四川省達(dá)州市渠縣中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)測試題

四川省達(dá)州市渠縣中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)測試題第Ⅰ卷（選擇題共40分）一、選擇題（本大題共10個(gè)小題,每小題4分，滿分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的）.1．下列命題是真命題的是（）A．對角線相等的四邊形是矩形 B．平行四邊形的對角線相等 C．菱形的對角線互相垂直且平分 D．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形2.一個(gè)布袋里裝有5個(gè)球，其中3個(gè)紅球，2個(gè)白球，每個(gè)球除顏色外其他完全相同，從中任意摸出一個(gè)球，是紅球的概率是（）A. B. C. D.3.已知關(guān)于x的一元二次方程x2－kx－4＝0的一個(gè)根為2，則另一根是（）A.4 B.1 C.2 D.－24．如圖，直線，直線m、n分別與直線a、b、c相交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F，若，，，則（）第4題圖第5題圖第7題圖A． B． C．4 D．5.如圖，△ABC經(jīng)過平移得到△DEF，DE分別交BC，AC于點(diǎn)G，H，若，，則的度數(shù)為（）A.147° B.40° C.97° D.43°6.已知點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞BC，AB＝200，則AC的長度是（）A.200（﹣1） B.100（﹣1） C.100（3﹣） D.50（﹣1）7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，菱形ABCD的頂點(diǎn)D在x軸上，邊BC在y軸上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A.（0，-2） B.（0，-1.5） C.（0，-1） D.（-2，0）8.如圖①,有一張長32cm,寬16cm的長方形硬紙片,裁去角上2個(gè)小正方形和2個(gè)小長方形(圖中陰影部分)之后,恰好折成如圖②所示的有蓋紙盒.若紙盒的底面積是130cm2,則紙盒的高為()

A.2cmB.2.5cmC.3cmD.4cm9．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，連結(jié)DE．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連結(jié)EF．若△DEF的面積為1，則四邊形DECB的面積為（）A．5 B．4 C．3 D．2第8題圖第9題圖第10題圖10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，A(3，4)，線段CD=6，B為CD的中點(diǎn).點(diǎn)C在y軸上滑滑動(dòng)，當(dāng)線段AB長為最小值時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（）A．(1.2,0) B．(1.8,0) C．(3.6,0) D．(4,0)第Ⅱ卷（非選擇題共110分）二、填空題（每小題4分，共20分）．11.如圖，隨機(jī)閉合開關(guān)，，中的兩個(gè)，能夠讓燈泡發(fā)光的概率為______．12.分解因式：9x3﹣18x2+9x=________.

