其次章 矩陣變換和計(jì)算

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一、內(nèi)容提要

本章以矩陣的各種分解變換為主要內(nèi)容，介紹數(shù)值線性代數(shù)中的兩個(gè)基本問題：線性方程組的求解和特征系統(tǒng)的計(jì)算，屬于算法中的直接法?；舅枷霝閷⒂?jì)算繁雜的一般矩陣分解為較簡單計(jì)算的三角形矩陣.要求把握Gauss（列主元）消去法、矩陣的（帶列主元的）LU分解、平方根法、追趕法、條件數(shù)與誤差分析、QR分解、Shur分解、Jordan分解和奇異值分解.

(一)矩陣的三角分解及其應(yīng)用

1．矩陣的三角分解及其應(yīng)用

考慮一個(gè)n階線性方程組Ax?b的求解，當(dāng)系數(shù)矩陣具有如下三種特別形狀：對角矩陣D，下三角矩陣L和上三角矩陣U，這時(shí)方程的求解將會變得簡單.

?d1??D?????d2??l11????l21L?,????????ldn??n1l22?ln2??u11????U?,????????lnn??u21?un1??u22?un2?.

????unn??對于Dx?b，可得解為xi?bi/di,i?1,2,?,n.對于Lx?b，可得解為x1?b1/l11,xi?(bi??lk?1ni?1ikxk)/lii,i?2,3,?,n.

對于Ux?b，可得解為xn?bn/lnn,xi?(bi?k?i?1?likxk)/lii,i?n?1,n?2,?,1.

雖然對角矩陣的計(jì)算最為簡單，但是過于特別，任意非奇異矩陣并不都能對角化，因此較為普適的方法是對矩陣進(jìn)行三角分解.

1）．Gauss消去法

只通過一系列的初等行變換將增廣矩陣(A|b)化成上三角矩陣(U|c)，然后通過回代求與Ax?b同解的上三角方程組Ux?c的解．其中第k步消元過程中，在第k?1步得到的矩陣A(k?1)(k?1)的主對角元素akk稱為主元.從A(k?1)的第j行減去第k行的倍數(shù)ljk?k?1)a(jk(k?1)akk（k?j?n）稱為行乘數(shù)（子）.

2）．矩陣A的LU分解

對于n階方陣A，假使存在n階單位下三角矩陣L和n階上三角矩陣U，使得A?LU,則稱其為矩陣A的LU分解，也稱為Doolittle分解．Gauss消去法對應(yīng)的矩陣形式即為LU分解,其中L為所有行乘子組成的單位下三角矩陣,U為Gauss消去法終止后得到的上三角矩

陣.原方程組Ax?b分解為兩個(gè)三角形方程組?3）．矩陣LU分解的的存在和唯一性

?Ly?b.

?Ux?y假使n階矩陣A的各階順序主子式Dk(k?1,2,?,n)均不為零,則必有單位下三角矩陣L和上三角矩陣U，使得A?LU,而且L和U是唯一存在的．

4）．Gauss列主元消去法

矩陣每一列主對角元以下（含主對角元）的元素中,絕對值最大的數(shù)稱為列主元.為避免小主元作除數(shù)、或0作分母，在消元過程中，每一步都按列選主元的Guass消去法稱為Gauss列主元消去法．由于選取列主元使得每一個(gè)行乘子均為模不超過1的數(shù)，因此它避免了出現(xiàn)大的行乘子而引起的有效數(shù)字的損失.

5）．帶列主元的LU分解

Gauss列主元消去法對應(yīng)的矩陣形式即為帶列主元的LU分解,選主元的過程即為矩陣的行置換.因此,對任意n階矩陣A，均存在置換矩陣P、單位下三角矩陣L和上三角矩陣U，使得PA?LU．由于選列主元的方式不唯一,因此置換矩陣P也是不唯一的.原方程組

?Ly?PbAx?b兩邊同時(shí)乘以矩陣P得到PAx?Pb,再分解為兩個(gè)三角形方程組?.

