2022年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)二真題及答案

2022年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)二真題及答案一、選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1、x→0時(shí)，α(x)，β(x)是非零無(wú)窮小量，給出以下4個(gè)命題：

①若α(x)～β(x)，則α2(x)～β2(x)；

②若α2(x)～β2(x)，則α(x)～β(x)；

③若α(x)～β(x)，則α(x)-β(x)=o(α(x))；

④若α(x)-β(x)=o(α(x))，則α(x)～β(x)；

其中真命題是：______

A．①③．

B．①④．

C．①③④．

D．②③④．

2、

A．

B．

C．

D．

3、f(x)在x=x0處二階可導(dǎo)，以下說(shuō)法正確的是______

A．若在x=x0的0某個(gè)鄰域內(nèi)f(x)單調(diào)增，則f'(x0)＞0

B．若f'(x0)＞0，則在x=x0的某個(gè)鄰域內(nèi)f(x)單調(diào)增

C．若在x=x0的某個(gè)鄰域內(nèi)f(x)圖像是凹的，則f"(x0)＞0

D．若f"(x0)＞0，則在x=x0某個(gè)鄰域內(nèi)f(x)圖像是凹的

4、設(shè)函數(shù)f(t)連續(xù)，令則______

A．

B．

C．

D．

5、設(shè)p為常數(shù)，有反常積分收斂，則p的取值范圍是______

A．(-1，1)

B．(-1，2)

C．(-∞，1)

D．(-∞，2)

6、己知數(shù)列且則______

A．若存在，則存在．

B．若存在，則存在．

C．若存在，則存在，但不一定存在．

D．若存在，則存在，但不一定存在．

7、已知?jiǎng)t以下選項(xiàng)正確的是______

A．I1＜I2＜I3.

B．I2＜I1＜I3.

C．I1＜I3＜I2.

D．I3＜I2＜I1.

8、設(shè)A為3階矩陣，則A有特征值1，-1，0的充分必要條件為：

A．存在可逆矩陣P，Q，使得A=P∧Q．

B．存在可逆矩陣P，使得A=P∧P-1.

C．存在正交矩陣Q，使得A=Q∧Q-1.

D．存在可逆矩陣P，使得A=P∧PT．

9、設(shè)矩陣則線(xiàn)性方程組Ax=b解的情況為：

A．有解．

B．無(wú)解．

C．有無(wú)窮多解或無(wú)解．

D．有唯一解或無(wú)解．

10、設(shè)若向量組α1，α2，α3與α1，α2，α4等價(jià)，則的取值范圍是______

A．{0，1)

B．{λ|λ∈R，λ≠-2}

C．{λ|λ∈R，λ≠-1，λ≠-2}

D．{λ|λ∈R，λ≠-1}

二、填空題11、

12、設(shè)x2+xy+y3=3確定了y=y(x)，則y"(1)=______．

13、

14、微分方程少'''-2y"+5y'=0的通解為_(kāi)_____．

15、曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為r=sin30，則曲線(xiàn)與極軸所圍成的面積為_(kāi)_____．

16、將A的第二行與第三行交換，再將第二列的-1倍加到第一列得到矩陣則tr(A-1)=______．

三、解答題解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17、已知函數(shù)f(x)在x=1處可導(dǎo)，滿(mǎn)足求f'(1)．

18、已知微分方程2xy'-4y=2lnx-1，且滿(mǎn)足條件y(1)=，求y=y(x)的弧長(zhǎng)．

19、設(shè)計(jì)算

已知可微函數(shù)f(u，v)滿(mǎn)足且f(u,0)=u2e-u．20、記g(x，y)=f(x，y-x),求21、求f(u，v)的表達(dá)式和極值．22、設(shè)f(x)在(-∞，+∞)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明：f"(x)≥0的充要條件為對(duì)不同實(shí)數(shù)a，b

已知二次型23、求正交變換x=Qy化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型；24、證明

答案:

一、選擇題

1、C[解析]①若α(x)～β(x)，則因此①正確．

②錯(cuò)，反例α(x)=x，β(x)=-x；

③若α(x)～β(x)，則則因此α(x)-β(x)=o(α(x))，③正確．

④若α(x)-β(x)=o(α(x))，則則則linip(x)：1，即口(x)～∥(x)，④正確．

因此真命題有①③④，選C．2、D[解析]

3、B[解析]f(x)在x=x0處二階可導(dǎo)，則f(x)在x=x0處一階連續(xù)可導(dǎo)，若f'(x0)＞0，則在x=x0的鄰域內(nèi)f'(x)均大于0(局部保號(hào)性)，因此f(x)在此鄰域內(nèi)單調(diào)增．4、C[解析]

綜上，正確選項(xiàng)為C.5、A[解析]

