的面積是，，，則的長（

）A． B．C． D．7．如圖，中，，點(diǎn)為各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，若，那么的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．48．如圖，直線，，表示三條公路．現(xiàn)要建造一個(gè)中轉(zhuǎn)站P，使P到三條公路的距離都相等，則中轉(zhuǎn)站P可選擇的點(diǎn)有（

）A．一處 B．二處 C．三處 D．四處9．到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是的（

）A．三條角平分線的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn)C．三條高的交點(diǎn) D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)10．如圖，在中，邊上的垂直平分線分別交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，若的長為，的長為，則的長為（

）A． B． C． D．11．如圖，中，由，，要求用圓規(guī)和直尺作圖，分成兩個(gè)三角形，其中至少有一個(gè)三角形是等腰三角形．其作法錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．12．如圖，我們都知道長方形的對邊相等并且每個(gè)角都是直角，小微做折紙游戲，她將長方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊上，壓平后得到折痕，下列結(jié)論正確的有（

）個(gè)．①連接，則線段被所在直線垂直平分；②E點(diǎn)一定是中點(diǎn)；③；④；⑤．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)13．如圖，在中，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)D，E，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)F，G，且的周長是20，則線段的長為（

）A．40 B．20 C．15 D．1014．如圖，在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若的周長分別是15，9，則（

）A．2 B．3 C．5 D．615．如圖，在菱形中，與相交于點(diǎn)，的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．16．如圖，在中，，分別以點(diǎn)，為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，，作直線分別交，于點(diǎn)，，連結(jié)，若已知，則的長是（

）．A． B． C． D．17．已知，用尺規(guī)作圖的方法在上確定一點(diǎn)P，使，則符合要求的作圖痕跡是（

）A． B． C． D．18．如圖，在直角中，，的垂直平分線交于D，交于E，且平分，則等于（

）A． B． C． D．19．如圖，在中，，分別以、為圓心，大于長的一半為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)、，連接，與、分別相交于點(diǎn)、，連接，當(dāng)，時(shí)，周長為（

）A．7 B．8 C．9 D．1020．?dāng)?shù)學(xué)課上有這樣一道作圖問題：如圖1，P，Q是直線l同側(cè)的兩點(diǎn)，請你在直線l上確定一點(diǎn)R，使的周長最?。∶鞯淖鞣ㄈ鐖D2：（1）作點(diǎn)Q關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)；（2）連結(jié)交直線l于點(diǎn)R；（3）連結(jié)，那么點(diǎn)R就是使的周長最小的點(diǎn)．小明的作法運(yùn)用了我們學(xué)過的定理，在下列四個(gè)定理中，小明沒有運(yùn)用到的是（

）A．如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是對稱點(diǎn)連線的垂直平分線B．等腰三角形底邊上的高也是頂角的角平分線C．線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等D．兩點(diǎn)之間，線段最短二、填空題21．如圖，，若，，，則的度數(shù)為______°．22．我國古代數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個(gè)正方形和兩對全等的三角形，．如圖所示，已知，正方形的邊長是2，，則的長為__________．23．如圖，已知的周長是，分別平分和，于D，且，的面積是______．24．如圖，，點(diǎn)是的平分線上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，于點(diǎn)，若，則______________．25．如圖，中，，以點(diǎn)B為圓心，的長為半徑畫弧交于點(diǎn)C，E，再分別以點(diǎn)C與點(diǎn)E為圓心，大于長的一半為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F，連接交AC于點(diǎn)D，若，則是___________°．三、解答題26．如圖，在和中，，，，延長，交于點(diǎn)M．(1)求證：點(diǎn)A在的平分線上；(2)若，，，求的長．27．如圖，點(diǎn)在線段上，，，，平分．(1)證明：；(2)若，，求的面積．28．已知：如圖，，為對角線上的兩點(diǎn)，且．求證：四邊形是平行四邊形．29．如圖，為等邊三角形，，，相交于點(diǎn)，于，，．(1)求證：；(2)求的長．30．如圖，在中，平分，的垂直平分線分別交，，于點(diǎn)，，，連接，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，，求的長．中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)資料五合一《核心考點(diǎn)+重點(diǎn)題型+高分秘籍+題組特訓(xùn)+過關(guān)檢測》(全國通用版)第17講 全等模型、垂直平分線、角平分線題組特訓(xùn)詳解選擇題1．如圖，圖中的兩個(gè)三角形全等，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由全等三角形的對應(yīng)角相等，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可得到答案．【詳解】解：由全等三角形的性質(zhì)可知，兩幅圖中邊長為a、b的夾角對應(yīng)相等，∴，故選D．【反思】本題考查了全等三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的對應(yīng)角相等．2．如圖，已知，若，，則的長為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求得即可．【詳解】解：∵，，，∴，，∴，故選：B．【反思】本題考查全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．3．如圖，已知，若，則的度數(shù)為（

