2023-2024學(xué)年安徽省皖北縣高一上冊期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題合集2套（含解析）

2023-2024學(xué)年安徽省皖北縣高一上冊期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)公式法解絕對值得即可解決.【詳解】由題知，，因為，即，所以，所以.故選：B2．命題“”的否定為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】全稱量詞命題的否定是特稱量詞命題，把任意改為存在，把結(jié)論否定.【詳解】“”的否定為“”.故選：A3．如圖，在矩形中，對角線交于點，則下列各式一定成立的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由矩形的幾何性質(zhì)，結(jié)合各線段對應(yīng)向量的關(guān)系判斷各項的正誤.【詳解】由圖知：，故A錯誤；不相等，即，故B錯誤；，故C錯誤；，故D正確.故選：D4．為響應(yīng)“健康中國2030”的全民健身號召，某校高一年級舉辦了學(xué)生籃球比賽，甲?乙兩位同學(xué)在6場比賽中的得分莖葉圖如圖所示，下列結(jié)論正確的是（

）A．甲得分的極差比乙得分的極差小B．甲得分的平均數(shù)比乙得分的平均數(shù)小C．甲得分的方差比乙得分的方差大D．甲得分的分位數(shù)比乙得分的分位數(shù)大【答案】C【分析】根據(jù)莖葉圖求出甲，乙兩位同學(xué)得分的極差，平均分，方差，百分位數(shù)即可解決.【詳解】由題知，甲同學(xué)6場比賽得分分別為14,16,23,27,32,38，極差為，平均數(shù)，方差，因為，所以得分的25%分位數(shù)為16，乙同學(xué)6場比賽得分分別為13,22,24,26,28,37，極差為，平均數(shù)，方差，因為，所以得分的25%分位數(shù)為22，所以ABD錯誤；故選：C5．已知，則的大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指對數(shù)的性質(zhì)判斷的大小關(guān)系.【詳解】由，所以.故選：B6．已知射擊運動員甲擊中靶心的概率為，射擊運動員乙擊中靶心的概率為，且甲?乙兩人是否擊中靶心互不影響.若甲?乙各射擊一次，則至少有一人擊中靶心的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)獨立事件的乘法公式和對立事件的概率公式可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)甲擊中靶心為事件，乙擊中靶心為事件，則，，因為與相互獨立，所以與也相互獨立，則甲、乙都不擊中靶心的概率為，所以甲、乙至少有一人擊中靶心的概率為.故選：A7．“”是“”成立的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷題設(shè)條件間的推出關(guān)系，結(jié)合充分、必要性定義確定答案.【詳解】當時，則有成立，充分性成立；當時，則有成立，必要性成立.故“”是“”成立的充分必要條件.故選：C8．已知函數(shù)，則下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用題意先得到，，然后利用奇函數(shù)的定義進行判斷即可【詳解】由可得，，對于A，令，定義域為，因為，所以不是奇函數(shù)，故A錯誤；對于B，令，定義域為，因為，所以是奇函數(shù)，故B正確；對于C，由于，定義域為，不關(guān)于原點對稱，故不是奇函數(shù)，故C錯誤；對于D，由于，定義域為，不關(guān)于原點對稱，故不是奇函數(shù)，故D錯誤；故選：B9．某校航模小組進行無人機飛行測試，從某時刻開始15分鐘內(nèi)的速度（單位：米/分鐘）與飛行時間（單位：分鐘）的關(guān)系如圖所示.若定義“速度差函數(shù)”（單位：米/分鐘）為無人機在這個時間段內(nèi)的最大速度與最小速度的差，則的圖像為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖像分析，即可得到答案【詳解】由題圖知,當時,無人機做勻加速運動,,“速度差函數(shù)”;當時,無人機做勻減速運動,速度從160開始下降,一直降到80,“速度差函數(shù)”;當時,無人機做勻減速運動,從80開始下降,,“速度差函數(shù)”;當時無人機做勻加速運動,“速度差函數(shù)”.所以函數(shù)在和兩個區(qū)間上都是常數(shù).故選：C10．已知集合都是的子集，中都至少含有兩個元素，且滿足：①對于任意，若，則；②對于任意，若，則.若中含有4個元素，則中含有元素的個數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】令且，，根據(jù)已知條件確定可能元素，進而寫出且時的可能元素，討論、，結(jié)合確定的關(guān)系，即可得集合A、B并求出并集中元素個數(shù).