信息光學(xué)簡明教程 課件 陳家碧 第1、2章 二維線性系統(tǒng)分析、角譜及標(biāo)量衍射的角譜理論

第一章二維線性系統(tǒng)分析光電&儀器類專業(yè)教材信息光學(xué)簡明教程01線性系統(tǒng)一、線性系統(tǒng)的定義

一、線性系統(tǒng)的定義如果任何輸入函數(shù)都可以分解為某種“基元”函數(shù)的線性組合，相應(yīng)的輸出函數(shù)便可通過這些基元函數(shù)的線性組合來求得。這就是線性系統(tǒng)的方便之處。基元函數(shù)通常是指不能再進(jìn)行分解的基本函數(shù)單元。在線性系統(tǒng)分析中，常用的基元函數(shù)有δ函數(shù)(即脈沖函數(shù)，參閱附錄A)、階躍函數(shù)、余弦函數(shù)和復(fù)指數(shù)函數(shù)等。對(duì)光學(xué)系統(tǒng)來說，主要用二維δ函數(shù)和復(fù)指數(shù)函數(shù)進(jìn)行分析。

二、脈沖響應(yīng)和疊加積分02二維傅里葉變換若函數(shù)f(x,y)在整個(gè)x-y平面上絕對(duì)可積且滿足狄里赫利條件，其傅里葉變換定義為可以定義傅里葉逆變換為這里不對(duì)傅里葉變換的存在條件做深入的討論，而只從應(yīng)用的觀點(diǎn)對(duì)它們做兩點(diǎn)說明：(1)從應(yīng)用角度來看，可以認(rèn)為傅里葉變換總是存在的。(2)對(duì)于這一類函數(shù)可以借助于函數(shù)序列極限的概念定義其廣義傅里葉變換。將函數(shù)看作某個(gè)可變換函數(shù)所組成的序列的極限，對(duì)序列中每一函數(shù)進(jìn)行變換，組成一個(gè)變換式的序列。該函數(shù)的廣義傅里葉變換定義為這個(gè)變換式序列的極限。這種廣義傅里葉變換不僅在理論上可以自恰，應(yīng)用時(shí)也能給出符合實(shí)際的結(jié)果。一、二維傅里葉變換定義及存在條件

二、極坐標(biāo)下的二維傅里葉變換和傅里葉-貝塞爾變換

二、極坐標(biāo)下的二維傅里葉變換和傅里葉-貝塞爾變換代換花括號(hào)中的積分，得到圓對(duì)稱函數(shù)的傅里葉變換為類似地，可寫出G(ρ)的傅里葉逆變換為上式表明，圓對(duì)稱函數(shù)的傅里葉變換仍為圓對(duì)稱函數(shù)，而且圓對(duì)稱函數(shù)的傅里葉正變換與逆變換形式相同。上式表示的傅里葉變換又稱作傅里葉-貝塞爾變換。三、虛、實(shí)、奇、偶函數(shù)傅里葉變換的

四、二維傅里葉變換定理

01線性定理：式中a和b是任意復(fù)常數(shù)，即兩個(gè)函數(shù)線性組合的變換等于兩個(gè)函數(shù)變換的線性組合。02相似性定理：即空域中坐標(biāo)(??,??)的擴(kuò)展，導(dǎo)致頻域中坐標(biāo)的壓縮以及頻譜的變化

03位移定理：即函數(shù)在空域中平移，帶來頻域中的線性相移。另一方面即函數(shù)在空域中相移，會(huì)導(dǎo)致頻譜的位移。04帕斯瓦爾定理：01卷積定理可以用來通過傅里葉變換方法求卷積或者通過卷積方法求傅里葉變換。06相關(guān)定理：自相關(guān)定理表明一個(gè)函數(shù)的自相關(guān)與其功率譜構(gòu)成傅里葉變換對(duì)。07傅里葉積分定理：08導(dǎo)數(shù)定理：05卷積定理：即對(duì)函數(shù)相繼進(jìn)行正變換和逆變換，重新得到原函數(shù)；而對(duì)函數(shù)相繼進(jìn)行兩次正變換或逆變換，得到原函數(shù)的“倒立像”。四、二維傅里葉變換定理0203σ