先考慮

若p＜1，

因?yàn)槎諗?，故也收斂?/p>

若p≥1，且發(fā)散，故也發(fā)散．

再考慮

故同斂散，故-p＜1，即p＞-1，選A．6、D[解析]

取則A、B、C均錯(cuò)，且D的“不一定存在”是正確的；D項(xiàng)的“存在”的原因：當(dāng)時(shí)，0≤cosxn≤1，而sinx在[0，1]上單調(diào)，故存在．7、A[解析]

比較I1，I2，令x∈(0,1)則x∈(0，1)，又F(0)=0，所以F(x)＜f(0)=0，I1＜I2；再比較I2，I3，令

h(x)=ln(1+x)(1+sinx)-2x(1+cosx)

=ln(1+x)-x+sinx·ln(1+x)-x-2xcosx，x∈(0，1)

其中l(wèi)n(1+x)-x＜0，sinx·ln(1+x)-x＜0，-2xcosx＜0，則I2＜I3，故選A.8、B[解析]A有3個(gè)不同特征值，故A一定可以對(duì)角化存在可逆矩陣P，使得A=P∧P-1．9、D[解析]|A|=(b-1)(b-a)(a-1)．當(dāng)b≠1且a≠1且b≠a時(shí)，r(A)=r(A|b)=3有唯一解；當(dāng)b=1(b≠1)或a=1(b≠1)或a=b=1時(shí)均有r(A)＜r(A|b)無(wú)解．10、C[解析]

已知α1，α2，α3與α1，α2，α4等價(jià)，則r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α4)=r(α1，α2，α3，α4)

當(dāng)λ=-1時(shí)，r(α1，α2，α3)=3，r(α1，α2，α4)=2與向量組等價(jià)矛盾，故λ≠-1

當(dāng)λ=-2時(shí)，r(α1，α2，α3)=2，r(α1，α2，α4)=3與向量組等價(jià)矛盾，故λ≠-2

故排除B，D；當(dāng)λ-2，r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α4)=3，故排除A，于是該題選擇C二、填空題

11、[解析]

12、[解析]

同時(shí)對(duì)原等式兩端求導(dǎo)：2x+y+xy'+3y2y'=0；

再次求導(dǎo)：2+2y'+xy"+6y(y')2+3y2y"=0，

當(dāng)x=1時(shí)y=1，13、[解析]

14、y=C1+ex(C2sin2x+C3cos2x)．C1，C2，C3為任意常數(shù)．[解析]

微分方程對(duì)應(yīng)特征方程為：λ3-2λ2+5λ=0．可得特征值為λ1=0，λ2,3=1±2i．所以原方程的通解為：

y=C1+ex(C2sin2x+C3cos2x)．C1，C2，C3為任意常數(shù)．15、[解析]

16、-1[解析]

則故tr(A-1)=-1三、解答題

17、f'(1)=-1．[解析]f(x)在x=1處可導(dǎo)，則f(x)在x=1處連續(xù)，

∴f(1)=0．

∵f'(1)=-118、[解析]

由

又

即

從而弧長(zhǎng)19、[解析]

設(shè)D=D1+D2，其中

D1={x，y)|2-y≤x≤y-2,0≤y≤2)，

D2={x，y)|2-y≤x≤，0≤y≤2},

則二重積分

其中：

又D1關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則

故I=2+π-(4-π)=2π-2．20、2(2x-y)·e-y；[解析]

令u=x，v=y-x，

21、f(u，v)=(u2+v2)e-(u+v)，極小值為f(0，0)=0[解析]g(x,y)=2(x2-xy)e-y+C(y)，又f(x，0)=g(x，x)=C(x)=x2e-x，

所以C(x)=x2e-x，g(x，y)=2(x2-xy)e-y+y2e-y=[2x2-2xy+y2]e-y，

令得

f(u，v)=-2uve-(u+v)+(u+v)2e-(u+v)=(u2+v2)e-(u+v)

令得或

AC-B2＞0，A＞0，得f(u，v)|(0,0)=0為極小值；

AC-B2＜0，得在(1，1)處不是極值．22、[證明]

ξ介于x與之間，

必要性：若f"(x)≥0，則f"(ξ)≥0，有

充分性：若存在x0使得f"(0)＜0，因?yàn)閒(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，故存在δ＞0使得f"(x)在[x0-δ，x0+δ]內(nèi)恒小于零，記a=x0-δ，b=x0+δ，

此時(shí)矛盾！故f"(x)≥0．

綜上，充分性必要性均得證．23、

[解析]

二次型矩陣為則特征方程為

得特征值λ1=λ2=4,λ3=2．

當(dāng)λ1=λ2=4時(shí)，(4E-A)x=0得ξ1=(0，1，0)，ξ2=(1，0，1)T

當(dāng)