廣東省廣州市華附2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)測(cè)試數(shù)學(xué)試題

廣東省廣州市華附2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合要求的。1．復(fù)數(shù)z=4i1+i，則A．π4 B．7π4 C．3π42．設(shè)集合M={x|A．8 B．7 C．32 D．313．橢圓E：x24+y23=1(a>b>0A．π6 B．π2 C．π34．(x+7)5展開(kāi)式中xA．245 B．10 C．49 D．4905．以下什么物體能被放進(jìn)底面半徑為12m，高為A．底面半徑為34m，母線(xiàn)長(zhǎng)為B．底面半徑為0.01m，高為C．邊長(zhǎng)為1m的立方體D．底面積為32m26．有下列一組數(shù)據(jù)：442498053，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（）A．5.6 B．5 C．8 7．設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=1+2A．5 B．6 C．7 D．88．a(chǎn)=110+ln10A．a(chǎn)>c>b B．a(chǎn)>b>c C．b>a>c D．c>b>a二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，漏選得2分，有選錯(cuò)或未選的得0分。9．下列式子中最小值是3的是（）A．xlnx+9xlnx B．x+9x C．10．f(x)=acosωx(ω>0)，若將f(x)圖象向左平移π6ω個(gè)單位長(zhǎng)度后在A．167 B．2 C．3 D．11．已知正方形ABCD中，AB=2，P是平面ABCD外一點(diǎn).設(shè)直線(xiàn)PB與平面ABCD所成角為α，設(shè)三棱錐P?ABC的體積為V，則下列命題正確的是（）A．若PA+PC=23，則α的最大值是B．若PA+PC=23，則V的最大值是C．若PA2+PCD．若PA2+PC12．在本場(chǎng)考試中，多選題可能有2個(gè)或3個(gè)正確的選項(xiàng)，全部選對(duì)得5分，漏選得2分，有選錯(cuò)或未選的得0分。如果你因完全不會(huì)做某道題目而必須隨機(jī)選擇1~3項(xiàng)選項(xiàng)，設(shè)該題恰有兩個(gè)正確選項(xiàng)的概率為p0A．若隨機(jī)選擇兩項(xiàng)，則存在p0使B．無(wú)論p0為多少，隨機(jī)選擇一項(xiàng)總能使E(X)C．若p0D．若隨機(jī)選擇三項(xiàng)，則存在p0使三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)隨機(jī)變量X~N(5，14．直線(xiàn)l與圓G：(x?4)2+(y+1)2=415．底面是面積為3的等邊三角形ABC的三棱錐P?ABC的表面積是6+3，則其體積的最大值是16．有8個(gè)不同的小球從左到右排成一排，從中拿出至少一個(gè)球且不能同時(shí)拿出相鄰的兩個(gè)球的方案數(shù)量是四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17．向量a與b能作為平面向量的一組基底.（1）若AB=a+7b，BC=（2）若a+kb與(k+1)a18．如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，四邊形AA1C1（1）求證：AA1（2）求平面A1C119．在△ABC中，a，b，c（1）證明a（2）求cosC20．已知函數(shù)f(x)=（1）當(dāng)b=0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，π2（2）若b<0，g(x)=f(x)+asinx，證明g(x)>bln(?21．已知橢圓E：x2a2+y一點(diǎn)，當(dāng)∠F1AF2（1）求橢圓E的方程（2）直線(xiàn)l1：k1x?y+2k1=0(k1>0)與橢圓E交于M，N兩點(diǎn)，線(xiàn)段MN的中點(diǎn)為P，過(guò)P作垂直x軸的直線(xiàn)在第二象限交橢圓E于點(diǎn)S22．記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為（1）求數(shù)列an（2）數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn（3）某鐵道線(xiàn)上共有84列列車(chē)運(yùn)行，且每次乘坐到任意一列列車(chē)的概率相等，設(shè)隨機(jī)變量X為恰好乘坐一次全部列車(chē)所乘坐的次數(shù)，試估算E(X)84參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.6931，

答案解析部分1．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；共軛復(fù)數(shù)【解析】【解答】解：由復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)z=4i1+i=4i1?i故答案為：B.