Ux?y?5）．平方根法(對稱矩陣的Cholesky分解)

對任意n階對稱正定矩陣A，均存在下三角矩陣L使A?LL，稱其為對稱正定矩陣A的Cholesky分解.進(jìn)一步地,假使規(guī)定L的對角元為正數(shù)，則L是唯一確定的．原方程

T?Ly?bAx?b組分解為兩個(gè)三角形方程組?T.

Lx?y?利用矩陣乘法規(guī)則和L的下三角結(jié)構(gòu)可得

j?1???2???,ljj??a?ll?a?llij?jj?jk??ij?ikjk??/ljj,i=j+1,j+2,…,n,j=1,2,…,n.

k?1k?1????j?112計(jì)算次序?yàn)閘11,l21,?,ln1,l22,l32,?,ln2,?,lnn．由于ljk?ajj，k=1,2,…,j．因此在分解

過程中L的元素的數(shù)量級不會增長，故平方根法尋常是數(shù)值穩(wěn)定的，不必選主元．

6）．求解三對角矩陣的追趕法

?b1c1????a2b2c2??,它的LU分解可以得到兩個(gè)只有兩條對???對于三對角矩陣A????an?1bn?1cn?1???anbn???角元素非零的三角形矩陣

?1??u1d1?????l1ud?2???22?,U???.L??l3????????1un?1dn?1????????l1unn?????di?ci,i?1,2,?,n?1?u?b?11其中?

?li?ai/ui?1,i?2,3,?,n??ui?bi?lici?1,i?2,3,?,n計(jì)算次序是u1?l2?u2?l3?u3???ln?un.原方程組Ax?b分解為兩個(gè)三角形方程組??Ly?b.計(jì)算公式為

?Ux?yyi?bi?liyi?1,i?2,3,?,n,

,xi?(yi?cixi?1)/ui,i?n?1,n?2,?,1.

y1?b1,xn?yn/un該計(jì)算公式稱為求解三對角形方程組的追趕法．當(dāng)A嚴(yán)格對角占優(yōu)時(shí)，方程組Ax?b可用追趕法求解,解存在唯一且數(shù)值穩(wěn)定．

7）．矩陣的條件數(shù)

?1設(shè)A為非奇異矩陣，?為矩陣的算子范數(shù)，稱cond(A)?AA為矩陣A的條件

數(shù)．矩陣的條件數(shù)是線性方程組Ax?b,當(dāng)A或b的元素發(fā)生微小變化，引起方程組解的變化的定量描述,因此是刻畫矩陣和方程組性態(tài)的量.條件數(shù)越大,矩陣和方程組越為病態(tài),反之越小為良態(tài).常用的矩陣條件數(shù)為

∞-條件數(shù):cond?(A)?A?A1-條件數(shù):cond1(A)?A1A2-條件數(shù):cond2(A)?A?11?1?，

，

2A?12?max(AHA)?．

?min(AHA)矩陣的條件數(shù)具有如下的性質(zhì)：(1)cond(A)?1;

(2)cond(A)?cond(A);

(3)cond(?A)?cond(A)，??0，??R;

(4)假使U為正交矩陣，則cond2(U)?1，cond2(UA)?cond2(AU)?cond2(A).

?1一般狀況下，系數(shù)矩陣和右端項(xiàng)的擾動對解的影響為

定理2.5設(shè)Ax?b，A為非奇異矩陣，b為非零向量且A和b均有擾動．若A的擾

?1動δA十分小,使得AδA?1，則

δx?xcond(A)1?cond(A)?AA(δAδb?).Ab關(guān)于近似解的余量與它的相對誤差間的關(guān)系有

x的事后估計(jì)定理2.6設(shè)Ax?b，A為非奇異矩陣，b為非零向量，則方程組近似解~式為

~b?A~xx?xb?A~x1.??cond(A)cond(A)bxbx的余量，簡稱余量。其中稱b?A~x為近似解~8）．矩陣的QR分解

利用正交變換保條件數(shù)的性質(zhì),將滿秩矩陣化為主對角元都大于零的上三角矩陣,保持矩陣條件數(shù)不變.