函數(shù)五、常用二維傅里葉變換舉例符號(hào)函數(shù)二維梳狀函數(shù)0103二維線性不變系統(tǒng)一個(gè)二維脈沖函數(shù)在輸入平面上位移時(shí)，線性系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)形式始終與在原點(diǎn)處輸入的二維脈沖函數(shù)的響應(yīng)函數(shù)形式相同，僅造成響應(yīng)函數(shù)相應(yīng)的位移。這樣的系統(tǒng)稱為二維線性不變系統(tǒng)。其脈沖響應(yīng)函數(shù)可表示為對(duì)于線性空間不變系統(tǒng)，若一、二維線性不變系統(tǒng)的定義因此對(duì)輸入面和輸出面的坐標(biāo)做歸一化(不管兩者是否表示同一種物理量),使得從數(shù)值上有x?=x?=x和y?=y?=y,脈沖響應(yīng)函數(shù)變?yōu)槿魏尉€性空間不變系統(tǒng)的特性都可以用在原點(diǎn)處的脈沖響應(yīng)函數(shù)表達(dá)。與疊加積分不同，卷積積分不僅形式上很簡潔而且易于運(yùn)算。在光學(xué)成像系統(tǒng)中，物平面上的一個(gè)點(diǎn)光源通過系統(tǒng)后在像平面上生成一個(gè)彌散的像點(diǎn)分布，而且在等暈區(qū)內(nèi)這個(gè)分布不隨點(diǎn)光源的位置發(fā)生變化。這時(shí)就可以把成像系統(tǒng)看作線性空間不變系統(tǒng)。對(duì)于光學(xué)成像系統(tǒng)的整個(gè)物面，一般不滿足空間不變的要求，但我們?nèi)匀豢梢园盐锩鎰澐譃槿舾蓚€(gè)等暈區(qū)，把每個(gè)等暈區(qū)當(dāng)作線性空間不變系統(tǒng)處理。一、二維線性不變系統(tǒng)的定義二、二維線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

三、線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)如果函數(shù)??(??,??)滿足條件系統(tǒng)的本征函數(shù)是一個(gè)特定的輸入函數(shù)，它相應(yīng)的輸出函數(shù)與它之間的差別僅僅是一個(gè)復(fù)常系數(shù)。將復(fù)指數(shù)函數(shù)輸入到線性不變系統(tǒng)之中，即代入卷積式，不難證明它滿足條件式線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)三、線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)輸出函數(shù)與輸入函數(shù)之間的差別的確僅是一個(gè)復(fù)常系數(shù)。無論脈沖響應(yīng)函數(shù)是什么形式，與它卷積的本征函數(shù)得到的結(jié)果的函數(shù)形式一定還是本征函數(shù)，這確實(shí)是很有意義的性質(zhì)。下面再討論一類特殊的線性空間不變系統(tǒng)，其脈沖響應(yīng)是實(shí)函數(shù)，可以把一個(gè)實(shí)值輸入變換為一個(gè)實(shí)值輸出。這種系統(tǒng)也是一種常見的線性系統(tǒng)，如一般非相干成像系統(tǒng)。實(shí)函數(shù)的傅里葉變換是厄米型函數(shù)，即線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)三、線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)振幅傳遞函數(shù)是偶函數(shù)，相位傳遞函數(shù)是奇函數(shù)。下面來證明余弦函數(shù)或正弦函數(shù)是這類系統(tǒng)的本征函數(shù)。令輸入函數(shù)為輸入函數(shù)的頻譜為該線性不變系統(tǒng)輸出函數(shù)的頻譜為系統(tǒng)輸出函數(shù)為非相干光學(xué)成像系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是實(shí)函數(shù)，對(duì)這一類線性空間不變系統(tǒng)的分析是建立光學(xué)傳遞函數(shù)理論的基礎(chǔ)。線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)四、級(jí)聯(lián)系統(tǒng)

四、級(jí)聯(lián)系統(tǒng)

04抽樣定理一、函數(shù)抽樣

一、函數(shù)抽樣

一、函數(shù)抽樣二、原函數(shù)的復(fù)原

二、原函數(shù)的復(fù)原濾波過程可以寫作根據(jù)卷積定理，在空間域得到代入可得二、原函數(shù)的復(fù)原

二、原函數(shù)復(fù)原010203用一維函數(shù)的有關(guān)圖像表明了函數(shù)抽樣和還原的過程及其在頻域發(fā)生的相應(yīng)變化任何在空域上分布在有限范圍內(nèi)的信號(hào)(函數(shù))的頻譜在頻域的分布都是無限的。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，可以把它們近似看作限帶函數(shù)，而忽略高頻分量引起的誤差。三、空間帶寬積

三、空間帶寬積三、空間帶寬積三、空間帶寬積三、空間帶寬積它不僅用來描述空間信號(hào)的信息量，也可用來描述成像系統(tǒng)、光信息處理系統(tǒng)的信息容量。所以，假如沒有外部因素的影響，物體的空間帶寬積具有不變性。當(dāng)圖像信息經(jīng)由系統(tǒng)傳遞或處理時(shí)，為了不丟失信息，系統(tǒng)的空間帶寬積應(yīng)大于圖像的空間帶寬積。當(dāng)函數(shù)(圖像)在空間位移或產(chǎn)生頻移時(shí)，SW不變；當(dāng)函數(shù)（圖像）放大縮小時(shí)，SW也不變。

