湖南省株洲市南方名校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（含解析）

第第頁湖南省株洲市南方名校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（含解析）株洲市南方中學(xué)2023級高一10月月考數(shù)學(xué)試卷

時(shí)間：120分鐘分值：150分

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）

1.集合，，則（）

A.B.C.D.

2.“，”否定是（）

A.，B.，

C.，D.以上都不對

3.不等式4＋3x－x24或x1或x4或x1或x0，即(x＋1)(x－4)>0，解得x>4或x4或x<－1}.

故選：B

【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

4.已知，則“”是“”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】

【分析】通過反例可說明充分性和必要性均不成立，由此可得結(jié)論.

【詳解】當(dāng)，時(shí)，滿足，此時(shí)；

當(dāng)，時(shí)，滿足，此時(shí)；

，，

“”是“”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

5.中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個(gè)三角形，邊長分別為，三角形的面積可由公式求得，其中為三角形周長的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫-秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長滿足，則此三角形面積的最大值為

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】由題意，p＝10，S，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

【詳解】由題意，p＝10，

S8，

∴此三角形面積的最大值為8．

故選C．

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．

6.已知，則（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】把看作一個(gè)整體，求的解析式，再求，及即可．

【詳解】解：令，，

，即．

；．

故選：．

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知的解析式求解解析式的步驟：

（1）令，注意分析的取值范圍；

（2）根據(jù)，反解出關(guān)于的表示；

（3）將的解析式中的都替換為的表示，由此得到的解析式，從而解析式可求.

7.若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先根據(jù)函數(shù)的定義域求出函數(shù)的定義域，然后再列出有意義時(shí)所滿足的條件，從而可求出函數(shù)的定義域.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，所以?/p>

所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

所以要使函數(shù)有意義，需滿足，解得，

所以函數(shù)的定義域?yàn)?

故選：B．

8.實(shí)數(shù)，，滿足且，則下列關(guān)系成立的是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)等式可變形為，利用完全平方可得大小，由得，做差，配方法比較大小.

【詳解】由可得，則，

由可得，利用完全平方可得

所以，

，

，

綜上，

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了做差法比較兩個(gè)數(shù)的大小，考查了推理與運(yùn)算能力，屬于難題.

二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）

9.[多選題]下列四個(gè)命題中，是假命題的是（）

A.，B.，

C.，D.，

【答案】ACD

【解析】

【分析】當(dāng)時(shí)可判斷A，D；當(dāng)時(shí)，可判斷B；判斷，為真命題可判斷C；進(jìn)而可得正確選項(xiàng).

【詳解】當(dāng)時(shí)，，顯然不成立，故選項(xiàng)A是假命題；

當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)B是真命題；

對，恒成立，所以，是假命題，故選項(xiàng)C是假命題；

當(dāng)時(shí)，不成立，故選項(xiàng)D是假命題．

故選：ACD．

10.（多選）已知、均為正實(shí)數(shù)，則下列不等式不一定成立的是（）

A.B.

C.D.

【答案】AD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，利用基本不等式和可得出該不等式的正誤；B選項(xiàng)，將不等式左邊展開，然后利用基本不等式可驗(yàn)證該選項(xiàng)中的不等式是否成立；C選項(xiàng)，利用基本不等式以及可驗(yàn)證該選項(xiàng)中的不等式是否成立；D選項(xiàng)，取特殊值驗(yàn)證該選項(xiàng)中的不等式是否成立.

【詳解】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號同時(shí)成立；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號；

對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號；

對于D，當(dāng)，時(shí)，，，，

所以.

故選AD.

【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式驗(yàn)證不等式是否成立，再利用基本不等式時(shí)要注意條件“一正、二定、三相等”的成立，考查推理能力，屬于中等題.

11.下列四個(gè)不等式中，解集為的是（）

A.B.

C.D.

【答案】BD

【解析】

【分析】

由一元二次不等式的性質(zhì)，結(jié)合各一元二次不等式的判別式、函數(shù)開口方向即可判斷各選項(xiàng)是否為空集.

【詳解】A選項(xiàng)，，所以的解集不可能為空集；

B選項(xiàng)，，而開口向上，所以解集為空集；

C選項(xiàng)，的解集為，所以不為空集；

D選項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)等號成立，而開口向下，所以為空集；

故選：BD

12.已知二次函數(shù)（為常數(shù)）的對稱軸為，其圖像如圖所示，則下列選項(xiàng)正確的有（）

A.

B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為

C.關(guān)于的不等式的解為或

D.若關(guān)于的函數(shù)與關(guān)于的函數(shù)有相同的最小值，則

【答案】ACD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，由開口方向，與軸交點(diǎn)，及對稱軸，求出的正負(fù)，得到A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，數(shù)形結(jié)合得到函數(shù)隨著的增大而減小，從而求出最大值；C選項(xiàng)，結(jié)合，化簡不等式，求出解集；D選項(xiàng)，配方得到兩函數(shù)的最小值，從而得到，求出.

【詳解】A選項(xiàng)，二次函數(shù)圖象開口向上，故，

對稱軸，故，

圖象與軸交點(diǎn)在軸正半軸，故，

所以，故，A正確；

B選項(xiàng)，因?yàn)?，故?/p>

因?yàn)椋裕?/p>

當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小，

所以時(shí)，取得最大值，最大值為，B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以?/p>

，

故不等式變形為，

因?yàn)?，，解得：或，故C正確；

D選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，

，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，

所以，即，所以，

即，故D正確.

故選：ACD

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.設(shè)函數(shù)，已知f(x0)＝8，則x0＝________.

【答案】

【解析】

【分析】由分段函數(shù)的意義可得可分為和兩種情形，對于最后結(jié)果需注意自變量的范圍.

