2023-2024學年上海市長寧區(qū)高一上冊期末數(shù)學質(zhì)量檢測模擬試題合集2套（含解析）

2023-2024學年上海市長寧區(qū)高一上冊期末數(shù)學質(zhì)量檢測模擬試題一、填空題1．已知集合，，則__________．【正確答案】【分析】可求出集合，然后進行交集的運算即可．【詳解】解：，1，，，，．故．2．設a、b都為正數(shù)，且，則的最小值為________.【正確答案】1【分析】把變形為：利用已知，結合基本不等式進行求解即可.【詳解】因為a、b都為正數(shù)，所以有：，當且僅當時取等號，即時取等號，故3．函數(shù)，則______________.【正確答案】3在反函數(shù)的定義域中，它必在原函數(shù)的值域中，因為反函數(shù)與原函數(shù)的對應關系相反，故由解得值為所求.【詳解】由解得，所以.故4．已知且，若，，則_______________.【正確答案】6利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化，再利用同底數(shù)冪相乘即可.【詳解】，同理：∴故6對數(shù)運算技巧：(1)指數(shù)式與對數(shù)式互化；(2)靈活應用對數(shù)的運算性質(zhì)；(3)逆用法則、公式；(4)應用換底公式，化為同底結構．5．已知函數(shù)，是偶函數(shù)，則的值為______．【正確答案】【分析】根據(jù)奇偶定義可建立方程求解即可.【詳解】由題意得，所以，所以.故6．若冪函數(shù)（為整數(shù)）的定義域為，則的值為______．【正確答案】或【分析】依題意可得，解得的取值范圍，再由為整數(shù)，求出參數(shù)的值.【詳解】由題意得，解得，又為整數(shù)，所以或.故或7．用“二分法”求方程在區(qū)間內(nèi)的實根，首先取區(qū)間中點進行判斷，那么下一個取的點是______．【正確答案】1.5##【分析】先確定函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)二分法求解即可得解.【詳解】設函數(shù)，易得函數(shù)為嚴格增函數(shù)，因為，，所以下一個有根區(qū)間是，那么下一個取的點是．故8．已知函數(shù)的最小值為-2，則實數(shù)a=________.【正確答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與所給區(qū)間的相對位置進行分類討論求解即可.【詳解】，所以該二次函數(shù)的對稱軸為：，當時，即，函數(shù)在時單調(diào)遞減，因此，顯然符合；當時，即時，，顯然不符合；當時，即時，函數(shù)在時單調(diào)遞增，因此，不符合題意，綜上所述：，故9．設方程的實根，其中k為正整數(shù)，則所有實根的和為______．【正確答案】4【分析】畫出的圖象，由圖象的特征可求.【詳解】令，，所以函數(shù)圖象關于軸對稱，令，則的圖象關于直線對稱，因為方程的實根，可以看作函數(shù)的圖象與直線的交點橫坐標.由圖可知方程有4個實根，且關于直線對稱.所以.故4.10．設函數(shù)，，如果對任意的實數(shù)，任意的實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________．【正確答案】【分析】分別求出函數(shù)，在上的值域，把問題轉化為關于的不等式組，求出解集即可【詳解】解：因為在上為增函數(shù)，所以，所以在上的值域為，因為的對稱軸為直線，所以在上為增函數(shù)，所以，所以在上的值域為，因為對任意的實數(shù)，任意的實數(shù)，不等式恒成立，所以，解得，所以或，所以實數(shù)a的取值范圍為，故此題考查函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題和不等式恒成立問題，考查了數(shù)學轉化思想，解題的關鍵是求出函數(shù)，在上的值域，把問題轉化為，從而可求出實數(shù)a的取值范圍，屬于中檔題二、單選題11．已知x，y是實數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】由充要條件的定義求解即可【詳解】因為，若，則，若，則，即，所以，即“”是“”的充要條件，故選：C.12．如果，那么（

