江蘇常熟市張橋中學2024屆高二上數學期末統(tǒng)考模擬試題含解析

江蘇常熟市張橋中學2024屆高二上數學期末統(tǒng)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．有一組樣本數據、、、，由這組數據得到新樣本數據、、、，其中，為非零常數，則（）A.兩組樣本數據的樣本平均數相同 B.兩組樣本數據的樣本標準差相同C.兩組樣本數據的樣本中位數相同 D.兩組樣本數據的樣本眾數相同2．圓與圓的位置關系是（）A.內含 B.相交C.外切 D.外離3．過拋物線C：y2=4x的焦點F分別作斜率為k1、k2的直線l1、l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，若|k1·k2|=2，則|AB|+|DE|的最小值為（）A.10 B.12C.14 D.164．過點A(3，3)且垂直于直線的直線方程為A. B.C. D.5．意大利數學家斐波那契，以兔子繁殖為例，引入“兔子數列”，，，，，，，，…，在實際生活中很多花朵的瓣數恰是斐波那契數列中的數，斐波那契數列在物理化學等領域也有著廣泛的應用.已知斐波那契數列滿足：，，，若，則等于（）A. B.C. D.6．若，則下列結論不正確的是（）A. B.C. D.7．設，，若，其中是自然對數底，則（）A. B.C. D.8．已知，，，則下列判斷正確的是（）A. B.C. D.9．直線，若的傾斜角為60°，則的斜率為（）A. B.C. D.10．數學家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知△ABC的頂點分別為，，，則△ABC的歐拉線方程為（）A. B.C. D.11．如圖，將邊長為4的正方形折成一個正四棱柱的側面，則異面直線AK和LM所成角的大小為（）A.30° B.45°C.60° D.90°12．復數的虛部為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．與同一條直線都相交的兩條直線的位置關系是________14．直線l過拋物線的焦點F，與拋物線交于A，B兩點，若，則直線l的斜率為______15．若方程表示的曲線是圓，則實數的k取值范圍是___________.16．在圓M：中，過點的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）過原點O的圓C，與x軸相交于點A(4,0)，與y軸相交于點B(0,2)(1)求圓C的標準方程；(2)直線l過B點與圓C相切，求直線l的方程，并化為一般式18．（12分）如圖，已知橢圓：經過點，離心率（1）求橢圓的標準方程；（2）設是經過右焦點的任一弦（不經過點），直線與直線：相交于點，記，，的斜率分別為，，，求證：，，成等差數列19．（12分）已知函數在處取得極值7（1）求的值；（2）求函數在區(qū)間上的最大值20．（12分）新冠肺炎疫情發(fā)生以來，我國某科研機構開展應急科研攻關，研制了一種新型冠狀病毒疫苗，并已進入二期臨床試驗.根據普遍規(guī)律，志愿者接種疫苗后體內會產生抗體，人體中檢測到抗體，說明有抵御病毒的能力.通過檢測，用表示注射疫苗后的天數，表示人體中抗體含量水平（單位：，即：百萬國際單位/毫升），現測得某志愿者的相關數據如下表所示：天數123456抗體含量水平510265096195根據以上數據，繪制了散點圖.（1）根據散點圖判斷，與（a，b，c，d均為大于0的實數）哪一個更適宜作為描述y與x關系的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據（1）的判斷結果求出y關于x的回歸方程，并預測該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值；（3）從這位志愿者前6天的檢測數據中隨機抽取4天的數據作進一步的分析，記其中的y值大于50的天數為X，求X的分布列與數學期望.參考數據：3.5063.673.4917.509.4912.95519.014023.87其中.參考公式：用最小二乘法求經過點，，，，的線性回歸方程的系數公式，；.21．