【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)z=2+2i，由共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)輻角的定義得，即可得解.2．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】子集與真子集【解析】【解答】解：解不等式x2+2x?3<0得?3<x<1，x為整數(shù)，所以M={?2，?1，0故答案為：A.

【分析】化簡(jiǎn)得集合M={?2，?1，0}3．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)【解析】【解答】解：由橢圓方程可得a=2，b=3，推出c=1，即F1F2=2，△F1AF故答案為：C.

【分析】由橢圓方程可得a=2，b=3，得c=1，△F1AF4．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)【解析】【解答】解：根據(jù)二項(xiàng)式的展開(kāi)式，Tr+1=C5rx5?r故答案為：D.

【分析】利用二項(xiàng)式的展開(kāi)式，代數(shù)求值即可得解.5．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱/圓錐/圓臺(tái)/球）的結(jié)構(gòu)特征【解析】【解答】解：A、圓柱的底面半徑為12m，而圓錐的底面半徑為34m，34m>12m，所以該圓錐無(wú)法放入圓柱中，故A錯(cuò)誤；

B、如圖，HF=0.02m，因?yàn)镋H=1.9m，所以根據(jù)勾股定理可得EF2=EH2+HF2=0.0004+3.61=3.6104，設(shè)∠AFH=θ，θ∈0，π2，所以AF=0.02cosθ，BG=0.02cosθ，F(xiàn)G=AB?AF?BG=1?0.04cosθ，再根據(jù)勾股定理可得EG2=EF2?FG2=3.6104?1?0.04cosθ2故答案為：B.

【分析】根據(jù)圓柱的底面半徑和圓錐的底面半徑34m>12m，即可判斷A；畫(huà)立體圖形，設(shè)出未知量得EG2=EF6．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體的百分位數(shù)【解析】【解答】解：將數(shù)據(jù)從小到大順序排列：0，2，3，4，4，4，5，8，9，共9個(gè)數(shù)，9×80%=7.2，結(jié)合百分位數(shù)定義得這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是8.故答案為：8.

【分析】先將數(shù)據(jù)從小到大順序排列，再結(jié)合百分位數(shù)的定義，即可求解.7．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；二項(xiàng)式定理【解析】【解答】解：由二項(xiàng)式定理可得an=2+1n=3n，數(shù)列{an}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得Sn故答案為：C.

【分析】由二項(xiàng)式定理得an8．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【解析】【解答】解：令fx=x+1lnx?x，則f'x=lnx+1x，令gx=fx?fx1?fx故答案為：B.

【分析】令fx9．【答案】C,D【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；二次函數(shù)模型【解析】【解答】解：當(dāng)0<x<1時(shí)，xlnx<0，A錯(cuò)誤；x<0時(shí)，B錯(cuò)誤；令gx=xex+3e+1e，則g'x=x+1ex，當(dāng)x>?1時(shí)，g'x>0，故答案為：C，D.

【分析】當(dāng)0<x<1時(shí)，x<0時(shí)分別檢驗(yàn)A，B選項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)gx10．【答案】A,C,D【知識(shí)點(diǎn)】余弦函數(shù)的性質(zhì)；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換【解析】【解答】解：f(x)=acosωx(ω>0)，將f(x)圖象向左平移π6ω個(gè)單位長(zhǎng)度得y=acosωx+π6，故答案為：A，C，D.

【分析】利用函數(shù)y=Acosωx+φ的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的性質(zhì)，求得1611．【答案】A,C【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積【解析】【解答】解：由題意得，P為動(dòng)點(diǎn)，A，C為定點(diǎn)，PA+PC=23，所以P的軌跡是橢圓，將此橢圓繞AC旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)橢球，即點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)橢球.由2a=23，2c=22，得a=3，b=1，c=2，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到橢球的上、下頂點(diǎn)時(shí)，V取到最大值，此時(shí)V=13S?ABCb=12×12×2×2×1=23，故B不正確；設(shè)點(diǎn)P在平面ABCD上的射影為Q，則tanα=PQBQ，因?yàn)镻Q≤BQ，所以α的最大值是π4，故A正確；當(dāng)PA2+PC2=4；當(dāng)PA2+PC故答案為：A，C.