）A．80° B．90° C．100° D．110°【答案】C【分析】在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，再根據(jù)“全等三角形對應(yīng)角相等”可得的度數(shù).【詳解】中（全等三角形對應(yīng)角相等）故選:C【反思】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理和全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.4．如圖，，且與相交于點(diǎn)A，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角（邊）相等的性質(zhì)及等角對等邊進(jìn)行推理論證．【詳解】解：∵，∴，，，，∴．可知不一定成立，故選：D．【反思】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)是證明線段和角相等的理論依據(jù)，應(yīng)用時(shí)要會找對應(yīng)角和對應(yīng)邊，還考查了等角對等邊．5．如圖，是的平分線，于點(diǎn)，，，，則的長是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】過作于點(diǎn)，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．【詳解】解：過作于點(diǎn)，如圖，平分，，，，，，即，解得．故選：C．【反思】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．6．小強(qiáng)在證明“角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”給出如下過程：已知：如圖，點(diǎn)P在上，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，且．求證：是的平分線．證明：通過測量可得，．∴．∴是的平分線．關(guān)于這個(gè)證明，下面說法正確的是（

）A．小強(qiáng)用到了從特殊到一般的方法證明該定理B．只要測量一百個(gè)到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)都在角的平分線上，就能證明該定理C．不能只用這個(gè)角，還需要用其它角度進(jìn)行測量驗(yàn)證，該定理的證明才完整D．小強(qiáng)的方法可以用作猜想，但不屬于嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明【答案】D【分析】根據(jù)“角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”的推理過程即可求解【詳解】小強(qiáng)通過測量得，，得出，這種測量的方法證明結(jié)論，具有偶然性，缺少推理的依據(jù)，不嚴(yán)謹(jǐn)，所以小強(qiáng)的方法可以用作猜想，但不屬于嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明．故選：D【反思】本題考查角平分線的判定，解題的關(guān)鍵是能夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明結(jié)論．7．如圖，是的平分線，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，點(diǎn)P為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若的面積為12，，則線段的長不可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5.5【答案】A【分析】過點(diǎn)D作于E，于F，根據(jù)三角形的面積得出的長，進(jìn)而利用角平分線的性質(zhì)可得，即可．【詳解】解：過點(diǎn)D作于E，于F，∵的面積為12，，∴，∵是的平分線，∴，∴，故選A．【反思】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)與三角形的面積計(jì)算公式．作出輔助線是正確解答本題的關(guān)鍵．8．如圖，在中，邊上的垂直平分線分別交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，若的長為，的長為，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)即可得解．【詳解】解：∵是垂直平分線，∴，∴，故B正確．故選擇：B．【反思】本題主要考查垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)（垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）是解決本題的關(guān)鍵．9．如圖，在中，，，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)，利用線段垂直平分線的性質(zhì)易得，．【詳解】解：∵，∴，∵是的垂直平分線，∴，∴，故選D．【反思】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等和等邊對等角是解答此題的關(guān)鍵．10．如圖，，，的垂直平分線交于點(diǎn)D，那么的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)等腰三角形內(nèi)角和定理得出的度數(shù)，再由中垂線的知識得出為等腰直角三角形，可得出的度數(shù)，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與其不相鄰的兩內(nèi)角和，即可得出的度數(shù)．【詳解】解：根據(jù)題意，在中，，，∴，又的垂直平分線交于點(diǎn)D，∴∴，在中，，∴．故選：D．【反思】本題主要考查的是等腰三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)．關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)．11．如圖是的正方形網(wǎng)格，的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，像這樣的三角形叫格點(diǎn)三角形．畫與有一條公共邊且全等的格點(diǎn)三角形，這樣的格點(diǎn)三角形最多可以畫的個(gè)數(shù)是（