【詳解】令且，，如下表行列分別表示，集合可能元素如下：----------則，若，不妨令，下表行列分別表示，---------------------由，而，且，顯然中元素超過4個，不合題設(shè)；若，則，下表行列分別表示，---------------由，而，且，要使中元素不超過4個，只需，此時，顯然，即，則，即且，故，所以，即，而，故，共7個元素.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：令且，，結(jié)合已知寫出可能元素，由且時的可能元素且研究的關(guān)系.二、填空題11．某學(xué)校有教師志愿者80人，其中小學(xué)部有24人，初中部有32人，高中部有24人.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從全校教師志愿者中抽出20人參加周末社區(qū)服務(wù)活動，那么應(yīng)從初中部抽出的人數(shù)為__________.【答案】8【分析】利用分層抽樣直接求解.【詳解】從80人中抽取20人，抽樣比為，所以應(yīng)從初中部抽出的人數(shù)為.故答案為：8.12．已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則__________.【答案】【分析】由圖知，應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律求得，即可得結(jié)果.【詳解】由圖知：，則，又，則.故答案為：13．已知函數(shù)的定義域為，滿足，且在上是減函數(shù)，則符合條件的函數(shù)的解析式可以是__________.（寫出一個即可）【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得.【詳解】的定義域為，想到作分母，，說明函數(shù)為偶函數(shù)，所以的指數(shù)為偶數(shù)，所以想到冪函數(shù)，驗證在單調(diào)遞減成立.故答案為：（答案不唯一）三、雙空題14．已知函數(shù)，則__________；的最小值為__________.【答案】

4

-1【分析】根據(jù)單調(diào)性分別討論分段函數(shù)每段的最小值，再綜合判斷.【詳解】，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，故在上無最小值，且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故，故答案為：-115．某學(xué)校為了調(diào)查高一年級600名學(xué)生年平均閱讀名著的情況，通過抽樣，獲得了100名學(xué)生年平均閱讀名著的數(shù)量（單位：本），將數(shù)據(jù)按照分成5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，則圖中的值為__________；估計高一年級年平均閱讀名著的數(shù)量不少于10本的人數(shù)為__________.【答案】

##

【分析】由頻率和為1列方程求參數(shù)a，由圖知數(shù)量不少于10本的頻率為，進而求人數(shù).【詳解】由直方圖知：，所以，則高一年級年平均閱讀名著的數(shù)量不少于10本為人.故答案為：，16．已知定義在上的函數(shù)，則的零點是__________；若關(guān)于的方程有四個不等實根，則__________.【答案】

和

【分析】令結(jié)合即可求出零點，將轉(zhuǎn)化為與有四個不同交點，畫出函數(shù)圖象并令，易知、分別是、的兩個根，進而求.【詳解】令，則，即，可得或，又，故的零點是和；由有四個不等實根，即且與有四個不同交點，因為，當且僅當時等號成立，結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)，在上遞減，在上遞增，綜上，和上，上，則、上遞減，、上遞增，所以函數(shù)圖象如下，由圖知：，又，則，解得，若，則，故，，所以是的兩個根，是的兩個根，則，故.故答案為：和，四、解答題17．如圖，在中，.設(shè).(1)用表示；(2)若為內(nèi)部一點，且.求證：三點共線.【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）由圖中線段的位置及數(shù)量關(guān)系，用表示出，即可得結(jié)果；（2）用表示，得到，根據(jù)向量共線的結(jié)論即證結(jié)論.【詳解】（1）由題圖，，.（2）由，又，所以，故三點共線.18．已知集合.(1)求；(2)若集合，且，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求解一元二次不等式，再求補集；（2）由可分類討論與時畫圖分析即可.【詳解】（1）∵∴（2）∵∴①當時，，解得：，②當時，即：，∴或∴∴綜述：.19．