13.如圖，已知每個(gè)小方格的邊長均為1，則與的周長比為_________．第11題圖第13題圖第15題圖14．一元二次方程x2-6x+8=0的兩個(gè)根分別是等腰三角形的底邊長和腰長，該等腰三角形的周長為______．15.如圖，正方形ABCD的邊長為6，若，四邊形EFCG為正方形，則DG=______．三、解答題（共10小題，共90分，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）．16.（8分）解方程：（1）（2）17.（8分）先化簡，再求值：，其中x是不等式組的整數(shù)解.18.（9分）已知，且．（1）求k的值；（4分）（2）若x1，x2是方程的兩根，求的值．（5分）19.（7分）小莉的爸爸買了某演唱會(huì)的一張門票，她和哥哥兩人都很想去觀看，可門票只有一張，讀九年級的哥哥想了一個(gè)辦法，拿了八張撲克牌，將數(shù)字為1，2，3，5的四張牌給小莉，將數(shù)字為4，6，7，8的四張牌留給自己，并按如下游戲規(guī)則進(jìn)行：小莉和哥哥從各自的四張牌中隨機(jī)抽出一張，然后將抽出的兩張牌數(shù)字相加，如果和為偶數(shù)，則小莉去；如果和為奇數(shù)，則哥哥去．（1）請用樹狀圖或列表的方法表示出兩張牌數(shù)字相加和的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；（3分）（2）哥哥設(shè)計(jì)的游戲規(guī)則公平嗎？為什么？若不公平，請?jiān)O(shè)計(jì)一種公平的游戲規(guī)則．（4分）20.（本題滿分8分）已知：如圖，在等腰△ABC中，AB＝BC，BO平分∠ABC交AC于點(diǎn)O，延長BO至點(diǎn)D，使OD＝BO，連接AD，CD，過點(diǎn)D作DE⊥BD交BC的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（4分）（2）如果AB＝2，∠BAD＝60°，求DE的長．（4分）21.（8分）周末小朱和爸爸參觀了四川省渠縣中學(xué)新校區(qū)，整個(gè)校園設(shè)計(jì)風(fēng)格多元化，外觀簡潔素雅，內(nèi)部裝潢高端大氣.教室的窗外有一個(gè)路燈，每天晚上燈光都會(huì)透過窗戶照進(jìn)教室里，愛學(xué)習(xí)的小朱一直想知道這個(gè)路燈的準(zhǔn)確高度．在學(xué)了相似三角形的知識后，他意識到自己可以解決這個(gè)問題了.如圖，路燈頂部A處發(fā)光，光線透過窗子BC照亮地面的長度為DE，小朱測得窗戶距離地面高度BF=0.7m，窗高BC=1.4m，某一時(shí)刻，F(xiàn)D=0.7m，DE=2.1m，請你根據(jù)小朱測得的數(shù)據(jù)，求出路燈的高度OA．22．（10分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，，點(diǎn)E在邊BC上，且，作交線段AE于點(diǎn)F，連接BF．(1)求證：；（4分）(2)如果BE2=AB?EF，求證：∠ECF=∠BAE．（6分）23.（9分）某商店欲購進(jìn)A、B兩種商品，若購進(jìn)A種商品5件，B種商品3件，共需450元；若購進(jìn)A種商品10件，B種商品8件，共需1000元.（1）購進(jìn)A、B兩種商品每件各需多少元；（4分）（2）該商店購進(jìn)足夠多的A、B兩種商品，在銷售中發(fā)現(xiàn)，A種商品售價(jià)為每件80元，每天可銷售100件，現(xiàn)在決定對A種商品在每件80元的基礎(chǔ)上降價(jià)銷售，每件每降價(jià)1元，多售出20件，該商店對A種商品降價(jià)銷售后每天銷量超過200件；B種商品銷售狀況良好，每天可獲利7000元，為使銷售A、B兩種商品每天總獲利為10000元，A種商品每件降價(jià)多少元.（5分）24.（11分）在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，3），頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（8，0），直線交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿射線OD方向以每秒a個(gè)單位長度的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿x軸向原點(diǎn)O方向以每秒1個(gè)單位長度的速度移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)P停止移動(dòng).連接BP、CP，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.⑴點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（3分）⑵當(dāng)CP⊥OD時(shí)，求直線CP的表達(dá)式；（4分）⑶在點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在以點(diǎn)O、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BCQ相似.若存在,請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由.（4分）25.（12分）（1）發(fā)現(xiàn)：如圖①所示，在正方形中，點(diǎn)分別是上的兩點(diǎn)，連接．求的值；（2）探究：如圖②．在矩形中，為邊上一點(diǎn)，且．將沿翻折到處，延長交邊于點(diǎn)，延長交邊于點(diǎn)，且，求的長；（3）拓展：如圖③，在菱形中，為邊上的一點(diǎn)且，△ADE沿翻折得到與交于H且，直線交直線于點(diǎn)，求的長．四川省達(dá)州市渠縣中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)測試題第Ⅰ卷（選擇題共40分）一、選擇題（本大題共10個(gè)小題,每小題4分，滿分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．下列命題是真命題的是（C）A．對角線相等的四邊形是矩形 B．平行四邊形的對角線相等 C．菱形的對角線互相垂直且平分 D．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形2.一個(gè)布袋里裝有5個(gè)球，其中3個(gè)紅球，2個(gè)白球，每個(gè)球除顏色外其他完全相同，從中任意摸出一個(gè)球，是紅球的概率是（D）A. B. C. D.3.已知關(guān)于x的一元二次方程x2－kx－4＝0的一個(gè)根為2，則另一根是（D）A.4 B.1 C.2 D.－24．如圖，直線，直線m、n分別與直線a、b、c相交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F，若，，，則（D）第4題圖第5題圖第7題圖A． B． C．4 D．5.如圖，△ABC經(jīng)過平移得到△DEF，DE分別交BC，AC于點(diǎn)G，H，若，，則的度數(shù)為（D）A.147° B.40° C.97° D.43°6.已知點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞BC，AB＝200，則AC的長度是（B）A.200（﹣1） B.100（﹣1） C.100（3﹣） D.50（﹣1）7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，菱形ABCD的頂點(diǎn)D在x軸上，邊BC在y軸上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為（C）A.（0，-2） B.（0，-1.5） C.（0，-1） D.（-2，0）8.如圖①,有一張長32cm,寬16cm的長方形硬紙片,裁去角上2個(gè)小正方形和2個(gè)小長方形(圖中陰影部分)之后,恰好折成如圖②所示的有蓋紙盒.若紙盒的底面積是130cm2,則紙盒的高為(C)