）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【答案】C【分析】可以以和為公共邊分別畫出個(gè)，不可以，故可求結(jié)果．【詳解】解：如圖：以為公共邊可畫出、、三個(gè)三角形和原三角形全等，以為公共邊可畫出、、三個(gè)三角形和原三角形全等，可畫出6個(gè)，故答案選：C．【反思】本題考查全等三角形的判定，三條對應(yīng)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，以及格點(diǎn)的概念，熟練掌握全等三角形的判定定理是解決問題的關(guān)鍵．12．如圖，在等腰直角三角形中，，，D是BC邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)B作于E，過點(diǎn)C作交延長線于點(diǎn)F．若，，則的長為（

）A．2 B． C．3 D．5【答案】A【分析】證明，得到，即可得解．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，∴，∴，在和中：，∴，∴，∴，∴．故選：A【反思】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)．利用同角的余角相等和等腰三角形的兩腰相等證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在正方形中，點(diǎn)在對角線上，分別為垂足，連結(jié)，若，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)即可得到四邊形是矩形，四邊形是正方形，再利用矩形和正方形的性質(zhì)得到和，進(jìn)而得到，從而得到的長度．【詳解】解：延長于交于點(diǎn)，∵在正方形中，∴，，，∴，∴，∵為垂足，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∴，，四邊形是正方形，∴，∴，∴在和中，，∴，∴，∵，∴．故選．【反思】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．如圖，用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，能得出的依據(jù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)作圖方法可用證明，即可證明．【詳解】解：由作圖方法可知，∴，∴，故選C．【反思】本題主要考查了尺規(guī)作圖——作與已知角相等的角，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．15．如有下列四個(gè)條件①

②

③

④任取三個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，最多可以構(gòu)成正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】當(dāng)①②③為條件，④為結(jié)論時(shí)，可利用證明推出④；當(dāng)①②④為條件，③為結(jié)論時(shí)，可利用證明推出③．當(dāng)①③④為條件，②為結(jié)論時(shí)，不能證明，不能推出②；當(dāng)②③④為條件，①為結(jié)論時(shí)，不能證明，不能推出①．【詳解】解：當(dāng)①②③為條件，④為結(jié)論時(shí)：在和中，，∴，∴；當(dāng)①②④為條件，③為結(jié)論時(shí)：在和中，，∴，∴；當(dāng)①③④為條件，②為結(jié)論時(shí)，不能證明，不能推出②；當(dāng)②③④為條件，①為結(jié)論時(shí)，不能證明，不能推出①；綜上可得：最多可以構(gòu)成正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為2個(gè)．故選：B．【反思】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵，全等三角形的判定定理有等等．16．如圖，將兩根鋼條、的中點(diǎn)連在一起，使、能繞著點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，就做成了一個(gè)測量工具，由三角形全等可知的長等于槽寬，那么判定的理由是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由是、的中點(diǎn)，可得，，再有，可以根據(jù)全等三角形的判定方法，判定．【詳解】解：是、的中點(diǎn)，，，在和中，，，故選：B．【反思】此題主要全等三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法：、、、，，要證明兩個(gè)三角形全等，必須有對應(yīng)邊相等這一條件．17．如圖，已知點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，那么下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值判斷A選項(xiàng)，根據(jù)題意，證明，即可判斷B，C，D選項(xiàng)【詳解】解：∵，，∴，∴，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵，，∴∴∴，，故D選項(xiàng)正確∴，故B選項(xiàng)正確；∴，故C選項(xiàng)正確；故選：A．【反思】本題考查了根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角度，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．18．如圖，在中，以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑畫弧，交于點(diǎn)P．交于點(diǎn)Q，分別以點(diǎn)P，Q為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)部相交于點(diǎn)R，連接并延長交于點(diǎn)D，根據(jù)題干描述，添加一個(gè)條件，不能使的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本作圖得到平分，為公共邊，然后根據(jù)全等三角形的判斷方法對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】由作法得平分，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，則，根據(jù)“”可判斷；當(dāng)，根據(jù)“”可判斷；當(dāng)，根據(jù)“”可判斷．當(dāng)，根據(jù)“”不能判斷．故選：D．【反思】本題考查了作圖-基本作圖，看出圖中的作圖時(shí)是作角平分線是解題的關(guān)鍵．也考查了全等三角形的判定．19．如圖，，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，則的長是（