為了踐行“節(jié)能減排，綠色低碳”的發(fā)展理念，某企業(yè)加大了對生活垃圾處理項目的研發(fā)力度.經(jīng)測算，企業(yè)每月平均處理生活垃圾的增量y（單位：噸）與每月投入的研發(fā)費用（單位：萬元）之間的函數(shù)關(guān)系式為.(1)若要求每月平均處理生活垃圾的增量不低于100噸，則每月投入的研發(fā)費用應(yīng)該在什么范圍？(2)當每月投入的研發(fā)費用為多少時，每月平均處理生活垃圾的增量達到最大值？最大值是多少？【答案】(1)每月投入的研發(fā)費用的范圍是萬元(2)每月投入的研發(fā)費用為20萬元時，每月平均處理生活垃圾的增量達到最大值，最大值是120噸.【分析】（1）根據(jù)題意得到，然后解不等式即可求解；（2）利用基本不等式即可求解【詳解】（1）根據(jù)題意，，因為所以不等式轉(zhuǎn)化為化簡可得，解得所以每月投入的研發(fā)費用的范圍是萬元（2）因為，所以，因為，當且僅當，即時，取等號，所以當且僅當時，取得最大值.所以每月投入的研發(fā)費用為20萬元時，每月平均處理生活垃圾的增量達到最大值，最大值是120噸.20．2022年11月29日23時08分，搭載神舟十五號載人飛船的長征二號F遙十五運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射成功，實現(xiàn)了兩個飛行乘組首次太空“會師”.下表記錄了我國已發(fā)射成功的所有神舟飛船的發(fā)射時間和飛行時長.名稱發(fā)射時間飛行時長神舟一號1999年11月20日21小時11分神舟二號2001年1月10日6天18小時22分神舟三號2002年3月25日6天18小時39分神舟四號2002年12月30日6天18小時36分神舟五號2003年10月15日21小時28分神舟六號2005年10月12日4天19小時32分神舟七號2008年9月25日2天20小時30分神舟八號2011年11月1日16天神舟九號2012年6月16日13天神舟十號2013年6月11日15天神舟十一號2016年10月17日32天神舟十二號2021年6月17日3個月神舟十三號2021年10月16日6個月神舟十四號2022年6月5日6個月神舟十五號2022年11月29日預(yù)計6個月為幫助同學(xué)們了解我國神舟飛船的發(fā)展情況，某學(xué)?！昂教焐鐖F”準備通過繪畫?海報?數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖表等形式宣傳“神舟系列飛船之旅”.(1)繪畫組成員從表中所有的神舟飛船中隨機選取1艘進行繪畫，求選中的神舟飛船的發(fā)射時間恰好是在10月份的概率；(2)海報組成員從飛行時長（包括預(yù)計飛行時長）大于30天的神舟飛船中隨機選取2艘制作海報，求選中的神舟飛船的飛行時長（包括預(yù)計飛行時長）均為6個月的概率；(3)數(shù)據(jù)統(tǒng)計組成員在2022年5月計算了已經(jīng)完成飛行任務(wù)的神舟飛船的飛行時長平均值，記為年12月30日又計算了已經(jīng)完成飛行任務(wù)的神舟飛船的飛行時長平均值，記為.試判斷和的大小.（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）設(shè)“神舟飛船的發(fā)射時間恰好是在10月份”為事件列舉出滿足事件的樣本點，即可算出概率；（2）列舉基本事件，根據(jù)古典概型公式求解即可（3）比較和新加入的數(shù)，即可得到結(jié)論【詳解】（1）記名稱為神舟第號飛船為，則“從表中所有的神舟飛船中隨機選取1艘”的樣本空間為，共15個樣本點.設(shè)“神舟飛船的發(fā)射時間恰好是在10月份”為事件則，共4個樣本點，所以（2）“從飛行時長（包括預(yù)計飛行時長）大于30天的神舟飛船中隨機選取2艘”的樣本空間為,共10個樣本點.設(shè)“選中的神舟飛船的飛行時長(包括預(yù)計飛行時長)均為6個月”為事件B，則，共3個樣本點，所以（3）易得2022年5月計算神舟一號到神舟十三號的平均數(shù)小于6個月，年12月30日又計算了一遍，新加入神舟十四號和神舟十五號的數(shù)據(jù)，一定會比要大，故會拉高平均數(shù)，所以21．設(shè)有限集合，對于集合，給出兩個性質(zhì)：①對于集合A中任意一個元素，當時，在集合A中存在元素，使得，則稱A為的封閉子集；②對于集合A中任意兩個元素，都有，則稱A為的開放子集.(1)若，集合，判斷集合為的封閉子集還是開放子集；（直接寫出結(jié)論）(2)若，且集合A為的封閉子集，求的最小值；(3)若，且為奇數(shù)，集合A為的開放子集，求的最大值.【答案】(1)A為的封閉子集，B為E的開放子集(2)9(3)【分析】對于（1），利用封閉子集，開放子集定義可得答案；對于（2），，設(shè).因集合A中任意一個元素，當時，在集合A中存在元素，使得，則，其中.據(jù)此可得，得，后排除8，再說明9符合題意即可；對于（3），因，且為奇數(shù)，當時，得；當，將里面的奇數(shù)組成集合A，說明集合A為E開放子集，且為最大值即可.