【分析】根據(jù)橢圓的定義和旋轉(zhuǎn)體的概念可知，當(dāng)PA+PC=23時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)橢球，當(dāng)PA2+PC12．【答案】B,C,D【知識(shí)點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差【解析】【解答】解：多選題可能有2個(gè)或3個(gè)正確的選項(xiàng)，設(shè)該題恰有兩個(gè)正確選項(xiàng)的概率為p0，所以三個(gè)正確選項(xiàng)的概率為1?p0，若隨機(jī)選擇一項(xiàng)，則得分X的所有可能取值為0，2，則PX=0=12P0+141?P0=14+14P0，PX=2=12P0+341?P0=3故答案為：B，C，D.

【分析】分別求出隨機(jī)選擇一項(xiàng)、兩項(xiàng)、三項(xiàng)時(shí)得分的期望，然后即可得出結(jié)論.13．【答案】1【知識(shí)點(diǎn)】正態(tài)分布定義【解析】【解答】解：由已知隨機(jī)變量X~N(5，2故答案為：12

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性，即可求解.14．【答案】y=1（答案不唯一）【知識(shí)點(diǎn)】圓的切線(xiàn)方程【解析】【解答】解：當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，因?yàn)閳AG：(x?4)2+(y+1)2=4的圓心為4，?1半徑為2，所以和圓行相切的直線(xiàn)為x=2或x=6，橢圓的左右頂點(diǎn)分別為2，0，?2，0，直線(xiàn)x=2也是橢圓的切線(xiàn)，所以直線(xiàn)x=2與圓和橢圓同時(shí)相切；

當(dāng)直線(xiàn)l的斜率為0時(shí)，與橢圓相切的直線(xiàn)為y=1和y=?1，此時(shí)y=1也是圓的切線(xiàn)，所以直線(xiàn)y=1與圓和橢圓同時(shí)相切；

當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在并且不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+t，易知k<0，圓心到直線(xiàn)的距離d=4k+1+t1+k2=2①，直線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立得y=kx+tx24+y2故答案為y=1（答案不唯一）：.

【分析】根據(jù)題意，分直線(xiàn)l斜率不存在；斜率為0和斜率存在且不為0三種情況求與圓和橢圓同時(shí)相切的直線(xiàn)即可.15．【答案】11【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積【解析】【解答】解：過(guò)點(diǎn)P作下底面的垂線(xiàn)，垂足為O，再作PF⊥BC，PE⊥AB，PG⊥AC，分別交BC，AB，AC于點(diǎn)F，E，G，連接OE，OF，OG，因?yàn)镻O⊥平面ABC，所以PO⊥AB，又因?yàn)镻E∩PO=P，所以AB⊥平面PEO，即AB⊥OE，同理可得CB⊥OF，OG⊥AC，設(shè)PE=?1，PF=?2，PG=?3，OP=?，因?yàn)榈酌娴冗吶切蔚拿娣e為3，所以底面邊長(zhǎng)為2，又因?yàn)槿忮FP?ABC的表面積為6+3，所以三棱錐的側(cè)面積為6，即?1+?2+?3=6，所以?2故答案為：113

【分析】過(guò)點(diǎn)P作下底面的垂線(xiàn)，垂足為O，再作PF⊥BC，PE⊥AB，PG⊥AC，分別交BC，AB，AC于點(diǎn)F，E，G，連接OE，OF，OG，根據(jù)已知條件得到關(guān)于三棱錐高的方程，利用琴生不等式求出高的最大值，最后代入三棱錐體積公式求體積得最大值即可.16．【答案】54【知識(shí)點(diǎn)】分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理【解析】【解答】解：根據(jù)題意，至少拿出1個(gè)球，最多能拿出4個(gè)球：

當(dāng)拿出1個(gè)球時(shí)，有C81=8種不同的方法；

當(dāng)拿出2個(gè)球時(shí)，因?yàn)槟贸龅?個(gè)球不能相鄰，所以可看成拿出2個(gè)放入余下的6個(gè)球排成一排形成7個(gè)空位中，因此取2個(gè)球有C72=21種不同的方法；

當(dāng)拿出3個(gè)球時(shí)，由于3個(gè)球不相鄰，可看成拿出3個(gè)放入余下的5個(gè)球排成一排形成6個(gè)空位中，因此取3個(gè)球有C6故答案為：54.