）A． B．C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)換底公式可得，再利用單調(diào)性可以判斷C正確.【詳解】因為，則，又因為在上單調(diào)遞減，那么，故選：C．13．在同一直角坐標系中，二次函數(shù)與冪函數(shù)圖像的關系可能為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)題意，結合二次函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)依次分析選項，即可得到答案.【詳解】對于A，二次函數(shù)開口向上，則，其對稱軸，則，即冪函數(shù)為減函數(shù)，符合題意；對于B，二次函數(shù)開口向下，則，其對稱軸，則，即冪函數(shù)為減函數(shù)，不符合題意；對于C，二次函數(shù)開口向上，則，其對稱軸，則，即冪函數(shù)為增函數(shù)，且其增加的越來越快，不符合題意；對于D，二次函數(shù)開口向下，則，其對稱軸，則，即冪函數(shù)為增函數(shù)，且其增加的越來越慢快，不符合題意；故選：A關鍵點點睛：本題考查函數(shù)圖像的分析，在同一個坐標系中同時考查二次函數(shù)和冪函數(shù)性質(zhì)即可得解，考查學生的分析試題能力，數(shù)形結合思想，屬于基礎題.14．若函數(shù)與在區(qū)間上都是嚴格減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】由一次函數(shù)及反比例函數(shù)的單調(diào)性，結合圖像變換即可得到實數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的圖像關于對稱，所以當，y隨x的增大而減小，當，y隨x的增大而增大.要使函數(shù)在區(qū)間上都是嚴格減函數(shù)，只需；要使在區(qū)間上都是嚴格減函數(shù)，只需；故a的范圍為.故選：D三、解答題15．求下列不等式的解集：(1)(2)【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)分式不等式及一元二次不等式的解法求解集.（2）應用公式法求絕對值不等式的解集.【詳解】（1），故解集為；（2），故解集為.16．已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明．【正確答案】(1)是奇函數(shù)，理由見解析(2)在上單調(diào)遞減，證明見解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性定義進行判斷證明；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義進行證明.【詳解】（1）是奇函數(shù)，理由如下：函數(shù)，則定義域關于原點對稱，因為，所以是奇函數(shù)；（2）任取，則

，因為，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減.17．將函數(shù)（且）的圖像向左平移1個單位，再向上平移2個單位，得到函數(shù)的圖像．(1)求函數(shù)的解析式(2)設函數(shù)，若對一切恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；(3)討論關于x的方程，在區(qū)間上解的個數(shù)．【正確答案】(1)(2)(3)答案見解析【分析】(1)由圖象的平移特點可得所求函數(shù)的解析式；(2)求得的解析式，可得對一切恒成立，再由二次函數(shù)的性質(zhì)可得所求范圍；(3)將方程等價轉化為且，根據(jù)題意只需討論在區(qū)間上的解的個數(shù)，利用圖象，數(shù)形結合即可求得答案.【詳解】（1）將函數(shù)且的圖象向左平移1個單位，得到的圖象，再向上平移2個單位，得函數(shù)的圖象；（2）函數(shù)，，若對一切恒成立，則對一切恒成立，由在嚴格單調(diào)遞增，得，所以，即的取值范圍是；（3）關于的方程且，所以只需討論在區(qū)間且x≠0上的解的個數(shù)．由二次函數(shù)且的圖象得，當時，原方程的解有0個；當時，原方程的解有1個；當時，原方程的解有2個．18．其公司研發(fā)新產(chǎn)品，預估獲得25萬元到2000萬元的投資收益，現(xiàn)在準備擬定一個獎勵方案：獎金y（萬元）隨投資收益x（萬元）的增加而增加，獎金不超過75萬元，同時獎金不超過投資收益的20%．(1)用數(shù)學語言列出公司對函數(shù)模型的基本要求；(2)判斷函數(shù)是否符合公司獎勵方案函數(shù)模型的要求，并說明理由；(3)已知函數(shù)符合公司獎勵方案函數(shù)模型要求，求實數(shù)a取值范圍．【正確答案】(1)答案見解析(2)不符合，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義以及最值的定義，結合題意中的不等關系，可得答案；（2）由（1）所得的三個條件，進行檢驗，可得答案；（3）利用冪函數(shù)的單調(diào)性，結合題意中的最值以及不等關系，可得不等式組，利用基本不等式，可得答案.