江西省撫州市臨川第二中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研模擬試題含解析

江西省撫州市臨川第二中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)，若存在使得，則稱是的一個(gè)“巧值點(diǎn)”.下列選項(xiàng)中沒(méi)有“巧值點(diǎn)”的函數(shù)是()A. B.C. D.2．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A B.C. D.63．已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，則（）A.1 B.2C.3 D.44．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，已知，，，，則（）A. B.C. D.5．已知球O的半徑為2，球心到平面的距離為1，則球O被平面截得的截面面積為（）A. B.C. D.6．已知圓的方程為，直線：恒過(guò)定點(diǎn)，若一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)直線上一點(diǎn)反射后到達(dá)圓上的一點(diǎn)，則的最小值是（）A.3 B.4C.5 D.67．一質(zhì)點(diǎn)從出發(fā)，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，每秒的速度為秒后質(zhì)點(diǎn)所處的位置為（）A. B.C. D.8．已知橢圓的離心率為.雙曲線的漸近線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓的方程為A. B.C. D.9．已知復(fù)數(shù)滿足(其中為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B.C. D.10．已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.11．某工廠對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測(cè).右圖是根據(jù)抽樣檢測(cè)后的產(chǎn)品凈重（單位：克）數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96，106]，樣本數(shù)據(jù)分組為[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個(gè)數(shù)是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是.A.90 B.75C.60 D.4512．已知半徑為2的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5，12），則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（）A.10 B.11C.12 D.13二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程為_(kāi)________14．總體由編號(hào)為01，02，…，30的30個(gè)個(gè)體組成.選取方法是從下面隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開(kāi)始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為_(kāi)___________.66065747173407275017362523611665118918331119921970058102057864532345647615．若直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________16．若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2，則該雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C：的離心率為，點(diǎn)為橢圓C上一點(diǎn)（1）求橢圓C的方程；（2）若M，N是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且的角平分線總是垂直于y軸，求證：直線MN的斜率為定值18．（12分）已知圓.（1）若直線與圓相交于兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，求直線的方程；（2）若斜率為1的直線被圓截得的弦為，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)圓的圓心，求直線的方程.19．（12分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，（）.（Ⅰ）三棱錐的體積分別為，當(dāng)為何值時(shí)，最大？最大值為多少？（Ⅱ）若平面，證明：平面平面.20．（12分）如圖,是平行四邊形，已知，,平面平面.（1）證明：；（2）若，求平面與平面所成二面角的平面角的余弦值21．（12分）如圖，在四棱錐中，，為的中點(diǎn)，連接.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.22．（10分）已知等差數(shù)列和正項(xiàng)等比數(shù)列滿足（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用新定義：存在使得，則稱是的一個(gè)“巧點(diǎn)”，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)進(jìn)行一一的判斷即可【詳解】對(duì)于A，，則，令，解得或，即有解，故選項(xiàng)A的函數(shù)有“巧值點(diǎn)”，不符合題意；對(duì)于B，，則，令，令，則g(x)在x＞0時(shí)為增函數(shù)，∵(1)，(e)，由零點(diǎn)的存在性定理可得，在上存在唯一零點(diǎn)，即方程有解，故選項(xiàng)B的函數(shù)有“巧值點(diǎn)”，不符合題意；對(duì)于C，，則，令，故方程無(wú)解，故選項(xiàng)C的函數(shù)沒(méi)有“巧值點(diǎn)”，符合題意；對(duì)于D，，則，令，則.∴方程有解，故選項(xiàng)D的函數(shù)有“巧值點(diǎn)”，不符合題意故選：C2、C【解析】按照空間中點(diǎn)到直線的距離公式直接求解.【詳解】由題意，，，的方向向量，，則點(diǎn)到直線的距離為.故選：C.3、D【解析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)求值即可.【詳解】由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)知：.故選：D4、A【解析】利用空間向量加法法則直接求解【詳解】連接BD，如圖，則故選：A5、B【解析】根據(jù)球的性質(zhì)可求出截面圓的半徑即可求解.【詳解】由球的性質(zhì)可知，截面圓的半徑為，所以截面的面積.故選：B6、B【解析】求得定點(diǎn)，然后得到關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，然后可得，計(jì)算即可.【詳解】直線可化為，令解得所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則由,解得,所以點(diǎn)坐標(biāo)為.由線段垂直平分線的性質(zhì)可知，，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立），所以的最小值為4.故選:B.7、A【解析】利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】2秒后質(zhì)點(diǎn)所處的位置為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的線性運(yùn)算，考查了基本知識(shí)掌握的情況以及學(xué)生的綜合素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】由題意，雙曲線的漸近線方程為，∵以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，其面積為16，故邊長(zhǎng)為4，∴（2，2）在橢圓C：上，∴，∵，∴，∴，∴∴橢圓方程為：.