【分析】根據(jù)已知條件，利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合組合、插空法列式計(jì)算即可.17．【答案】（1）解：CDAB//BD，（2）解：設(shè)λ(a→+kb→)=(k+1)a→+b→，則λa=k+1，λk=1解得k=?1±52【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的共線(xiàn)定理【解析】【分析】（1）由題意得CD→=2AB→，從而證得A，18．【答案】（1）證明：∵四邊形AA∴AA又∵平面ABC⊥平面AA1C1C且AA1∴AA1⊥（2）解：由AC=4，BC=5，∴AB⊥AC建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1∴BC1=(4，?3設(shè)平面A1C1B的一個(gè)法向量為n1則n1?BC1∴n1n2?BC1∴n2∴|cosn∴平面A1C1B與平面【知識(shí)點(diǎn)】直線(xiàn)與平面垂直的判定；二面角的平面角及求法【解析】【分析】（1）四邊形AA1C1C是正方形，AA1⊥AC．因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面AA1C1C，證得AA119．【答案】（1）解：由正弦定理，abcosC=由余弦定理aa（2）解：acosC=由a?b<c，acosC∈[【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理；余弦定理【解析】【分析】(1)由正弦定理得abcosC=c2，結(jié)合余弦定理a2+b20．【答案】（1）解：由題意知f(x)=ex?asinx則f′(x)=e故a=excosx顯然g(x)=excosx又g(0)=1，limx→π2當(dāng)a>1時(shí)，f′(x)=e又f′(0)=1?a<0，f′(π此時(shí)當(dāng)x∈(0，α)時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)所以f(x)在(0，f(x)在(α，π2)上單調(diào)遞增，故因此實(shí)數(shù)a的取值范圍a>1.（2）解：由題得，g(x)=gg'(x)在(?∞，ln(?b))上小于0g'(x)只需證明?b+bln(?b)≥bln(?即?1+即?1≤ln(e>2，該式子顯然成立【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)零點(diǎn)存在定理【解析】【分析】（1）由題意得a=excosx，設(shè)g(x)=excosx(x∈(0，π2))，根據(jù)g(x)在(0，π2)單調(diào)遞增，可得a>1，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，檢驗(yàn)實(shí)數(shù)a的取值范圍a>121．【答案】（1）解：設(shè)E：x2a∴E（2）設(shè)Mx1，y1，Nx2，y2、聯(lián)立方程組k1x?y+2k1=0x24+y2【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系【解析】【分析】（1）設(shè)E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，易得c=3，根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式可得b=1，再由a2=b2+c2，解得a=2，即可求得橢圓E的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)22．【答案】（1）解：22累加得Sna（2）解：設(shè)cc2(設(shè)n+2n+1=tft>1cn+1>ln?lnn=ln1+b設(shè)f(x)=x+ln(1?x)b原不等式得證（3）解：設(shè)每次乘坐到新列車(chē)的概率為p，還未乘坐過(guò)n列，則pn=n84E(X)ln85+E(X)ln84=2ln2+ln3+ln7≈4E(X)E(X)【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式【解析】【分析】（1）由題意2Sn=n2+an，得到an=2n?1?an?1，累加得an=n，檢驗(yàn)n=1時(shí)也成立，所以an=n；

（2）設(shè)cn=(1+12+13

試題分析部分1、試卷總體分布分析總分：150分分值分布客觀(guān)題（占比）65.0(43.3%)主觀(guān)題（占比）85.0(56.7%)題量分布客觀(guān)題（占比）13(59.1%)主觀(guān)題（占比）9(40.9%)2、試卷題量分布分析大題題型題目量（占比）分值（占比）多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，漏選得2分，有選錯(cuò)或未選的得0分。4(18.2%)20.0(13.3%)單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合要求的。8(36.4%)40.0(26.7%)填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。4(18.2%)20.0(13.3%)解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。6(27.3%)70.0(46.7%)3、試卷難度結(jié)構(gòu)分析序號(hào)難