【詳解】（1）對于A，因，且，則A為E的封閉子集；對于B，由題可得，注意到其中任意兩個元素相加之和都不在B中，任意元素也不是其他兩個元素之和，且，故B為E的開放子集；（2）由題：，設(shè).因集合A中任意一個元素，當時，在集合A中存在元素，使得，則，其中.得，，，.因，則.若，則，則在A中存在元素，使它們的和為.又，則當時，，得，則在A中存在元素，使它們的和為.又當時，，得，則在A中存在元素，使它們的和為.注意到奇數(shù)，且，故不存在元素，使，這與集合A為的封閉子集矛盾，故.當，取，易得其符合的封閉子集的定義，故的最小值為9；（3）因，且為奇數(shù)，當時，得；當，將里面的奇數(shù)組成集合A，則，因A中每個元素都是奇數(shù)，而任意兩個奇數(shù)之和為偶數(shù)，且，則A為E開放子集，此時集合A元素個數(shù)為.下面說明為最大值.時，顯然成立；當，若，則中至少有一個屬于的偶數(shù)，設(shè)為，則，得為屬于集合中的奇數(shù)，這與E開放子集的定義矛盾，故.綜上：的最大值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查集合新定義，難度較大.問主要考查對于定義的理解；（2）問從定義出發(fā)，得到，得，繼而結(jié)合定義分析出；（3）問，由任意兩個奇數(shù)之和為偶數(shù)可構(gòu)造出集合A.2023-2024學(xué)年安徽省皖北縣高一上冊期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值是（）A.1 B.0 C. D.【正確答案】A【分析】由復(fù)數(shù)的除法運算、復(fù)數(shù)分類可得答案.【詳解】依題意，由于是純虛數(shù)，所以，解得.故選：A.2.下列敘述正確的是（）A.用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺B.兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺C.有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺D.棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點【正確答案】D【分析】根據(jù)棱臺的定義以及性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】對于A，當截面不平行于底面時，棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺，A錯誤；對于B，C，如圖的幾何體滿足條件，但側(cè)棱延長線不能相交于一點，不是棱臺，B，C錯誤；對于D，由棱臺結(jié)構(gòu)特征知側(cè)棱延長后必交于一點，D正確.故選：D.3.已知向量，，若，則（）A. B. C.0 D.1【正確答案】C【分析】由向量共線的坐標表示求解即可.【詳解】由，得，得.所以，即.故選：C.4.如圖所示，是水平放置的的斜二測直觀圖，其中，則是（）A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.等腰直角三角形 D.以上選項都不對【正確答案】C【分析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，以及的邊長關(guān)系，即可得出邊長關(guān)系，進而得出答案.【詳解】根據(jù)斜二測畫法可知，在原圖形中，O為CA的中點，.因為，所以，則是以AC為斜邊的等腰直角三角形，如圖所示：故選：C.5.已知平面兩兩垂直，直線滿足：，則直線不可能滿足以下哪種關(guān)系A(chǔ).兩兩垂直 B.兩兩平行 C.兩兩相交 D.兩兩異面【正確答案】B【分析】通過假設(shè)，可得平行于的交線，由此可得與交線相交或異面，由此不可能存在，可得正確結(jié)果.【詳解】設(shè)，且與均不重合假設(shè)：，由可得：，又，可知，又，可得：因為兩兩互相垂直，可知與相交，即與相交或異面若與或重合，同理可得與相交或異面可知假設(shè)錯誤，由此可知三條直線不能兩兩平行本題正確選項：本題考查空間中的直線、平面之間的位置關(guān)系，關(guān)鍵在于能夠通過線面關(guān)系得到第三條直線與前兩條線之間的位置關(guān)系，從而得到正確結(jié)果.6.已知復(fù)數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.的虛部與實部相等C. D.存在復(fù)數(shù)，使【正確答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法，化簡可得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，即可得出答案.【詳解】對于A項，由，得，故A項錯誤；對于B項，的實部為，虛部為，故B項錯誤；對于C項，，故C項錯誤；對于D項，當時，，故D項正確.故選：D.7.