）A．2 B．5 C．7 D．9【答案】B【分析】根據(jù)垂直的定義得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：于點(diǎn)，于點(diǎn)，，在與中，，，，，，故選：B．【反思】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件判定三角形的全等．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)作軸，通過證明，求得的長度，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)作軸，如下圖：由題意可得：，，，∴，∴，又∵，∴，∴，，∴，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為故選：D【反思】此題考查了坐標(biāo)與圖形，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．二、解答題21．如圖，在中，于D，E為線段上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F，已知，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）證明，即可求證；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再由三角形內(nèi)角和定理可得，然后根據(jù)，可得垂直平分，從而得到是等腰三角形，進(jìn)而得到，再由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，在和中，∵，，，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴垂直平分，∴，∴是等腰三角形，∴，∵，，∴，∴．【反思】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．如圖，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，若．(1)求證：平分；(2)請猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【答案】(1)見解析(2)，證明見解析【分析】（1）根據(jù)證明，得到，再根據(jù)角平分線的判定定理，求證即可；（2）通過證明，得到，利用線段之間的關(guān)系，求解即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴平分．（2）解：，證明如下：在和中，，∴，∴，∴．【反思】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及角平分線的判定定理，解題的關(guān)鍵是靈活利用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解．23．如圖，在中，，，D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在上，且．求證：．【答案】見解析【分析】連接，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出，再根據(jù)等邊對等角易得出，然后利用證明，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．【詳解】解：連接∵，D是的中點(diǎn)，∴．∴．∵，∴，在和中，∴，∴．【反思】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．24．如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，，．求證：．【答案】證明見解析【分析】由三角形外角的性質(zhì)及可得到，再結(jié)合圖形并利用恒等變換可得到，最后利用即可得證．【詳解】證明：∵，即，∵，∴，∵，∴

，∴，在和中，，∴．【反思】本題考查三角形全等的判定，三角形外角的性質(zhì)．掌握三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．25．已知：如圖，，，，垂足分別為，，，，，．求的長．【答案】3【分析】先證明，進(jìn)而利用證明，從而得到，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴．【反思】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直定義，根據(jù)條件證是解此題的關(guān)鍵．過關(guān)檢測詳細(xì)解析一．選擇題1．下列說法中，正確的有（

）①形狀相同的兩個(gè)圖形是全等形②面積相等的兩個(gè)圖形是全等形③全等三角形的周長相等，面積相等④若，則，A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)全等的定義和性質(zhì)判斷即可．【詳解】①形狀大小都相同的兩個(gè)圖形是全等形，故①錯(cuò)誤；②面積相等的兩個(gè)圖形不一定是全等形，故②錯(cuò)誤；③全等三角形的周長相等，面積相等，是對的，故③正確；④若，則，，故④錯(cuò)誤；故正確的有1個(gè)．故選：A【反思】此題考查全等三角形的定義和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握全等三角形的定義．2．如圖，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在中由三角形內(nèi)角和可求出，由全等三角形對應(yīng)角相等可得結(jié)果．【詳解】解∶在中，，∵∴又∵，∴故選A．【反思】本題考查三角形內(nèi)角和與全等三角形的性質(zhì)，熟記相應(yīng)的概念是解題的關(guān)鍵．3．已知：紙片，將紙片分別按以下兩種方法翻折：①如圖1．沿著的平分線翻折，得到，設(shè)的周長為m．②如圖2，沿著的垂直平分線翻折，得到，設(shè)的周長為n．線段的長度用含m，n的代數(shù)式可表示為（）A． B． C．m D．【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，從而得到，再由的周長為m，可得，再由折疊的性質(zhì)可得，從而得到，再由的周長為n，可得，從而得到，即可求解．【詳解】解：∵沿著的平分線翻折，得到，∴，∴，∵的周長為m，∴，即，∵沿著的垂直平分線翻折，得到，∴，∴，∵的周長為n，∴，即，∴，∴，∵∴．故選：A【反思】本題主要考查了圖形的折疊問題，全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握圖形的折疊性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，若中，其中，則下列結(jié)論中，不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：∵，∴，，，故B、C、D正確，不能得出，故A不正確，故選：A．【反思】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，的三邊AC、BC、AB的長分別是8、12、16，點(diǎn)O是三條角平分線的交點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)O作于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可知．再由三角形的面積公式計(jì)算，作比即可．【詳解】如圖，過點(diǎn)O作于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，∵點(diǎn)是三條角平分線的交點(diǎn)，∴．∵，，，∴．故選A．【反思】本題主要考查角平分線的性質(zhì)定理．正確作出輔助線，由角平分線的性質(zhì)定理得出是解題關(guān)鍵．6．如圖，在中，為的平分線，于E，于F，的面積是，，，則的長（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵為的平分線，，，∴，∴，即，解得,故選：A．【反思】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．7．如圖，中，，點(diǎn)為各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，若，那么的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】連接，過點(diǎn)I作于M，于N，利用角平分線的性質(zhì)，以及等積法求線段的長度，即可得解．【詳解】解：連接，過點(diǎn)I作于M，于N，∵點(diǎn)I為各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，，∴，∵，，∴，∵，∴，即：，∴，故A正確．故選：A．【反思】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，等積法求線段長度．熟練掌握角平分線的性質(zhì)，利用等積法求線段的長度是解題的關(guān)鍵．8．如圖，直線，，表示三條公路．現(xiàn)要建造一個(gè)中轉(zhuǎn)站P，使P到三條公路的距離都相等，則中轉(zhuǎn)站P可選擇的點(diǎn)有（