設(shè)A是n階可逆實(shí)矩陣,則存在正交陣Q和對角元都大于零的上三角陣R，使得

A?QR,稱其為矩陣A的QR分解,并且cond2(A)?cond2(R).

為實(shí)現(xiàn)矩陣一般的QR分解，我們引入Householder矩陣H(ω)?I?2?ωω,其中?ωωω?Rn,ω?0.該矩陣具有如下性質(zhì)：

（1）特征值為：?(H(?))?1?2?T??(??T)即，1?2?T??T???1，1,?,1；

???n?1個(gè)（2）H(ω)?H(ω),即H陣為對稱陣；（3）H(ω)?H(ω)?In，即H陣為正交陣；（4）假使H(ω)x?y，則y2??x2(不變長度，鏡面反射)；

（5）設(shè)x?(x1,x2,?,xn)??Rn且x?0，取ω?x?x2e1，則

?x2????0?H(ω)x?H(x?xe)x?（6）????x2e1.21???0???提醒：Householder變換并不是直接變換n階矩陣A,而是通過重復(fù)變換矩陣的下三角部分

的列向量得到上三角矩陣,因此,每次變換的Householder矩陣

H(ω1),H(ω2),?,H(ωn-1)在逐漸降階,然后將它們分別“嵌入〞n階單位矩陣得到相應(yīng)的

n階正交陣Q1,Q2,?,Qn-1,最終得到正交陣Q?Q1,Q2,?,Qn-1.具體變換過程見例子.

(二)特別矩陣的特征系統(tǒng)

特征系統(tǒng)即為矩陣的特征值和特征向量,本節(jié)主要介紹與其計(jì)算相關(guān)的Schur分解.矩陣變換的思想主要為兩點(diǎn):一是三角矩陣的主對角元素即為其所有特征值,二是矩陣的特征多項(xiàng)式和特征值在相像變換下是不變的.因此,理論上獲得矩陣特征值的方法就是通過相像變換將其變?yōu)橐粋€(gè)三角矩陣.

Schur

定理

:

設(shè)

A?Cn?n，則存在酉陣

U?Cn?n使得

A?URUH,其中R?Cn?n為上三角矩陣．

由于實(shí)矩陣的特征值可能是復(fù)數(shù),因此尋常在復(fù)數(shù)域中考慮Schur分解.復(fù)數(shù)域中相應(yīng)的矩陣名稱及記號為:

U的共軛轉(zhuǎn)置:UH?UT,它在實(shí)數(shù)域即為轉(zhuǎn)置矩陣.U為酉陣:若UHU?UUH?I,它在實(shí)數(shù)域即為正交陣.

A為正規(guī)矩陣:若AHA?AAH.常見的Hermite陣（AH?A）、實(shí)對稱矩陣

THT（A?A）、斜Hermite陣（A??A）、實(shí)反對稱矩陣（A??A）、酉陣（AA?AA?I）和正交矩陣（AA?AA?I）等均為正規(guī)矩陣．Schur分解的一些特別狀況如下:

?上三角矩陣R為正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)R為對角矩陣.

?n階方陣A為正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)存在酉陣U使得A?UDU,D為n階對角陣.?n階方陣A為Hermite陣當(dāng)且僅當(dāng)存在酉陣U使得A?UDU,D為n階實(shí)對角陣.?n階方陣A為酉陣當(dāng)且僅當(dāng)存在酉陣U使得A?UDU,D為n階對角陣,且對角元的

模均為1.

(三)矩陣的Jordan分解介紹

矩陣的每一個(gè)特征值有兩個(gè)重要的指標(biāo):代數(shù)重?cái)?shù)和幾何