A.2cmB.2.5cmC.3cmD.4cm9．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，連結(jié)DE．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連結(jié)EF．若△DEF的面積為1，則四邊形DECB的面積為（C）A．5 B．4 C．3 D．2第8題圖第9題圖第10題圖10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，A(3，4)，線段CD=6，B為CD的中點(diǎn).點(diǎn)C在y軸上滑滑動(dòng)，當(dāng)線段AB長為最小值時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（C）A．(1.2,0) B．(1.8,0) C．(3.6,0) D．(4,0)第Ⅱ卷（非選擇題共110分）二、填空題（每小題4分，共20分）11.如圖，隨機(jī)閉合開關(guān)，，中的兩個(gè)，能夠讓燈泡發(fā)光的概率為___23___．12.分解因式：9x3﹣18x2+9x=9x(x-1)2.

13.如圖，已知每個(gè)小方格的邊長均為1，則與的周長比為____2:1_____．第11題圖第13題圖第15題圖14．一元二次方程x2-6x+8=0的兩個(gè)根分別是等腰三角形的底邊長和腰長，該等腰三角形的周長為__10____．15.如圖，正方形ABCD的邊長為6，若，四邊形EFCG為正方形，則DG=___5___．三、解答題（共10小題，共90分，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）．16.（8分）解方程：（1）（2）解：移項(xiàng)得：（2x+3）2-4（2x+3）=0解：移項(xiàng)得：x2-4x=2因式分解得：（2x+3）（2x+3-4）=0配方得：（x-2）2=2∴2x+3=0或2x+3-4=0∴x-2=±2∴x1=-32，x2=12∴x1=2+2，x2=17.（8分）先化簡，再求值：，其中x是不等式組的整數(shù)解.解不等式組的解集為-1<x<3∵x為整數(shù)且x≠0，±1∴x=2=4x-4∴原式=4×2-4=418.（9分）已知，且．（1）求k的值；（4分）（2）若x1，x2是方程的兩根，求的值．（5分）解：（1）∵ab=cd∴a=3b，c=3d，e=3f ∴k=a(2)∵x1，x2是方程x2-3x+k-2=0的兩根.∴x1+x2=3，x1.x2=k-2∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1.x2=32-2(k-2)=9-2k+4=13-2k=13-2×3=719.（7分）小莉的爸爸買了某演唱會(huì)的一張門票，她和哥哥兩人都很想去觀看，可門票只有一張，讀九年級的哥哥想了一個(gè)辦法，拿了八張撲克牌，將數(shù)字為1，2，3，5的四張牌給小莉，將數(shù)字為4，6，7，8的四張牌留給自己，并按如下游戲規(guī)則進(jìn)行：小莉和哥哥從各自的四張牌中隨機(jī)抽出一張，然后將抽出的兩張牌數(shù)字相加，如果和為偶數(shù)，則小莉去；如果和為奇數(shù)，則哥哥去．（1）請用樹狀圖或列表的方法表示出兩張牌數(shù)字相加和的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；（3分）（2）哥哥設(shè)計(jì)的游戲規(guī)則公平嗎？為什么？若不公平，請?jiān)O(shè)計(jì)一種公平的游戲規(guī)則．（4分）解：（1）根據(jù)題意，列表如下：由上表可知，兩張牌數(shù)字的和的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有16種等可能結(jié)果.（2）不公平，理由如下：上表中16種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同,而和為偶數(shù)的結(jié)果共有6種，和為奇數(shù)的結(jié)果共有10種.∴小莉去的概率為616=∵3∴游戲規(guī)則不公平.游戲規(guī)則可修改為:數(shù)字5和數(shù)字4對調(diào).兩人去的概率相同.（答案不唯一）20.（本題滿分8分）已知：如圖，在等腰△ABC中，AB＝BC，BO平分∠ABC交AC于點(diǎn)O，延長BO至點(diǎn)D，使OD＝BO，連接AD，CD，過點(diǎn)D作DE⊥BD交BC的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（4分）（2）如果AB＝2，∠BAD＝60°，求DE的長．（4分）解：(1)證明：∵AB=BC,BO平分∠ABC