）A．一處 B．二處 C．三處 D．四處【答案】D【分析】到三條相互交叉的公路距離相等的地點(diǎn)應(yīng)是三條角平分線的交點(diǎn)．把三條公路的中心部位看作三角形，那么這個(gè)三角形兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)以及三個(gè)外角兩兩平分線的交點(diǎn)都滿足要求．【詳解】解：滿足條件的有：（1）三角形兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，共一處；（2）三個(gè)外角兩兩平分線的交點(diǎn)，共三處．故選：D．【反思】此題考查了角平分線的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握角平分線的定理的應(yīng)用是關(guān)鍵．9．到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是的（

）A．三條角平分線的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn)C．三條高的交點(diǎn) D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，故選：D．【反思】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在中，邊上的垂直平分線分別交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，若的長為，的長為，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)即可得解．【詳解】解：∵是垂直平分線，∴，∴，故B正確．故選擇：B．【反思】本題主要考查垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)（垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）是解決本題的關(guān)鍵．11．如圖，中，由，，要求用圓規(guī)和直尺作圖，分成兩個(gè)三角形，其中至少有一個(gè)三角形是等腰三角形．其作法錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由作法知，可判斷A；由作法知所作圖形是線段的垂直平分線，可判斷B；由作法知，所作圖形是線段的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，可判斷C；由作法知是的平分線，根據(jù)角平分線的定義和等腰三角形的判定得到，可判斷D．【詳解】解：A、由作法知作圖是線段的垂直平分線，∴，即，∵中，由，，∴，∴，是等腰三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、由作法知所作圖是線段的垂直平分線，不能推出和是等腰三角形，故此選項(xiàng)符合題意；C、由作法知，所作圖形是線段的垂直平分線，，是等腰三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；D、∵，，∴，由作法知是的平分線，，，是等腰三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【反思】本題主要考查了尺規(guī)作圖，熟練掌握尺規(guī)作圖的五個(gè)基本圖形是解決問題的關(guān)鍵．12．如圖，我們都知道長方形的對邊相等并且每個(gè)角都是直角，小微做折紙游戲，她將長方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊上，壓平后得到折痕，下列結(jié)論正確的有（

）個(gè)．①連接，則線段被所在直線垂直平分；②E點(diǎn)一定是中點(diǎn)；③；④；⑤．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】如圖所示，連接，證明M、N都在線段的垂直平分線上，即可判斷①；根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，再根據(jù)長方形的性質(zhì)得到，由此即可判斷③④⑤；根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明②．【詳解】解：如圖所示，連接，由折疊的性質(zhì)可知，∴M、N都在線段的垂直平分線上，∴直線垂直平分線，故①正確；由折疊的性質(zhì)可知，由長方形的性質(zhì)可知，∴，故③，④正確；∴，故⑤正確；根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明E點(diǎn)是中點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；∴正確的一共有4個(gè)，故選C．【反思】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，三角形內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在中，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)D，E，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)F，G，且的周長是20，則線段的長為（

