遼寧省鐵嶺市六校2023年數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測試題含解析

遼寧省鐵嶺市六校2023年數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．中國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“今有俸糧三百零五石，令五等官（正一品、從一品、正二品、從二品、正三品）依品遞差十三石分之，問，各若干？”其大意是，現(xiàn)有俸糧石，分給正一品、從一品、正二品、從二品、正三品這位官員，依照品級遞減石分這些俸糧，問，每個(gè)人各分得多少俸糧？在這個(gè)問題中，正三品分得俸糧是（）A.石 B.石C.石 D.石2．已知動圓M與直線y=2相切，且與定圓C：外切，求動圓圓心M的軌跡方程A. B.C. D.3．如圖，在四面體中，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，則化簡的結(jié)果為（）A. B.C. D.4．設(shè)橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，過原點(diǎn)O的動直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，那么的周長的取值范圍為（）A. B.C. D.5．如果，那么下列不等式成立的是（）A. B.C. D.6．雙曲線（，）的一條漸近線的傾斜角為，則離心率為（）A. B.C.2 D.47．橢圓的離心率為（）A. B.C. D.8．為了更好地解決就業(yè)問題，國家在2020年提出了“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”為響應(yīng)國家號召，有不少地區(qū)出臺了相關(guān)政策去鼓勵“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”.某攤主2020年4月初向銀行借了免息貸款8000元，用于進(jìn)貨，因質(zhì)優(yōu)價(jià)廉，供不應(yīng)求，據(jù)測算：每月獲得的利潤是該月初投入資金的20%，每月底扣除生活費(fèi)800元，余款作為資金全部用于下月再進(jìn)貨，如此繼續(xù)，預(yù)計(jì)到2021年3月底該攤主的年所得收入為（）（取，）A.24000元 B.26000元C.30000元 D.32000元9．設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.10．已知直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)a為（）A. B.或C. D.或11．函數(shù)的定義域?yàn)?，，對任意，，則的解集為（）A. B.C. D.12．?dāng)?shù)列中，，，若，則（）A.2 B.3C.4 D.5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________14．已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則___________.15．定義在上的函數(shù)滿足，且對任意都有，則不等式的解集為__________.16．正方體，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足：,且是,的等差中項(xiàng)（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若,,求18．（12分）已知關(guān)于x的不等式，.（1）若，求不等式的解集；（2）若不等式的解集為R，求k的取值范圍.19．（12分）已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且的短軸長為（1）求的方程；（2）若直線與交于P，Q兩點(diǎn)，，且的面積為，求k20．（12分）如圖所示，在三棱柱中，，點(diǎn)在平面ABC上的射影為線段AC的中點(diǎn)D，側(cè)面是邊長為2的菱形（1）若△ABC是正三角形，求異面直線與BC所成角的余弦值；（2）當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求線段BD的長21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，直線PA與CD所成角為60°.（1）求直線PD與平面ABCD所成角的正弦值；（2）求二面角的正弦值.22．（10分）（1）若在是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）已知函數(shù)在R上無極值點(diǎn)，求a的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】令位官員(正一品、從一品、正二品、從二品、正三品)所分得的俸糧數(shù)是公差為數(shù)列，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求，進(jìn)而求出正三品即可.【詳解】正一品、從一品、正二品、從二品、正三品這位官員所分得的俸糧數(shù)記為數(shù)列，由題意，是以為公差的等差數(shù)列，且，解得.故正三品分得俸糧數(shù)量為（石）.故選：D.2、D【解析】由題意動圓M與直線y=2相切，且與定圓C：外切∴動點(diǎn)M到C（0，-3）的距離與到直線y=3的距離相等由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以C（0，-3）為焦點(diǎn)，直線y=3為準(zhǔn)線的拋物線故所求M的軌跡方程為考點(diǎn)：軌跡方程3、C【解析】根據(jù)向量的加法和數(shù)乘的幾何意義，即可得到答案；【詳解】故選：C4、A【解析】根據(jù)橢圓的對稱性橢圓的定義可得，結(jié)合的范圍求的周長的取值范圍.【詳解】的周長，又因?yàn)锳，B兩點(diǎn)為過原點(diǎn)O的動直線l與橢圓C的交點(diǎn)，所以A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，橢圓C的左焦點(diǎn)為，則，所以，又因?yàn)槿c(diǎn)不共線，所以，所以的周長的取值范圍為，故選：A.5、D【解析】利用不等式的性質(zhì)分析判斷每個(gè)選項(xiàng).【詳解】由不等式的性質(zhì)可知，因?yàn)?，所以，，故A錯誤，D正確；由，可得，，故B，C錯誤.故選：D6、C【解析】根據(jù)雙曲線方程寫出漸近線方程，得出，進(jìn)而可求出雙曲線的離心率.【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，又其中一條漸近線的傾斜角為，所以，則，所以該雙曲線離心率為.