∴BD⊥AC,

AO=CO

∵BO=DO

∴四邊形ABCD是平行四邊形

∵BD⊥AC

∴四邊形ABCD是菱形

(2)∵四邊形ABCD是菱形

∴AC⊥BD,

AC平分∠BAD,

∴∠ABD=∠CBD,

∴∠BOC=∠AOB=90°

∵∠BAD=60°

∴∠BAC=12∠BAD=30°

∵∴BO=DO=12AB=1,即BD=1+1=2,

∵∠AOB=90°,∠BAC=30°

∴∠ABO=60°

∴∠DBC=∠ABD=60°

∵DE⊥BD,

∴∠BDE=90°

∴∠E=30°

∴BE=2BD=4

由勾股定理得：

DE=BE2-BD21.（8分）周末小朱和爸爸參觀了四川省渠縣中學(xué)新校區(qū)，整個(gè)校園設(shè)計(jì)風(fēng)格多元化，外觀簡潔素雅，內(nèi)部裝潢高端大氣.教室的窗外有一個(gè)路燈，每天晚上燈光都會(huì)透過窗戶照進(jìn)教室里，愛學(xué)習(xí)的小朱一直想知道這個(gè)路燈的準(zhǔn)確高度．在學(xué)了相似三角形的知識后，他意識到自己可以解決這個(gè)問題了.如圖，路燈頂部A處發(fā)光，光線透過窗子BC照亮地面的長度為DE，小朱測得窗戶距離地面高度BF=0.7m，窗高BC=1.4m，某一時(shí)刻，F(xiàn)D=0.7m，DE=2.1m，請你根據(jù)小朱測得的數(shù)據(jù)，求出路燈的高度OA．解：∵AO⊥OE,CF⊥OE∴CF||AO∴△BDF∽△ADO，△CEF∽△AEO∴BFAO=FD0∴0.7解得：AO=OD=6.3答：路燈OA的高度是6.3米.22．（10分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，，點(diǎn)E在邊BC上，且，作交線段AE于點(diǎn)F，連接BF．(1)求證：；（4分）(2)如果BE2=AB?EF，求證：∠ECF=∠BAE．（6分）證明：(1)∵AE||CD,

∴∠AEB=∠DCE

∴DE||AB,

∴∠ABE=∠DEC,

∠BAF=∠AED,

∵∠ABC=∠BCD,

∴∠ABE=∠AEB,∠DCE=∠DEC

∵AB=AE,DE=DC,

∴AF||CD,

AD||CF,

∴四邊形AFCD是平行四邊形，

∴AF=CD,

∴AF=DE,

在△ABF和△EAD中，AB=AE，∠BAF=∠AED，AF=DE

∴△ABF≌△EAD(SAS);