（12分）已知等比數列{an}中，a1=1，且2a2是a3和4a1的等差中項.數列{bn}滿足b1=1，b7=13，且bn+2+bn=2bn+1.(1)求數列{an}的通項公式；(2)求數列{an+bn}前n項和Tn.22．（10分）設數列的前n項和為，且滿足.（1）證明為等比數列，并求數列通項公式；（2）在（1）的條件下，設，求數列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】利用平均數公式可判斷A選項；利用標準差公式可判斷B選項；利用中位數的定義可判斷C選項；利用眾數的定義可判斷D選項.【詳解】對于A選項，設數據、、、的平均數為，數據、、、的平均數為，則，A錯；對于B選項，設數據、、、的標準差為，數據、、、的標準差為，，B對；對于C選項，設數據、、、中位數為，數據、、、的中位數為，不妨設，則，若為奇數，則，；若為偶數，則，.綜上，，C錯；對于D選項，設數據、、、的眾數為，則數據、、、的眾數為，D錯.故選：B.2、C【解析】分別求出兩圓的圓心、半徑，再求出兩圓的圓心距即可判斷作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓，即的圓心，半徑，則，即有，所以圓與圓外切.故選：C3、B【解析】設出l1的方程為，與拋物線聯立后得到兩根之和，兩根之積，用弦長公式表達出，同理表達出，利用基本不等式求出的最小值.【詳解】拋物線C：y2=4x的焦點F為，直線l1的方程為，則聯立后得到，設，，，則，同理設可得：，因為|k1·k2|=2，所以，當且僅當，即或時，等號成立，故選：B4、D【解析】過點A(3，3)且垂直于直線的直線斜率為，代入過的點得到.故答案為D.5、A【解析】利用可化簡得，由此可得.【詳解】由得：，，即.故選：A.6、B【解析】由得出，再利用不等式的基本性質和基本不等式來判斷各選項中不等式的正誤.【詳解】，，，，A選項正確；，B選項錯誤；由基本不等式可得，當且僅當時等號成立，，則等號不成立，所以，C選項正確；，，D選項正確.故選：B.【點睛】本題考查不等式正誤的判斷，涉及不等式的基本性質和基本不等式，考查推理能力，屬于基礎題.7、A【解析】利用函數的單調性可得正確的選項.【詳解】令，因為均為，故為上的增函數，由可得，故，故選：A.8、A【解析】根據對數函數的單調性，以及根式的運算，確定的大小關系，則問題得解.【詳解】因為，即；又，故.故選：A.9、D【解析】直線,斜率乘積為，斜線斜率等于傾斜角的正切值.【詳解】,，所以.故選：D.10、A【解析】求出重心坐標，求出AB邊上高和AC邊上高所在直線方程，聯立兩直線可得垂心坐標，即可求出歐拉線方程.【詳解】由題可知，△ABC的重心為，可得直線AB的斜率為，則AB邊上高所在的直線斜率為，則方程為，直線AC的斜率為，則AC邊上高所在的直線斜率為2，則方程為，聯立方程可得△ABC的垂心為，則直線GH斜率為，則可得直線GH方程為，故△ABC的歐拉線方程為.故選：A.11、D【解析】作出折疊后的正四棱錐，確定線面關系，從而把異面直線的夾角通過平移放到一個平面內求得.【詳解】由題知，折疊后的正四棱錐如圖所示，易知K為的四等分點，L為的中點，M為的四等分點，，取的中點N，易證，則異面直線AK和LM所成角即直線AK和KN所成角，在中，，，故故選：D12、D【解析】直接根據.復數的乘法運算結合復數虛部的定義即可得出答案【詳解】解：，所以復數的虛部為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、平行，相交或者異面【解析】由空間中兩直線的位置關系求解即可【詳解】由題意與同一條直線都相交的兩條直線的位置關系可能是：平行，相交或者異面，故答案為：平行，相交或者異面，14、【解析】如圖，設，兩點的拋物線的準線上的射影分別為，，過作的垂線，在三角形中，等于直線的傾斜角，其正切值即為值，利用在直角三角形中，求得，從而得出直線的斜率【詳解】解：如圖，當在第一象限時，設，兩點的拋物線的準線上的射影分別為，，過作的垂線，在三角形中，等于直線的傾斜角，其正切值即為值，由拋物線的定義可知：設，則，，，在直角三角形中，，所以，則直線的斜率；當在第四象限時，同理可得，直線的斜率，綜上可得