故選D.考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)；雙曲線的幾何性質(zhì).9、A【解析】由題目條件可得，即，然后利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn).【詳解】因?yàn)?，所以，則故復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的相關(guān)概念及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，按照復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)計(jì)算即可，較簡(jiǎn)單.10、B【解析】構(gòu)造利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上單調(diào)遞減，利用單調(diào)性比較大小【詳解】設(shè)恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減，.故選：B11、A【解析】樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的頻率為(0.050＋0.100)×2＝0.3，頻數(shù)為36，∴樣本總數(shù)為.∵樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的頻率為(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，∴樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)為120×0.75＝90.考點(diǎn)：頻率分布直方圖.12、B【解析】由條件可得圓心的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓，然后可得答案.【詳解】因?yàn)榘霃綖?的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5，12），所以圓心的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓，所以圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意設(shè)所求雙曲線的方程為，∵點(diǎn)在雙曲線上，∴，∴所求的雙曲線方程為，即答案：14、23【解析】根據(jù)隨機(jī)表，由編號(hào)規(guī)則及讀表位置列舉出前5個(gè)符合要求的編號(hào)，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，依次得到的數(shù)字為57，47，17，34，07，27，50，17，36，25，23，……根據(jù)編號(hào)規(guī)則符合要求的依次為17，07，27，25，23，……所以第5個(gè)個(gè)體編號(hào)為23.故答案為：23.15、【解析】求導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得出原函數(shù)的單調(diào)性和極值，由此可求得答案.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，則，所以當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故答案為：.16、2【解析】求得雙曲線的一條漸近線方程，求得圓心和半徑，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式，可得a，b的關(guān)系，即可得到的值【詳解】一漸近線x＋ay＝0，被圓(x－2)2＋y2＝4所截弦長(zhǎng)為2，所以圓心到直線距為，即，a＝1.所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率公式，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、斜率公式進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】橢圓的離心率，又，∴∵橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，解得，∴橢圓C的方程為；【小問(wèn)2詳解】∵∠MPN的角平分線總垂直于y軸，∴MP與NP所在直線關(guān)于直線對(duì)稱．設(shè)直線MP的斜率為k，則直線NP的斜率為∴設(shè)直線MP的方程為，直線NP的方程為設(shè)點(diǎn)，由消去y，得∵點(diǎn)在橢圓C上，則有，即同理可得∴，又∴直線MN的斜率為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：由∠MPN的角平分線總垂直于y軸，得到MP與NP所在直線關(guān)于直線對(duì)稱是解題的關(guān)鍵.18、（1）（或（2）或【解析】(1)由條件可得，由此可求直線的斜率，由點(diǎn)斜式求直線的方程；(2)由條件可求到直線的距離，利用待定系數(shù)法求直線的方程.【小問(wèn)1詳解】圓，得圓心，半徑，直線的斜率：，設(shè)直線的斜率為，有，解得.所求直線的方程為：.（或【小問(wèn)2詳解】直線m被圓C截得的弦EF為直徑的圓經(jīng)過(guò)圓心C，∴圓心C到直線的距離為.設(shè)直線方?為，則解得或直線的方程為：或19、（Ⅰ）,.（Ⅱ）見(jiàn)解析.【解析】（Ⅰ）由題可知，，由和，結(jié)合基本不等式可求最值；（Ⅱ）連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，可得為中點(diǎn)，易證得，得平面，所以，進(jìn)而可證得，，所以平面EFM,因?yàn)槠矫?，從而得證.【詳解】（Ⅰ）由題可知，，.所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立）所以當(dāng)時(shí)，最大，最大值為.（Ⅱ）連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，所以為中點(diǎn).連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)椋?因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，所以平面，又平面，所?同理，因?yàn)?，所以平面EFM,因?yàn)槠矫?，所以平面平面B1D1M.20、(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】（1）推導(dǎo)出，取BC的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，可推出，從而平面，進(jìn)而，由此得到平面，從而；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸，以過(guò)點(diǎn)且與平行的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面與平面所成二面角的余弦值【詳解】（1）∵是平行四邊形，且∴，故，即取BC的中點(diǎn)F，連結(jié)EF.∵∴又∵平面平面∴平面∵平面∴∵平面∴平面，∵平面∴（2）∵,由（Ⅰ）得以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，則∴設(shè)平面的法向量為，則，即得平面一個(gè)法向量為由（1）知平面，所以可設(shè)平面的法向量為設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，則即平面與平面所成二面角的平面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】用空間向量求解立體幾何問(wèn)題的注意點(diǎn)（1）建立坐標(biāo)系時(shí)要確保條件具備，即要證明得到兩兩垂直的三條直線，建系后要準(zhǔn)確求得所需點(diǎn)的坐標(biāo)（2）用平面的法向量求二面角的大小時(shí)，要注意向量的夾角與二面角大小間的關(guān)系，這點(diǎn)需要通過(guò)觀察圖形來(lái)判斷二面角是銳角還是鈍角，然后作出正確的結(jié)論21、（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，而，所以四邊形是平行四邊形，因