位于某港口A的小艇要將一件重要物品送到一艘正在航行的海輪上.在小艇出發(fā)時，海輪位于港口A北偏東30°且與該港口相距30海里的B處，并正以20海里/時的速度沿正西方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與海輪相遇.若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇的航行速度（單位：海里/時）應(yīng)為（）A. B.20 C. D.【正確答案】D【分析】利用垂線段最短，結(jié)合三角函數(shù)值求出最小距離，即可求出答案.【詳解】如圖所示，，，，當時，即小艇往正北方向航行時航行的距離最小，最小值為海里，從而海輪航行的距離為海里，故航行時間為小時，所以小艇的航行速度海里/時.故選：D.8.在邊長為6的菱形中，，現(xiàn)將菱形沿對角線BD折起，當時，三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)求出相關(guān)線段的長，根據(jù)球的幾何性質(zhì)確定三棱錐外接球的球心位置，求得外接球半徑，即可求得答案.【詳解】由題意在邊長為6的菱形中，知，和為等邊三角形，如圖所示，取BD中點E，連接AE，CE，則，，同理可得，又，則，則，又平面,故平面，而平面，故,由于為等邊三角形，故三棱錐外接球球心O在平面內(nèi)的投影為的外心，即平面，故，過O作于H，則H為的外心，則,即共面，則，則四邊形為矩形，則在中，，，所以外接球半徑，則外接球表面積為，故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.復(fù)數(shù)的虛部為B.方程的復(fù)數(shù)根為C.若，則復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限D(zhuǎn).復(fù)平面內(nèi)，實軸上的點對應(yīng)的復(fù)數(shù)是實數(shù)【正確答案】BD【分析】化簡即可判斷A項；根據(jù)韋達定理，即可得出B項；化簡得出，求出共軛復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可判斷C項；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可得出D項.【詳解】對于A，，虛部為3，A錯誤；對于B，，，B正確；對于C，，則，復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在y軸負半軸上，C不正確；對于D，復(fù)平面內(nèi)，實軸上的點對應(yīng)的復(fù)數(shù)是實數(shù)，D正確.故選：BD.10.已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（）A.B.若為斜三角形，則C.若，則是銳角三角形D.若，則一定是等邊三角形【正確答案】ABD【分析】由正弦定理和比例性質(zhì)可以判斷A，D選項，根據(jù)誘導(dǎo)公式及兩角和公式判斷B選項，由平面向量數(shù)量積判斷三角形形狀判斷C選項，【詳解】對于A，由正弦定理和比例性質(zhì)得，故A正確；對于B，由題意，，則，所以，故B正確；對于C，因為，所以，所以，所以C為鈍角，是鈍角三角形，故C錯誤；對于D，因為，所以，所以，且A，B，，所以，所以為等邊三角形，故D正確．故選:ABD．11.如圖，正四棱柱中，，E，F(xiàn)分別為，的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.平面BEFB.直線與直線BF所成的角為C.平面BEF與平面ABCD的夾角為D.直線與平面ABCD所成的角為【正確答案】ABC【分析】對于A，若平面BEF，則，與矛盾；對于B，假設(shè)直線與直線BF所成的角為，可得平面，所以，顯然這是不可能的；對于C，可證得即為平面BEF與平面ABCD的夾角，求判斷即可；對于D：直線與平面ABCD所成的角即為直線與平面ABCD所成的角.【詳解】對于A，如圖，連接，由題意，又E，F(xiàn)分別為，的中點，可得，若平面BEF，則，進而．這顯然不成立，故與平面BEF不垂直，A錯誤；對于B，假設(shè)直線與直線BF所成的角為，即，由正四棱柱的性質(zhì)可知平面，而平面，所以，又與相交，、面，所以平面，而由正四棱柱的性質(zhì)可知平面，所以，顯然這是不可能的，所以假設(shè)不成立，因此B錯誤；對于C，分別延長，DA交于點P，連接PB，則直線PB即為平面與平面ABCD的交線．連接BD，，因為且，所以，所以，又平面，面，所以，又面，所以平面，又面，所以，所以即為平面BEF與平面ABCD的夾角，易知，故，C錯誤；對于D，可證，則直線與平面ABCD所成的角為，又根據(jù)題意易知，D正確．故選：ABC．12.已知正的邊長為，中心為O，P是的內(nèi)切圓上一點，則（）A. B.滿足的點只有1個C. D.