直線l的斜率為；故答案為：15、【解析】根據二元二次方程表示圓的條件求解【詳解】由題意，故答案為：16、【解析】首先將圓的方程配成標準式，即可得到圓心坐標與半徑，從而可得點在圓內，即可得到過點的最長弦、最短弦弦長，即可求出四邊形的面積；【詳解】解：圓M：，即，圓心，半徑，點，則，所以點在圓內，所以過點的最長弦，又，所以最短弦，所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）設圓的標準方程為：，則分別代入原點和，得到方程組，解出即可得到；（2）由（1）得到圓心為，半徑，由于直線過點與圓相切，則分別討論斜率存在與否，運用直線與圓相切的條件：，解方程即可得到所求直線方程.【詳解】(1)設圓C的標準方程為，則分別代入原點和，得到，解得則圓的標準方程為(2)由(1)得到圓心為，半徑，由于直線過點與圓相切，當時，到的距離為2，不合題意，舍去；當斜率存在時，設，由直線與圓相切，得到，即有，解得，故直線，即為點睛：本題考查直線與圓位置關系，考查圓的方程的求法和直線與圓相切的條件，考查運算能力，屬于中檔題；圓的方程有一般形式與標準形式，在該題中利用待定系數法將其設為標準形式，列、解出方程組即可；當直線與圓相切時等價于圓心到直線的距離等于半徑，已知直線上一點寫出直線的方程需注意斜率不存在的情形.18、（1）；（2）證明見解析【解析】（1）由點在橢圓上得到，再由，得到，聯立方程組，求得的值，即可得到橢圓的標準方程；（2）由（1）得橢圓右焦點坐標，設直線的方程為，聯立方程組，求得，及，結合斜率公式得到，結合，求得，即可得到，，成等差數列【詳解】（1）由題意，點在橢圓上得，可得①又由，所以②由①②聯立且，可得，，，故橢圓的標準方程為（2）由（1）知，橢圓的方程為，可得橢圓右焦點坐標，顯然直線斜率存在，設的斜率為，則直線的方程為，聯立方程組，整理得，設，，則有，，由直線的方程為，令，可得，即，從而，，，又因為共線，則有，即有，所以，將，代入得，又由，所以，即，，成等差數列【點睛】直線與圓錐曲線的綜合問題的求解策略：對于直線與圓錐曲線的位置關系的綜合應用問題，通常聯立直線方程與圓錐曲線方程，應用一元二次方程根與系數的關系，以及弦長公式等進行求解，此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力19、（1）；（2）.【解析】（1）先對函數求導，根據題中條件，列出方程組求解，即可得出結果；（2）先由（1）得到，導數的方法研究其單調性，進而可求出最值.【詳解】（1）因為，所以，又函數在處取得極值7，，解得；，所以，由得或；由得；滿足題意；（2）又，由（1）得在上單調遞增，在上單調遞減，因此【點睛】方法點睛：該題考查的是有關利用導數研究函數的問題，解題方法如下：（1）先對函數求導，根據題意，結合函數在某個點處取得極值，導數為0，函數值為極值，列出方程組，求得結果；（2）將所求參數代入，得到解析式，利用導數研究其單調性，得到其最大值.20、（1）（2），4023.87（3）分布列答案見解析，數學期望：【解析】（1）由于這些點分布在一條曲線的附近，從而可選出回歸方程，（2）設，，則建立w關于x的回歸方程，然后根據公式和表中的數據求解回歸方程即可，再將代入回歸方程可求得在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值，（3）由題意可知x的可能取值為0，1，2，然后求對應的概率，從而可求出分布列和期望【小問1詳解】根據散點圖可知這些點分布在一條曲線的附近，所以更適合作為描述y與x關系的回歸方程類型.【小問2詳解】設，變換后可得，設，建立w關于x的回歸方程，，所以所以w關于x的回歸方程為，所以，當時，，即該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值約為4023.87miu/mL.【小問3詳解】由表格數據可知，第5，6天的y值大于50，故x的可能取值為0，1，2，，，，X的分布列為012.21、(1)；(2).【解析】(1)根據已知條件求出等比數列的公比，然后利用等比數列通項公式求解即可；(2)根據已知求出數列的通項公式，再結合(1)中結論并利用分組求和法求解