故選：C.7、A【解析】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求得，再計(jì)算出后可得離心率【詳解】在橢圓中，，，，因此，該橢圓的離心率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的離心率，根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求出即可8、D【解析】設(shè)，從4月份起每月底用于下月進(jìn)借貨的資金依次記為，由題意得出的遞推關(guān)系，變形構(gòu)造出等比數(shù)列，由得其通項(xiàng)公式后可得結(jié)論【詳解】設(shè)，從4月份起每月底用于下月進(jìn)借貨的資金依次記為，，、同理可得，所以，而，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，所以，，總利潤為故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用．解題方法是用數(shù)列表示月初進(jìn)貨款，得出遞推關(guān)系，然后構(gòu)造等比數(shù)列求解9、A【解析】求出函數(shù)圖象的對稱中心，結(jié)合函數(shù)圖象平移變換可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，函?shù)圖象的對稱中心為，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再將所得圖象向下平移個(gè)單位長度，可得到奇函數(shù)的圖象，即函數(shù)為奇函數(shù).故選：A10、B【解析】由題可得，即得.【詳解】∵直線與直線垂直，∴，解得或.故選：B.11、B【解析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】依題意可設(shè)，所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?所以要使，即，只需要，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，解題的關(guān)鍵就是利用導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)來解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.12、C【解析】由已知得數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，求出，再利用等比數(shù)列求和可得答案.【詳解】∵，∴，所以，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則，∴，∴，則，解得.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號，得出原函數(shù)的單調(diào)性和極值，由此可求得答案.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，則，所以當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故答案為：.14、2【解析】由，可兩平面的法向量也平行，從而可求出，進(jìn)而可求得答案【詳解】因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，平面的法向量為，，所以∥，所以存?shí)數(shù)使，所以，所以，解得，所以，故答案為：215、【解析】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，所以在上遞減，由，得，即，所以，即等式的解集為.故答案為：16、【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)異面直線所成角的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為，則，，，，，，，即異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）將已知條件整理變形為等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比來表示，解方程組得到基本量，可得到通項(xiàng)公式（2）化簡通項(xiàng)得，根據(jù)特點(diǎn)求和時(shí)采用錯位相減法求解試題解析：（1）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，依題意，有2（）=+,代入,得=8,2分∴+=20∴解之得或4分又單調(diào)遞增，∴="2,"=2,∴=2n6分（2）,∴①8分∴②∴①-②得＝12分考點(diǎn)：1．等比數(shù)列通項(xiàng)公式；2．錯位相減求和18、（1）（2）【解析】（1）因式分解后可求不等式的解集.（2）就分類討論后可得的取值范圍.【小問1詳解】時(shí)，原不等式即為，其解為.【小問2詳解】不等式的解集為R，當(dāng)時(shí)，則有，解得，綜上，.19、（1）（2）或k=1.【解析】（1）根據(jù)題意求得雙曲線的焦點(diǎn)即知橢圓焦點(diǎn)，結(jié)合橢圓短軸長，可求得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，整理得，從而得到根與系數(shù)的關(guān)系式，然后求出弦長以及到直線PQ的距離，進(jìn)而表示出，由題意得關(guān)于k的方程，解得答案.【小問1詳解】雙曲線即，故雙曲線交點(diǎn)坐標(biāo)為，由此可知橢圓焦點(diǎn)也為，又的短軸長為，故，所以，故橢圓的方程為；【小問2詳解】聯(lián)立，整理得：，其，設(shè)，則，所以=，點(diǎn)到直線PQ的距離為，所以=，又的面積為，則=，解得或k=1.20、（1）（2）或【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線與所成角的余弦值.（2）結(jié)合直線與平面所成的角，利用向量法列方程，化簡求得的長.【小問1詳解】依題意點(diǎn)在平面ABC上的射影為線段AC的中點(diǎn)D，所以平面，，由于，所以，以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，當(dāng)是等邊三角形時(shí)，，.設(shè)直線與所成角為，則.【小問2詳解】設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)直線與平面所成角為，則，化簡的，解得或，也即或.21、（1）（2）【解析】（1），所以PA與AB所成的銳角或直角等于PA與CD所成角，然后過P在平面PAB內(nèi)作，可得平面ABCD，從而可求出答案.（2）可證平面PAB，過B在平面PAB內(nèi)作，連結(jié)CF，則是二面角的平面角，從而可求解.【小問1詳解】因?yàn)椋訮A與AB所成的銳角或直角等于PA與CD所成角，可知，是正三角形.過P在平面PAB內(nèi)作，垂足為E，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，所以平面ABCD，是直線PD與平面ABCD所成角.在正中，，，所以，故直線PD與平面ABCD所成角的正弦值為.【小問2詳解】因?yàn)?，平面平面ABC