【詳解】（1）滿足的基本要求是：①是定義域上的嚴格增函數(shù)，②的最大值不超過75，③在上恒成立；（2），不滿足要求③，故不符合；（3）因為，所以函數(shù)滿足條件①，由函數(shù)滿足條件②得，解得，由函數(shù)滿足條件③得，對恒成立，即對恒成立，因為，當且僅當，即時取等號，所以．綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．19．已知函數(shù)(1)設k、m均為實數(shù)，當時，的最大值為1，且滿足此條件的任意實數(shù)x及m的值，使得關于x的不等式恒成立，求k的取值范圍；(2)設t為實數(shù)，若關于x的方程恰有兩個不相等的實數(shù)根且，試將表示為關于t的函數(shù)，并寫出此函數(shù)的定義域．【正確答案】(1)(2)，【分析】(1)分離參數(shù)，得，再借助基本不等式求解即可；(2)先得出，再對，進行分類討論.【詳解】（1）當時，，故.要使得不等式恒成立，需使，即對于任意的都成立.因為，所以.由，得（當且僅當時取等號）所以；（2）由函數(shù)，得，①若，則方程變?yōu)椋?，則，為遞增函數(shù)，，則有；②若，則方程變?yōu)?，即，且，故，于是分別是方程、的兩個根，則，，即，由于函數(shù)與的圖像關于直線對稱，故，，故，且，故此函數(shù)的定義域為.方法點睛：對于非二次不等式恒成立求參問題，一般先分離參數(shù)，轉化為最值問題，進而可借助函數(shù)或基本不等式進行求解；方程解的個數(shù)可等價于兩個不同函數(shù)交點個數(shù)，分段函數(shù)則需要考慮每一段解析式是否成立.20．對于定義在D上的函數(shù)，設區(qū)間是D的一個子集，若存在，使得函數(shù)在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)，在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，則稱函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)P．（1）若函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)P，寫出實數(shù)a、b所滿足的條件；（2）設c是常數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)P，求實數(shù)c的取值范圍．【正確答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)定義判斷出為二次函數(shù)，然后根據(jù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間判斷出的開口以及對稱軸，由此得到滿足的條件；（2）先分析函數(shù)在區(qū)間上為嚴格增函數(shù)和嚴格減函數(shù)時的取值，據(jù)此分析出在區(qū)間上先遞減再遞增時的取值范圍，由此求解出的取值范圍.【詳解】（1）當函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)P時，由其圖象在R上是拋物線，故此拋物線的開口向上（即），且對稱軸是；于是，實數(shù)a，b所滿足的條件為：．（2）記．設，是區(qū)間上任意給定的兩個實數(shù)，總有．若，當時，總有且，故，因此在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，不符合題目要求．若，當時，總有且，故，因此在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)，不符合題目要求．若，當且時，總有且，故，因此在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)；當且時，總有且，故，因此在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)．因此，當時，函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)P．關鍵點點睛：本題屬于函數(shù)的新定義問題，求解本題第二問的關鍵在于對于性質(zhì)的理解，通過分析函數(shù)不具備性質(zhì)的情況：嚴格單調(diào)遞增、嚴格單調(diào)遞減，借此分析出可能具備性質(zhì)的情況，然后再進行驗證即可.2023-2024學年上海市長寧區(qū)高一上冊期末數(shù)學質(zhì)量檢測模擬試題一、填空題（本題滿分40分，每題4分，共10題）1.