基于初中數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)探索

基于初中數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)探索上海市華東理工大學(xué)附屬中學(xué)王銘杰摘要：通過滬教版八年級(jí)第十九章“幾何證明”的學(xué)習(xí)，學(xué)生已具備建立幾何模型去解決生活中一些實(shí)際問題的基本知識(shí)。筆者通過梳理相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，設(shè)計(jì)探索符合學(xué)生實(shí)際生活認(rèn)知、數(shù)學(xué)能力的相關(guān)問題，通過解決這些問題，來培養(yǎng)、提升學(xué)生建模方面的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。關(guān)鍵詞：問題解決；核心素養(yǎng)；幾何建模一、問題思考與提出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程就是從現(xiàn)實(shí)世界中來，最終又回歸到解決實(shí)際問題中去。數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)。數(shù)學(xué)建模主要表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出問題、建立和求解模型、檢驗(yàn)和完善模型、分析和解決問題。①①中華人民共和國教育部——普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].人民教育出版社.2020在實(shí)際的教學(xué)過程中，學(xué)生往往被動(dòng)地去接受問題、求解問題，從而變?yōu)榻忸}技巧的訓(xùn)練，無法達(dá)成數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)。因此，需要在日常教學(xué)中創(chuàng)設(shè)真實(shí)的情境，提供數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模等活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)作為工具應(yīng)用于解決問題的過程，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)系，突出發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新觀念。在建構(gòu)主義視角下，學(xué)生對(duì)課程內(nèi)容的“認(rèn)識(shí)構(gòu)建”不再是“儲(chǔ)蓄”的過程，而是個(gè)體已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)與外部刺激反復(fù)作用的過程。學(xué)習(xí)者不是對(duì)原有經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)的簡單提取和運(yùn)用，而是需要根據(jù)外部信息對(duì)原有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行調(diào)整和改造。建構(gòu)知識(shí)不是對(duì)知識(shí)的重現(xiàn)，而是為了個(gè)體在真實(shí)情境中解決問題或者合理解釋現(xiàn)實(shí)世界。這種教學(xué)模式要求教師從建模的角度來分析和處理教學(xué)內(nèi)容，把數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和應(yīng)用結(jié)合起來，使之符合“具體——抽象——具體”的認(rèn)識(shí)規(guī)律。②②徐曉燕.概念性理解與數(shù)學(xué)概念教學(xué)——基于數(shù)學(xué)任務(wù)設(shè)計(jì)的視角[M].上海教育出版社.2020二、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐本課教學(xué)內(nèi)容安排在滬教版八年級(jí)上冊(cè)第十九章“幾何證明”后，是對(duì)八年級(jí)第一學(xué)期相關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用，遵循數(shù)學(xué)建模的一般過程，將教學(xué)內(nèi)容分為“情境引入、分析問題、建立模型、求解模型、檢驗(yàn)完善”五個(gè)環(huán)節(jié)，試圖探索培養(yǎng)八年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的有效方法。（一）情境引入任務(wù)一：自行車在泥濘的路面上行駛，會(huì)形成輪胎的痕跡。如圖所示，點(diǎn)、點(diǎn)分別是前、后輪的輪軸中心，點(diǎn)為自行車車頭。自行車在轉(zhuǎn)彎的過程中，車頭向右偏一定角度保持不變，前、后輪形成的痕跡可視作兩段圓弧，分別是圓弧、圓弧。