(2)BE2=AB.EF,

AB=AE,

∴BEAE又∵∠AEB=∠BEF,

∴ΔEBF∽ΔEAB,

∴∠FBE=∠BAE,

由(1)得△ABF≌△EAD

∴BF=AD,

在平行四邊形AFCD中，AD=CF,

BF=CF,

∴∠FBE=∠ECF

∴∠ECF=∠BAE.23.（9分）某商店欲購進(jìn)A、B兩種商品，若購進(jìn)A種商品5件，B種商品3件，共需450元；若購進(jìn)A種商品10件，B種商品8件，共需1000元.（1）購進(jìn)A、B兩種商品每件各需多少元；（4分）（2）該商店購進(jìn)足夠多的A、B兩種商品，在銷售中發(fā)現(xiàn)，A種商品售價(jià)為每件80元，每天可銷售100件，現(xiàn)在決定對A種商品在每件80元的基礎(chǔ)上降價(jià)銷售，每件每降價(jià)1元，多售出20件，該商店對A種商品降價(jià)銷售后每天銷量超過200件；B種商品銷售狀況良好，每天可獲利7000元，為使銷售A、B兩種商品每天總獲利為10000元，A種商品每件降價(jià)多少元.（5分）解：（1）設(shè)購進(jìn)A商品每一件需要x元，B商品每一件需要y元，由題意得：5x解得：x答：購進(jìn)A、B兩種商品每件各需要60元，50元.（2）設(shè)A商品每件降價(jià)z元，由題意得：100解得m>5，m2-15m+50=0所以：m1=10,m2=5(不符合題意，舍去）答：A種商品每件降價(jià)10元.24.（11分）在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，3），頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（8，0），直線交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿射線OD方向以每秒a個(gè)單位長度的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿x軸向原點(diǎn)O方向以每秒1個(gè)單位長度的速度移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)P停止移動(dòng).連接BP、CP，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.⑴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4,3）；（3分）⑵當(dāng)CP⊥OD時(shí)，求直線CP的表達(dá)式；（4分）⑶在點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在以點(diǎn)O、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BCQ相似.若存在,請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由.（4分）解法一：（2）解：設(shè)直線CP的表達(dá)式y(tǒng)=kx+b∵CP⊥直線y=3∴k=—4又∵直線CP過點(diǎn)C（8.0）∴8k+b=0∴8×（-43）∴b=32∴直線CP的表達(dá)式y(tǒng)=-43x解法二：（2）解：過點(diǎn)P作PE⊥OC于點(diǎn)E∵A（0,3）D（4,3）C（8,0）∴OA=3，AD=4，OC=8易證：△AOD∽△PCO∴OAAD=∴CP設(shè)CP=3x,PO=4x由勾股定理：PO2+CP2=OC2，即(4x)2+(3x)2=82∴x=8∴PO=325,CP=由弦高公式得：PO.CP=OC.PE，即325×24∴PE=96∵PE0E∴0E=128∴P點(diǎn)坐標(biāo)（12825，96設(shè)直線CP的表達(dá)式y(tǒng)=kx+b，組成方程組為8解得k=-43，b=∴直線CP的表達(dá)式y(tǒng)=-43x解法三：（2）解：過點(diǎn)P作PE⊥OC于點(diǎn)E∵A（0,3）D（4,3）C（8,0）∴OA=3,AD=4，OC=8由勾股定理：OA2+AD2=OD2，即32+42=OD2∴OD=5易證：△AOD∽△PCO∴ODCO=AD∴OP=32由射影定理得：OP2=OE.OC,即(325)2=OE×8∴CE=OC-OE=8-12825=由射影定理得：PE2=OE.CE,即PE2=12825×7225得∴P點(diǎn)坐標(biāo)（12825，96設(shè)直線CP的表達(dá)式y(tǒng)=kx+b，組成方程組為8解得k=