函數(shù)的定義域是_________．【正確答案】【詳解】試題分析：函數(shù)滿足，即函數(shù)定義域為考點：求函數(shù)定義域2.已知冪函數(shù)的圖象過點，則______.【正確答案】【分析】先根據(jù)待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式，然后可得的值．【詳解】由題意設，∵函數(shù)的圖象過點，∴，∴，∴，∴．故答案為．本題考查冪函數(shù)的定義及解析式，解題時注意用待定系數(shù)法求解函數(shù)的解析式，屬于基礎題．3.已知函數(shù)的兩個零點分別為，則___________.【正確答案】【分析】依題意方程有兩個不相等實數(shù)根、，利用韋達定理計算可得；【詳解】解：依題意令，即，所以方程有兩個不相等實數(shù)根、，所以，，所以；故4.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則實數(shù)______．【正確答案】0【分析】由奇函數(shù)定義入手得到關于變量的恒等式后，比較系數(shù)可得所求結果．【詳解】∵函數(shù)為奇函數(shù)，∴，即，整理得在R上恒成立，∴．故答案為．本題考查奇函數(shù)定義，解題時根據(jù)奇函數(shù)的定義得到恒等式是解題的關鍵．另外，取特殊值求解也是解決此類問題的良好方法，屬于基礎題．5.若二次函數(shù)在區(qū)間上為嚴格減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是________．【正確答案】分析】由題知，再解不等式組即可得答案.【詳解】解：因為二次函數(shù)在區(qū)間上為嚴格減函數(shù)，所以，即，解得,所以，實數(shù)的取值范圍是故6.古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫，題字題畫的部分多為扇環(huán)．已知某扇形的扇環(huán)如圖所示，其中外弧線的長為，內(nèi)弧線的長為，連接外弧與內(nèi)弧的兩端的線段均為，則該扇形的中心角的弧度數(shù)為____________．【正確答案】【分析】根據(jù)扇形弧長與扇形的中心角的弧度數(shù)為的關系，可求得，進而可得該扇形的中心角的弧度數(shù).詳解】解：如圖，依題意可得弧的長為，弧的長為，設扇形的中心角的弧度數(shù)為則，則，即．因為，所以，所以該扇形的中心角的弧度數(shù)．故答案為.7.已知函數(shù)，且，那么=_________.【正確答案】-12【分析】代入，整體代換求值即可.【詳解】由題意，，即，故,故-128.已知函數(shù)，關于的不等式在區(qū)間上總有解，則實數(shù)的取值范圍為________．【正確答案】【分析】由題知，進而根據(jù)對勾函數(shù)性質(zhì)求解最值，解不等式即可.【詳解】解：當時，，當且僅當時取得等號，因為當時，；當時，；所以，根據(jù)對勾函數(shù)性質(zhì)，當時，，所以，當時，，因為關于的不等式在區(qū)間上總有解，所以，，解得，所以，實數(shù)的取值范圍為故9.已知函數(shù)，函數(shù)，如果恰好有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是________．【正確答案】分析】求出函數(shù)的表達式，構造函數(shù)，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合進行求解即可.【詳解】，，由，得，設，若，則，，則，若，則，，則，若，則，，則，即，作出的圖象如圖，當時，，當時，，由圖象知要使有兩個零點，即有四個根，則滿足或，故函數(shù)零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．10.設，，若存在，使得成立，則正整數(shù)的最大值為________【正確答案】【分析】由題設且上有，所以，使得成立，只需即可，進而求得正整數(shù)的最大值.【詳解】由題意知：，使成立，而當且僅當時等號成立，∴，而，即，∴僅需成立即可，有，故正整數(shù)的最大值為.故答案為.關鍵點點睛：結合基本不等式有，即，應用對勾函數(shù)的性質(zhì)求值域，并將存在性問題轉化為函數(shù)閉區(qū)間內(nèi)有解，只要即可求最值.二、選擇題（本題滿分16分，每題4分，共4題）11.已知為實數(shù)，若，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】根據(jù)充分性和必要性的判斷方法來判斷即可．【詳解】當時，若，不能推出，不滿足充分性；當，則，有，滿足必要性；所以是的必要不充分條件．