已知整輛自行車?yán)@著點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，且點(diǎn)O始終在車輪輪軸所在的直線上。1.通過過尺規(guī)作圖，找出這輛自行車的旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)O。2.若車頭向右偏轉(zhuǎn)角度為，旋轉(zhuǎn)角度為，線段長約為米，分別求圓弧、圓弧的長度。（參考數(shù)據(jù)：）利用多媒體教學(xué)工具，讓學(xué)生對(duì)題目所在的背景和條件進(jìn)行分析，通過掌握題目的各類信息。將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，初步體會(huì)數(shù)學(xué)建模的思想方法。在將數(shù)學(xué)思想融入在問題的過程中，引導(dǎo)學(xué)生思考并分析下面幾個(gè)問題：（1）已知一段曲線是圓弧，如何確定這段弧所在圓的圓心位置？它的數(shù)學(xué)原理是什么？（2）“車頭向右偏一定角度保持不變”這一條件有什么作用？如果沒有這一條件，會(huì)產(chǎn)生什么問題？（3）能否將自行車簡化為幾何圖形？能否將實(shí)際過程簡化為幾何圖形的運(yùn)動(dòng)過程？（4）點(diǎn)A、B、O組成的三角形是什么三角形？各個(gè)角度是多少？由哪些條件決定？通過以上問題，幫助學(xué)生建立整個(gè)轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)過程的數(shù)學(xué)模型：直角三角形ABO繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，AB是車身長，OB⊥AB，OA⊥AP，直線AP與直線AB的夾角是車頭偏轉(zhuǎn)的角度，若已知車身長度，當(dāng)偏轉(zhuǎn)角為特殊角（例如30°、45°）時(shí)和旋轉(zhuǎn)角時(shí)，可以根據(jù)所學(xué)幾何模型，求得所需的長度、角度。最后，將此題所求得的數(shù)學(xué)模型結(jié)果，回代現(xiàn)實(shí)情境，進(jìn)一步理解生活中車輛的轉(zhuǎn)彎問題，也為引入后續(xù)的問題做好準(zhǔn)備。（二）分析問題任務(wù)二：某小區(qū)在進(jìn)行道路設(shè)計(jì)規(guī)劃，要在停車位（停車位長約5.4米，寬約2.5米，車輛一般停在停車位正中央）的另一邊種植綠化帶，還需考慮方便車輛停靠，你認(rèn)為此段小區(qū)道路寬幾米較合適？引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題的需要，對(duì)問題提出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)。以假設(shè)為基礎(chǔ)，量與量之間的關(guān)系作紐帶，正確理解、體會(huì)、感知數(shù)學(xué)模型的建立過程。在這個(gè)過程中，引導(dǎo)學(xué)生思考并分析下面幾個(gè)問題：（1）如果道路太窄會(huì)產(chǎn)生什么問題？確定道路的寬度需要滿足怎樣的條件？（2）車輛?？靠赡苄枰M(jìn)行哪些的位置移動(dòng)？怎樣移動(dòng)才算滿足“方便?？俊?？（3）車輛是如何轉(zhuǎn)彎的？能否簡化為幾何圖形的運(yùn)動(dòng)？和自行車轉(zhuǎn)彎模型有何異同？（4）條件是否充足？你還想知道哪些信息？通過上述啟發(fā)式的問題，引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生從實(shí)際中抽象、概括問題的本質(zhì)，簡化一些不可控實(shí)際因素，了解哪些環(huán)節(jié)可能造成不同程度的誤差，同時(shí)滲透建模思想。過程中學(xué)生成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主體，教師成為學(xué)生的組織者、引導(dǎo)者、合作者與共同研究者。（三）建立模型任務(wù)三：普通家用汽車可視作一個(gè)長方形，長約為4米，寬約為1.7米（輪胎大小忽略不計(jì)），車輛在行駛的過程中，后輪無法偏轉(zhuǎn)，只有前輪可以偏轉(zhuǎn)，偏轉(zhuǎn)角度越大，轉(zhuǎn)彎半徑就越小，一般外輪的最大轉(zhuǎn)角約為30°，內(nèi)輪的最大轉(zhuǎn)角約為40°（參考數(shù)據(jù)：）任務(wù)四：當(dāng)車輛兩側(cè)有其它大小相同的車輛，也停在停車位正中央時(shí)，若直接以最大偏轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)彎，還能否順利駛離停車位？如果不能順利駛離，車輛可以先直行一段距離，再以最大偏轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)彎（參考數(shù)據(jù)：）根據(jù)任務(wù)二中幾個(gè)問題的思考，結(jié)合任務(wù)三的相關(guān)信息，利用任務(wù)一的相關(guān)建模思想，嘗試讓學(xué)生獨(dú)立建立車輛轉(zhuǎn)彎的數(shù)學(xué)模型，再給出任務(wù)四的相關(guān)信息，再次嘗試讓學(xué)生獨(dú)立建立車輛轉(zhuǎn)彎的數(shù)學(xué)模型，結(jié)合學(xué)生建立的模型，引導(dǎo)學(xué)生思考并分析下面幾個(gè)問題，深化對(duì)實(shí)際問題的理解和求解：（1）二輪自行車和四輪車輛在轉(zhuǎn)彎過程中有什么異同？