【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得或（舍去）

當(dāng)時(shí)，，解得（舍去），故答案為．

【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，正確理解分段函數(shù)的概念以及注意自變量的范圍是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

14.是一個(gè)單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍___

【答案】

【解析】

【分析】先使在和上遞減，再使處，解得范圍即可.

【詳解】當(dāng)時(shí)，圖像開口向上，減區(qū)間為

所以時(shí)在遞減，所以；

當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)在遞減，所以；

另外，在處，即，所以；

綜上，.

故答案為：.

【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題.

15.設(shè)，則“”是“”______的條件．（填寫“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”）

【答案】必要不充分

【解析】

【分析】分別求出不含參的一元二次不等式和分式不等式的解集，再結(jié)合充分必要條件的判定即可.

【詳解】由，得，

由，得，解得，

所以，

所以“”“”，反之不成立.

所以“”是“”的必要不充分條件.

故答案為：必要不充分

16.已知，，則的最大值為________，的取值范圍是________．

【答案】①.②.

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件，對目標(biāo)式進(jìn)行變形，結(jié)合基本不等式，即可容易求得的范圍.

【詳解】因?yàn)?，，所以?/p>

因?yàn)椋裕?/p>

解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．

又，

所以，，

解得，所以的取值范圍是．

故答案為：；．

【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求范圍以及最值，屬基礎(chǔ)題；注意對目標(biāo)式合理變形.

四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

17.已知，是實(shí)數(shù)，求證：成立充要條件是.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】根據(jù)充要條件的定義分別證明充分性和必要性即可得到結(jié)論．

【詳解】解：先證明充分性：

若，則成立．

所以“”是“”成立的充分條件；

再證明必要性：

若，則，

即，

，

，

，

，

即成立．

所以“”是“”成立的必要條件

綜上：成立的充要條件是．

18.已知集合，集合.

（1）若，求實(shí)數(shù)m的值；

（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

【答案】（1）

（2）{或}

【解析】

【分析】（1）根據(jù)交集的概念計(jì)算即可；

（2）根據(jù)集合的關(guān)系及補(bǔ)集運(yùn)算，分類討論計(jì)算即可.

【小問1詳解】

因?yàn)?，，且?/p>

所以，此時(shí)，符合題意，

故；

【小問2詳解】

顯然，即，此時(shí){或}，

若，則有或，

解之得{或}.

19.使不等式對一切實(shí)數(shù)恒成立的的取值范圍記為集合，不等式的解集為．

（1）求集合；

（2）若“”是“”的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式恒成立，利用判別式即可求解，

（2）分類討論求解含參的一元二次不等式的解，根據(jù)子集關(guān)系即可求解.

【小問1詳解】

因?yàn)閷σ磺袑?shí)數(shù)恒成立，

所以，

所以，所以集合．

【小問2詳解】

若“”是“”的充分條件，則，

因?yàn)椋?/p>

所以

當(dāng)，即，，滿足題意，

當(dāng)，即，，

由（1）知，所以，

所以，所以．

當(dāng)，即，

所以，所以，所以，

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍

20.解關(guān)于x的不等式：．

【答案】答案見解析.

【解析】

【分析】分、、、、、、七種情況討論即可.

【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得

若，則原不等式可化為，

當(dāng)時(shí)，，解得或

當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得且

當(dāng)時(shí)，，解得或

若，則不等式可化為

當(dāng)時(shí)，，解得

當(dāng)時(shí)，不等式可化為，其解集為

當(dāng)時(shí)，，解得

綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為

當(dāng)時(shí)，不等式的解集為

當(dāng)時(shí)，不等式的解集為

當(dāng)時(shí)，不等式的解集為

當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或

當(dāng)時(shí)，不等式的解集為且

當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或

【點(diǎn)睛】本題考查的是含參的分式不等式的解法，考查了分類討論的思想，屬于中檔題.

21.為響應(yīng)國家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”的號召，小王同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)．經(jīng)過市場調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本為2萬元，每生產(chǎn)萬件，需另投入流動(dòng)成本為萬元．在年產(chǎn)量不足8萬件時(shí)，（萬元）；在年產(chǎn)量不小于8萬件時(shí)，．每件產(chǎn)品售價(jià)為6元．假設(shè)小王生產(chǎn)的商品當(dāng)年全部售完.

（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)解析式（注：年利潤=年銷售收入-固定成本-流動(dòng)成本）；

（2）年產(chǎn)量為多少萬件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？

【答案】（1）

（2）當(dāng)時(shí)，取得最大值15（萬元）

【解析】

【分析】根據(jù)年利潤＝銷售額﹣投入的總成本﹣固定成本，分和當(dāng)兩種情況得到的分段函數(shù)關(guān)系式；(2）當(dāng)時(shí)根據(jù)二次函數(shù)求最大值的方法來求利潤最大值，當(dāng)時(shí)，利用基本不等式來求的最大值，最后綜合即可．

【小問1詳解】

因?yàn)槊考a(chǎn)品售價(jià)為6元，則x（萬件）商品銷售收入為萬元，

依題：當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，

所以；

【小問2詳解】

當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值（萬元）；

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，

即當(dāng)時(shí)，取得最大值15（萬元），

因?yàn)?，所以?dāng)產(chǎn)量為10（萬件）時(shí)，利潤最大，為15萬元.

22.已知函數(shù)對一切實(shí)數(shù)，都有成立，且．

（1）求的值；

（2）求的解析式；

（3）已知，設(shè)：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立；：在上單調(diào)．如果使成立a的集合記為，使成立的a的集合記為，求．

【答案】（1）

（2）

（3）

【解析】

【分析】（1）利用特殊值法，令、，根據(jù)題設(shè)條件運(yùn)算即可得