故選:B．12.已知實數(shù)，，則的最小值為（）A.100 B.300 C.800 D.400【正確答案】D【分析】應用“1”的代換，將目標式轉化為，再利用基本不等式求最小值即可，注意等號成立的條件.【詳解】由，∴，當且僅當時等號成立.∴的最小值為400.故選：D13.設函數(shù)的定義域為，對于下列命題：①若存在常數(shù)，使得對任意，有，則是函數(shù)的最小值；②若函數(shù)有最小值，則存在唯一的，使得對任意，有；③若函數(shù)有最小值，則至少存在一個，使得對任意，有；④若是函數(shù)的最小值，則存在，使得．則下列為真命題的選項是（）A.①②都正確 B.①③都錯誤 C.③正確④錯誤 D.②錯誤④正確【正確答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)最小值的定義依次判斷各選項即可得答案.【詳解】解：對于①，不一定是函數(shù)的函數(shù)值，所以可能的最小值大于，故錯誤；對于②，函數(shù)有最小值，則可能存在若干個，使得對任意，有，故錯誤；對于③，函數(shù)有最小值，則由最小值的定義，至少存在一個，使得對任意，有，故正確；對于④，若是函數(shù)的最小值，則存在，使得，故錯誤；.故真命題的選項是②錯誤④正確.故選：D14.設，分別是函數(shù)和的零點（其中），則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)零點定義,可得,分別是和的解.結合函數(shù)與方程的關系可知,分別是函數(shù)與函數(shù)和函數(shù)交點的橫坐標,所以可得,.而與互為反函數(shù),則由反函數(shù)定義可得.再根據(jù)基本不等式,即可求得的最小值,將化為,即可得解.【詳解】因為,分別是函數(shù)和的零點則,分別是和的解所以,分別是函數(shù)與函數(shù)和函數(shù)交點的橫坐標所以交點分別為因為所以,由于函數(shù)與函數(shù)和函數(shù)都關于對稱所以點與點關于對稱因為關于對稱的點坐標為所以即,且所以,由于,所以不能取等號因所以即故選:D本題考查了反函數(shù)的定義及性質(zhì)綜合應用,函數(shù)與方程的關系應用,基本不等式求最值,綜合性強,屬于難題.三、解答題（本題滿分44分，共4題）15.已知．（1）求的值；（2）求的值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由題知，再根據(jù)正切的和角公式求解即可；（2）根據(jù)誘導公式，結合齊次式求解即可.【小問1詳解】解：由知，所以，【小問2詳解】解：由知；所以.16.2020年初，新冠肺炎疫情襲擊全國，對人民生命安全和生產(chǎn)生活造成嚴重影響．在黨和政府強有力的抗疫領導下，我國控制住疫情后，一方面防止境外疫情輸入，另一方面逐步復工復產(chǎn)，減輕經(jīng)濟下降對企業(yè)和民眾帶來的損失．為降低疫情影響，某廠家擬在2020年舉行某產(chǎn)品的促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬件與年促銷費用m萬元滿足（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是2萬件．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)一萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（此處每件產(chǎn)品年平均成本按元來計算）（1）將2020年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；（2）該廠家2020年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？最大利潤是多少？【正確答案】（1）（2）該廠家2020年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大為29萬元【分析】（1）根據(jù)題意列方程即可.（2）根據(jù)基本不等式，可求出的最小值，從而可求出的最大值.【小問1詳解】由題意知，當時，（萬件），則，解得，∴．所以每件產(chǎn)品的銷售價格為（元），∴2020年利潤．【小問2詳解】∵當時，，∴，當且僅當即時等號成立．∴，即萬元時，（萬元）．故該廠家2020年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大為29萬元．17.已知函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）當時，設，