能否簡化成幾何圖形的運(yùn)動(dòng)？（2）30°和40°哪個(gè)角度是問題中需要考慮的偏轉(zhuǎn)角？如何確定旋轉(zhuǎn)中心的位置？（3）當(dāng)車輛以最大偏轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)彎時(shí)，車輛的轉(zhuǎn)彎半徑是哪條線段的長度？（4）當(dāng)車輛右側(cè)有障礙車輛時(shí)，如何判斷轉(zhuǎn)彎時(shí)是否與其碰撞？能否轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題？在這個(gè)環(huán)節(jié)中，教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，運(yùn)用啟發(fā)式、嘗試指導(dǎo)法等方法共同對(duì)問題嘗試建立的數(shù)學(xué)模型、做出圖像并進(jìn)行研究和分析，使學(xué)生獲得了基本的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法。其中四輪車輛的轉(zhuǎn)彎過程，可以視作兩輛二輪自行車并排、等距的轉(zhuǎn)彎過程，即兩個(gè)直角三角形繞著重合的一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。外側(cè)的有可能與綠化碰撞，需計(jì)算點(diǎn)A的軌跡，內(nèi)側(cè)的可能與障礙車輛碰撞，需計(jì)算點(diǎn)C的軌跡，幫助學(xué)生理解此類問題的本質(zhì)。（四）求解模型問題1：轉(zhuǎn)彎半徑OA的長度。答：利用含30°角的直角三角形AOB，可得OA的長度為8米。問題2：當(dāng)車輛右側(cè)無障礙時(shí)，小區(qū)道路寬度至少需要保留多少米？答：利用轉(zhuǎn)彎半徑OA的長度8米，減去車身本身的長度4米和提車位前端長度0.7米，可以得到小區(qū)道路寬度至少需要保留3.3米。問題3：當(dāng)車輛右側(cè)有障礙時(shí)，小區(qū)道路寬度至少需要保留多少米？答：若直接轉(zhuǎn)彎，后輪C會(huì)與相鄰車碰撞，利用直角三角形相關(guān)知識(shí)，求得碰撞點(diǎn)與相鄰車車頭距離為1.3米，再利用平移思想與問題2中道路的最小寬度3.3米，可得結(jié)果為4.6米。利用學(xué)習(xí)中獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)解答課堂最初提出的實(shí)際應(yīng)用問題。學(xué)生在整個(gè)建模活動(dòng)中體會(huì)到了數(shù)學(xué)在解決生活實(shí)際問題中的價(jià)值，體驗(yàn)到了所學(xué)知識(shí)的用途和巨大作用，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中無處不在，以及數(shù)學(xué)建模在解決實(shí)際問題中的優(yōu)越性，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力。（五）檢驗(yàn)完善實(shí)際應(yīng)用中,數(shù)學(xué)模型是否合適,必須對(duì)其解的意義進(jìn)行分析與檢驗(yàn)。為進(jìn)一步優(yōu)化模型,可以數(shù)值合理性分析，假設(shè)合理性分析,誤差分析等方面探討，對(duì)模型的改進(jìn)與完善。上述問題中，在數(shù)值合理性分析方面，會(huì)發(fā)現(xiàn)建模計(jì)算得到的數(shù)值，與實(shí)際問題中觀察到的數(shù)值相比偏大，引導(dǎo)學(xué)生從假設(shè)合理性分析,誤差分析等方面進(jìn)行思考，找出產(chǎn)生問題的原因，比如實(shí)際車輛的大小與輪胎的位置、最大偏轉(zhuǎn)角的取值、近似值的精確度、實(shí)際轉(zhuǎn)彎時(shí)更復(fù)雜多樣的運(yùn)動(dòng)方式等。通過探討上述這些問題，不僅是對(duì)整個(gè)建模過程的思考與回顧，更是激發(fā)學(xué)生對(duì)更深層次數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣，和培養(yǎng)學(xué)生使用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的思維習(xí)慣。三、實(shí)踐收獲與反思在數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)過程中，“題”應(yīng)作為提高學(xué)生能力的載體，但實(shí)際教學(xué)中，缺往往會(huì)把“題”作為教學(xué)的本體，強(qiáng)化學(xué)生在代數(shù)計(jì)算、幾何圖形計(jì)算等應(yīng)試能力的訓(xùn)練，而忽略了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，上述設(shè)計(jì)的若干問