）A．40 B．20 C．15 D．10【答案】B【分析】由線段的垂直平分線的性質(zhì)得到，，結(jié)合三角形的周長公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵是的垂直平分線，是的垂直平分線，∴，，∵的周長是20∴∴，∴，故選：B．【反思】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，相等線段的轉(zhuǎn)化，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．14．如圖，在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若的周長分別是15，9，則（

）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】B【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，則，再根據(jù)三角形周長公式推出即可得到答案．【詳解】解：∵是的垂直平分線，∴，∴，∵的周長分別是15，9，∴，∴，∴，∴，∴，故選B．【反思】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在菱形中，與相交于點(diǎn)，的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由菱形的性質(zhì)可得，，，，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，可求，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，四邊形是菱形，，，，，，，垂直平分，，，，，故選：．【反思】本題考查了菱形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在中，，分別以點(diǎn)，為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，，作直線分別交，于點(diǎn)，，連結(jié)，若已知，則的長是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可知是線段的垂直平分線可知，點(diǎn)是中點(diǎn)，又根據(jù)直角三角形的中線性質(zhì)可得到的長．【詳解】解：根據(jù)題意可知：是線段的垂直平分線∴點(diǎn)是線段的中點(diǎn)∵，∴故選：【反思】本題考查了垂直平分線的作法，直角三角形中線的性質(zhì)，明確垂直平分線的作法是解題的關(guān)鍵．17．已知，用尺規(guī)作圖的方法在上確定一點(diǎn)P，使，則符合要求的作圖痕跡是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在上找一點(diǎn)P使得，必須使得，即作的垂直平分線．【詳解】根據(jù)題意可得要使得，即作的垂直平分線，結(jié)合選項(xiàng)可知D選項(xiàng)作的是的垂直平分線，故選：D．【反思】本題主要考查了對垂直平分線性質(zhì)的考查以及尺規(guī)作圖，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，準(zhǔn)確理解題意是解題的關(guān)鍵．18．如圖，在直角中，，的垂直平分線交于D，交于E，且平分，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，再根據(jù)等邊對等角得出，根據(jù)角平分線的定義，得出，即可得出，最后根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出，即可得出答案．【詳解】解：∵垂直平分，∴，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，故B正確．故選：B．【反思】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．19．如圖，在中，，分別以、為圓心，大于長的一半為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)、，連接，與、分別相交于點(diǎn)、，連接，當(dāng)，時(shí)，周長為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理可求出的長，周長為，且根據(jù)作圖可知，是的垂直平分線，可求出，由此即可求解．【詳解】解：∵在中，，，，∴，∵周長為，且根據(jù)作圖可知，是的垂直平分線，∴，∴周長為，故選：．【反思】本題主要考查直角三角形，垂直平行線的綜合，掌握直角三角形的勾股定理，垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．?dāng)?shù)學(xué)課上有這樣一道作圖問題：如圖1，P，Q是直線l同側(cè)的兩點(diǎn)，請你在直線l上確定一點(diǎn)R，使的周長最小．小明的作法如圖2：（1）作點(diǎn)Q關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)；（2）連結(jié)交直線l于點(diǎn)R；（3）連結(jié)，那么點(diǎn)R就是使的周長最小的點(diǎn)．小明的作法運(yùn)用了我們學(xué)過的定理，在下列四個(gè)定理中，小明沒有運(yùn)用到的是（

）A．如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是對稱點(diǎn)連線的垂直平分線B．等腰三角形底邊上的高也是頂角的角平分線C．線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等D．兩點(diǎn)之間，線段最短【答案】B【分析】利用軸對稱的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短解決問題即可．【詳解】解：由作圖可知，直線l垂直平分線段，∴，∴的周長，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得：此時(shí)的周長最小，故選項(xiàng)A，C，D不符合題意，故選：B．【反思】本題考查軸對稱最短問題，兩點(diǎn)之間線段最短，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．二、填空題21．如圖，，若，，，則的度數(shù)為______°．【答案】【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，然后根據(jù)全等的性質(zhì)求出的度數(shù)，最后由角的和差即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，又，∴．故答案為：．【反思】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，注意：全等三角形的對應(yīng)角相