謝謝觀看第二章角譜及標(biāo)量衍射的角譜理論光電&儀器類專業(yè)教材信息光學(xué)簡明教程01光波的數(shù)學(xué)描述一、光振動(dòng)的復(fù)振幅和亥姆霍茲方程取最簡單的簡諧振動(dòng)作為波動(dòng)方程的特解，單色光場中某點(diǎn)P在時(shí)刻t的光振動(dòng)可表示成式中ⅴ是光波的時(shí)間頻率，a(P)和φ(P)分別是P(x,y,z)點(diǎn)光振動(dòng)的振幅和初相位。為將相位中由空間位置確定的部分φ(P)和由時(shí)間變量決定的部分2πvt分開，用復(fù)指數(shù)函數(shù)表示光振動(dòng)是方便的。式中Re{}表示對(duì)括號(hào)內(nèi)的復(fù)函數(shù)取實(shí)部，即U(P)稱為單色光場中P點(diǎn)的復(fù)振幅。它包含了P點(diǎn)光振動(dòng)的振幅a(P)和初相位φ(P),僅僅是位置坐標(biāo)的復(fù)值函數(shù)，與時(shí)間無關(guān)。利用復(fù)振幅

U(P),光振動(dòng)可改寫為光振動(dòng)的強(qiáng)度是其振幅a(P)的平方，因而光強(qiáng)可用復(fù)振幅表示成一、光振動(dòng)的復(fù)振幅和亥姆霍茲方程在僅涉及滿足疊加原理的線性運(yùn)算時(shí)，可用復(fù)指數(shù)函數(shù)替代表示光振動(dòng)的余弦函數(shù)形式。在運(yùn)算的任何一個(gè)階段對(duì)復(fù)指數(shù)函數(shù)取實(shí)部，與直接用余弦函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算在同一個(gè)階段得到的結(jié)果是相同的。波動(dòng)方程化簡為其中k稱為波數(shù)，表示單位長度上產(chǎn)生的相位變化，定義為在自由空間傳播的任何單色光擾動(dòng)的復(fù)振幅都必須滿足這個(gè)不含時(shí)間的波動(dòng)方程。這也就意味著，可以用不含時(shí)間變量的復(fù)振幅分布完善地描述單色光波場。

二、球面波的復(fù)振幅表示

二、球面波的復(fù)振幅表示二、球面波的復(fù)振幅表示三、平面波的復(fù)振幅表示波矢量k表示光波的傳播方向，其大小為k=2π/λ,方向余弦為cosα、cosβ、cosγ。在任意時(shí)刻，與波矢量相垂直的平面上振幅和相位為常數(shù)的光波稱為平面波。若空間某點(diǎn)P(x,y,z)的位置矢量為r,則平面波傳播到P點(diǎn)的相位為k·r，該點(diǎn)復(fù)振幅的一般表達(dá)式為平面波等位線方程為xcosα+ycosβ=C不同C值所對(duì)應(yīng)的等相位線是一些平行直線。圖2.1-2中用虛線表示出相位值相差2π的一組波面與x-y平面的交線，即等相位線。它們是一組平行等距的斜直線。由于相位值相差2π的點(diǎn)的光振動(dòng)實(shí)際相同，所以平面上復(fù)振幅分布的基本特點(diǎn)是相位值相差2π的周期性分布。四、平面波的空間頻率一平面波的波矢量為k,時(shí)間頻率為v,其等相位面為平面，并與波矢量k垂直。圖中畫出了由原點(diǎn)起沿波矢量方向每傳播一個(gè)波長λ周期性重復(fù)出現(xiàn)的兩個(gè)等相位面。由于k的方向余弦為cosα,cosβ,cosy,則相鄰兩等相位面與x,y,z軸的兩交點(diǎn)間距離分別為四、平面波的空間頻率從以上討論可以看出，空間頻率與平面波的傳播方向有關(guān)，波矢量k與x軸的夾角α越大，則λ在x軸上的投影X就越大，在x方向上的空間頻率就越小。因此，空間頻率不同的平面波對(duì)應(yīng)于不同的傳播方向。這樣平面波的復(fù)振幅即平面波方程可以寫為在任一距離z的平面上的復(fù)振幅分布，由在z=0平面上的復(fù)振幅和與傳播距離及方向有關(guān)的一個(gè)復(fù)指數(shù)函數(shù)的乘積給出。這說明了傳播過程對(duì)復(fù)振幅分布的影響，已經(jīng)在實(shí)質(zhì)上解決了最基礎(chǔ)的平面波衍射問題，在下面討論標(biāo)量衍射的角譜理論時(shí)非常有用。還可以得到上式同時(shí)也說明空間頻率的最大值是波長的倒數(shù)。五、空間頻率的局域化