滿足的點有2個【正確答案】ABD【分析】設(shè)M為AB的中點，的內(nèi)切圓半徑為r，外接圓半徑為R，先作圖推出，進而根據(jù)向量的數(shù)量積，即可得出A項；根據(jù)向量的運算法則可得，結(jié)合內(nèi)切圓的半徑以及已知條件，即可得出B項；根據(jù)向量加法運算的法則，結(jié)合圖象以及數(shù)量積的定義，即可判斷C項；根據(jù)向量加法運算的法則，結(jié)合圖象，即可得出D項.【詳解】對于A，法一：設(shè)M為AB的中點，連接OM，則C，O，M三點共線.設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，外接圓半徑為R，則.因為O為的中心，故，而，故.又，A正確；法二：記CO的中點為N，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，外接圓半徑為R，則.由正三角形性質(zhì)知N在內(nèi)切圓上且MN為內(nèi)切圓圓O的直徑，如圖2，連接PM，PN，從而有，A正確；對于B，，因為的邊長為，所以內(nèi)切圓半徑為1，當且僅當P為OC中點N時，，B正確；對于C，當與重合時，，此時，滿足；當與不重合時，，由圖象易知與的夾角，所以，所以，故C錯誤；對于D，，要使，則，分析可知此時P恰為線段OB與內(nèi)切圓的公共點，又當P與M重合時，也滿足題意，故這樣的點有2個，D正確.故選：ABD.關(guān)鍵點睛：結(jié)合圖象以及向量加法的運算法則，即可簡化運算.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知復(fù)數(shù)滿足，則______.【正確答案】1【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算、模長計算可得答案.【詳解】法一：由，得，所以，；法二：由，得，所以，.故1.14.若單位向量滿足，且，則實數(shù)k值為___________.【正確答案】6【分析】根據(jù)兩向量垂直，可得到=0，展開化簡即可求出值.【詳解】因為，所以，因為，所以，即，又是單位向量，所以，即.故15.已知正方體的棱長為3，則到平面的距離為______.【正確答案】【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)以及線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理，可得出平面.構(gòu)造輔助線得出與平面的交點，然后根據(jù)相似三角形，即可得出答案.【詳解】如圖，連接，，由正方體的性質(zhì)可知，平面，.因為平面，所以.因為平面，平面，，所以平面.因為平面，所以.同理可得.因為平面，平面，，所以平面.連接AC交BD于O，連接交于點，則到平面距離即等于的長.因為，且，所以四邊形為平行四邊形.又，所以，則，所以，即到平面的距離為.故答案為.16.在中，，是的角平分線，且交于點.若的面積為，則的最大值為______.【正確答案】【分析】根據(jù)已知可推得.根據(jù)，即可得出.根據(jù)基本不等式，即可得出答案.【詳解】設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.因為，所以.由已知可得，.又，，即，整理得，當且僅當時，等號成立.故AM的最大值為.故答案為.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知復(fù)數(shù)滿足.（1）求；（2）求.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）（2）根據(jù)條件求出復(fù)數(shù)，代入所求運算求解即可.【小問1詳解】因為，所以，所以，所以.【小問2詳解】.18.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角A；（2）若的面積為，求a的最小值.【正確答案】（1）（2）3【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角可得.然后根據(jù)兩角和的正弦公式化簡整理可得，根據(jù)的范圍，即可得出答案；（2）根據(jù)已知可求得.進而根據(jù)余弦定理，結(jié)合基本不等式，即可得出的范圍.【小問1詳解】由，得.又，所以，所以，整理得，因為，所以，故，又，所以.【小問2詳解】因為的面積，所以.由余弦定理可得，當且僅當時等號成立.即，.故的最小值為3.19.如圖所示，在中，，，，.（1）試用向量，來表示，；（2）若，求證：D，O，N三點共線.【正確答案】（1），（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合圖象以及向量的運算法則，即可表示出，；（2）根據(jù)已知可推得，然后根據(jù)向量的運算即可得出，進而得出證明.【小問1詳解】因為，所以，所以.因為，所以，所以.【小問2詳解】因為，所以，則，，所以，即證D，O，N三點共線.20.如圖，在直三棱柱中，，，D，E分別是棱，AC的中點．（1）判斷多面體是否為棱