五、空間頻率的局域化

02復(fù)振幅分布的角譜及角譜的傳播

一、復(fù)振幅分布的角譜

平面波角譜的傳播二、平面波角譜的傳播對(duì)于cos2α+cos3β<1，經(jīng)過距離z的傳播只是改變了各個(gè)角譜分量的相對(duì)相位，引入了一個(gè)相位延遲因子這是由于每個(gè)平面波分量在不同方向上傳播，它們到達(dá)給定的點(diǎn)所經(jīng)過的距離不同。對(duì)于cos2α+cos3β>1，對(duì)于cos2α+cos2β=1，系統(tǒng)在頻域的效應(yīng)可由傳遞函數(shù)表征為在滿足標(biāo)量衍射理論近似條件情況下，倏逝波總是忽略不計(jì)的，因而傳遞函數(shù)可表示為平面波角譜的傳播二、平面波角譜的傳播二、平面波角譜的傳播二、平面波角譜的傳播三、衍射孔徑對(duì)角譜的作用

其中*為卷積，為孔徑函數(shù)的傅里葉變換。由于卷積運(yùn)算具有展寬帶寬的性質(zhì)。三、衍射孔徑對(duì)角譜的作用輸入你的標(biāo)題引入使入射光波在空間上受限制的衍射孔徑的效應(yīng)就是展寬了光波的角譜增加了一些高空間頻率的波，這就是衍射波不同的角譜分量相應(yīng)于不同方向傳播的平面波分量03標(biāo)量衍射的角譜理論一、惠更斯—菲涅耳—基爾霍夫標(biāo)量

衍射理論的簡要回顧

一、惠更斯—菲涅耳—基爾霍夫標(biāo)量

衍射理論的簡要回顧二、平面波角譜的衍射理論

三、菲涅耳衍射公式假定孔徑和觀察平面之間的距離x遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于孔徑∑的線度，并且只對(duì)z軸附近的一個(gè)小衍射公式：區(qū)域內(nèi)進(jìn)行觀察，則有利用高斯函數(shù)的傅里葉變換(參閱附錄B)和傅里葉變換的相似性定理，得代入，得把指數(shù)中的二項(xiàng)式展開在菲涅耳近似下這一傳遞函數(shù)可進(jìn)一步表示為04夫瑯禾費(fèi)衍射與傅里葉變換

一、夫瑯禾費(fèi)衍射與傅里葉變換用單位振幅的單色平面光波垂直照明該光柵，根據(jù)余弦函數(shù)及矩形函數(shù)的傅里葉變換對(duì)和δ函數(shù)及傅里葉變換的性質(zhì)，可得光柵的頻譜為則夫瑯禾費(fèi)衍射圖的復(fù)振幅分布為一、夫瑯禾費(fèi)衍射與傅里葉變換

一、夫瑯禾費(fèi)衍射與傅里葉變換04菲涅耳衍射和分?jǐn)?shù)傅里葉變換為簡單起見，先給出一維函數(shù)的分?jǐn)?shù)傅里葉變換定義，它與下面還要介紹的分?jǐn)?shù)傅里葉變換性質(zhì)都可以直接推廣到二維情況。分?jǐn)?shù)傅里葉變換又稱作廣義傅里葉變換，常規(guī)傅里葉變換是它的特殊情況。當(dāng)α=π/2和α=-π/2時(shí)它轉(zhuǎn)化為常規(guī)傅里葉變換這是常規(guī)傅里葉變換的另一種形式。

一、分?jǐn)?shù)傅里葉變換的定義

一、分?jǐn)?shù)傅里葉變換的定義二、分?jǐn)?shù)傅里葉變換的幾個(gè)基本性質(zhì)01線性性質(zhì)：分?jǐn)?shù)傅里葉變換仍然是線性變換，A,B均為常數(shù)。02可加性性質(zhì)：α階和β階變換依次作用的結(jié)果相當(dāng)于(α+β)階的一次變換。03周期性質(zhì)：中α和β是對(duì)稱的，所以有特別是當(dāng)α=-β時(shí)有分?jǐn)?shù)傅里葉變換關(guān)于階數(shù)α有周期性，周期為2π

三、用分?jǐn)?shù)傅里葉變換表示菲涅耳衍射

三、用分?jǐn)?shù)傅里葉變換表示菲涅耳衍射三、用分?jǐn)?shù)傅里葉變換表示菲涅耳衍射

三、用分?jǐn)?shù)傅里葉變換表示菲涅耳衍射三、用分?jǐn)?shù)傅里葉變換表示菲涅耳衍射

用分?jǐn)?shù)傅里葉變換表示菲涅耳衍射三、用分?jǐn)?shù)傅里葉變換表示菲涅耳衍射

用分?jǐn)?shù)傅里葉變換表示菲涅耳衍射三、用分?jǐn)?shù)傅里