吉林省長春市東北師大附中2023-2024學年高二數(shù)學第一學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

吉林省長春市東北師大附中2023-2024學年高二數(shù)學第一學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在直三棱柱中，，M，N分別是，的中點，，則AN與BM所成角的余弦值為（）A. B.C. D.2．橢圓的長軸長為（）A. B.C. D.3．已知點，，，動點P滿足，則的取值范圍為（）A. B.C. D.4．已知拋物線的焦點為F，點A在拋物線上，直線FA與拋物線的準線交于點M，O為坐標原點.若，且，則（）A.1 B.2C.3 D.45．將函數(shù)圖象上所有點橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再將所得圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.C. D.6．已知橢圓的左右焦點分別為，，點B為短軸的一個端點，則的周長為（）A.20 B.18C.16 D.97．已知，，且，則（）A. B.C. D.8．某學校要從5名男教師和3名女教師中隨機選出3人去支教，則抽取的3人中，女教師最多為1人的選法種數(shù)為（）A.10 B.30C.40 D.469．圓與圓的位置關(guān)系是()A.內(nèi)切 B.相交C.外切 D.相離10．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，則下列結(jié)論中正確的為（）A.與互為對立事件 B.與互斥C.與相等 D.11．已知函數(shù)，其中e是自然數(shù)對數(shù)的底數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍是A. B.C. D.12．若直線與平行，則實數(shù)m等于（）A.1 B.C.4 D.0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是______14．當曲線與直線有兩個不同的交點時，實數(shù)k的取值范圍是____________15．下方莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名學生在一次英語聽力測試中的成績(單位：分)．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則的值為__________16．如圖，在四棱錐中，平面，底面為矩形，分別為的中點，連接，則點到平面的距離為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的極值18．（12分）如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD為矩形，，AB=2，，平面，，，E是SA的中點（1）求直線EF與平面SCD所成角的正弦值；（2）在直線SC上是否存在點M，使得平面MEF平面SCD？若存在，求出點M的位置；若不存在，請說明理由19．（12分）某城市一入城交通路段限速60公里/小時，現(xiàn)對某時段通過該交通路段的n輛小汽車車速進行統(tǒng)計，并繪制成頻率分布直方圖（如圖）.若這n輛小汽車中，速度在50~60公里小時之間的車輛有200輛.（1）求n的值；（2）估計這n輛小汽車車速的中位數(shù)；（3）根據(jù)交通法規(guī)定，小車超速在規(guī)定時速10%以內(nèi)（含10%）不罰款，超過時速規(guī)定10%以上，需要罰款.試根據(jù)頻率分布直方圖，以頻率作為概率的估計值，估計某輛小汽車在該時段通過該路段時被罰款的概率.20．（12分）如圖，在棱長為2的正方體中，，分別為線段，的中點.（1）求點到平面的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值.21．（12分）中國男子籃球職業(yè)聯(lián)賽（ChineseBasketballAssociation），簡稱中職籃（CBA），由中國國家體育總局籃球運動管理中心舉辦的男子職業(yè)籃球賽事，旨在全面提高中國籃球運動水平，其中誕生了姚明、王治郅、易建聯(lián)、朱芳雨等球星．該比賽分為常規(guī)賽和季后賽．由于新冠疫情關(guān)系，某年聯(lián)賽采用賽會制：所有球隊集中在同一個地方比賽，分兩個階段進行，每個階段采用循環(huán)賽，分主場比賽和客場比賽，積分排名前8球隊進入季后賽．下表是A隊在常規(guī)賽60場比賽中的比賽結(jié)果記錄表．階段比賽場數(shù)主場場數(shù)獲勝場數(shù)主場獲勝場數(shù)第一階段30152010第二階段30152515（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，完成下面列聯(lián)表：A隊勝A隊負合計主場5客場20合計60（2）根據(jù)（1）中列聯(lián)表，判斷是否有90%的把握認為比賽的“主客場”與“勝負”之間有關(guān)？附：．0.1000.0500.025k2.7063.8415.02422．（10分）在中內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且（1）求角A（2）若，，求的面積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】構(gòu)建空間直角坐標系，根據(jù)已知條件求AN與BM對應的方向向量，應用空間向量夾角的坐標表示求AN與BM所成角的余弦值.【詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標系，∴，，，，∴，，∴，所以AN與BM所成角的余弦值為.故選：D2、D【解析】由橢圓方程可直接求得.【詳解】由橢圓方程知：，長軸長為.故選：D.3、C【解析】由題設分析知的軌跡為(不與重合)，要求的取值范圍，只需求出到圓上點的距離范圍即可.【詳解】由題設，在以為直徑的圓上，令，則(不與重合)，所以的取值范圍，即為到圓上點的距離范圍，又圓心到的距離，圓的半徑為2，所以的取值范圍為，即.故選：C4、D【解析】設，由和在拋物線上，求出和，利用求出p.【詳解】過A作AP垂直x軸與P.拋物線的焦點為，準線方程為.設，因為，所以，解得：.因為在拋物線上，則.所以，即，解得：.故選：D5、A【解析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換，由逆向變換即可求解.【詳解】由已知的函數(shù)逆向變換，第一步，向左平移個單位長度，得到的圖象；第二步，圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到的圖象，即的圖象.故.故選：A6、B【解析】根據(jù)橢圓的定義求解【詳解】由橢圓方程知，所以，故選：B7、D【解析】利用空間向量共線的坐標表示可求得、的值，即可得解.【詳解】因為，則，所以，，，因此，.故選：D8、C【解析】可分為女教師0人，男教師3人和女教師1人，男教師2人兩種情況，用組合數(shù)表示計算即得解【詳解】女教師最多為1人即女教師為0人或者1人若女教師為0人，則男教師有3人，有種選擇；若女教師為1人，則男教師2人，有種選擇；故女教師最多為1人的選法種數(shù)為種故選：C9、B【解析】判斷圓心距與兩圓半徑之和、之差關(guān)系即可判斷兩圓位置關(guān)系.【詳解】由得圓心坐標為，半徑，由得圓心坐標為，半徑，∴，，∴，即兩圓相交.故選：B.10、D【解析】利用互斥事件和對立事件的定義分析判斷即可【詳解】因為拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣反面朝上，4種情況，其中事件包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上2種情況，事件包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣反面朝上2種情況，所以與不互斥，也不對立，也不相等，，所以ABC錯誤，D正確，故選：D11、B【解析】利用函數(shù)的奇偶性將函數(shù)轉(zhuǎn)化為f（M）≤f（N）的形式，再利用單調(diào)性脫去對應法則f，轉(zhuǎn)化為一般的二次不等式求解即可【詳解】由于，，則f（﹣x）＝﹣x3+e﹣x﹣ex＝﹣f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)故原不等式f（a﹣1）+f（2a2）≤0，可轉(zhuǎn)化為f（2a2）≤﹣f（a﹣1）＝f（1﹣a），即f（2a2）≤f（1﹣a）；又f'（x）＝3x2﹣cosx+ex+e﹣x，由于ex+e﹣x≥2，故ex+e﹣x﹣cosx>0，所以f'（x）＝3x2﹣cosx+ex+e﹣x≥0恒成立，故函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，則由f（2a2）≤f（1﹣a）可得，2a2≤1﹣a，即2a2+a﹣1≤0，解得，故選B【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判定及應用，考查了不等式的解法，屬于中檔題12、B【解析】兩直線平行的充要條件【詳解】由于，則，.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題可得，即求.【詳解】因為方程表示焦點在軸上的雙曲線，則，解得.故答案為：.14、【解析】求出直線恒過的定點，結(jié)合曲線的圖象，數(shù)形結(jié)合，找出臨界狀態(tài)，即可求得的取值范圍.【詳解】因為，故可得，其表示圓心為，半徑為的圓的上半部分；因為，即，其表示過點，且斜率為的直線.在同一坐標系下作圖如下：不妨設點，直線斜率為，且過點與圓相切的直線斜率為數(shù)形結(jié)合可知：要使得曲線與直線有兩個不同的交點，只需即可.容易知：；不妨設過點與相切的直線方程為，則由直線與圓相切可得：，解得，故.故答案為：.15、9【解析】閱讀莖葉圖，由甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為可得，乙組的平均數(shù)：，解得：，則:點睛：莖葉圖的繪制需注意：(1)“葉”的位置只有一個數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一；(2)重復出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復記錄，不能遺漏，特別是“葉”的位置的數(shù)據(jù)16、【解析】利用轉(zhuǎn)化法，根據(jù)線面平行的性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的體積等積性進行求解即可.【詳解】設是的中點，連接，因為是的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，因此點到平面的距離等于點到平面的距離，設為，因為平面，所以，，于是有，底面為矩形，所以有，，因為平面，所以，于是有：，由余弦定理可知：cos∠PEC=所以，因此，，因為，所以，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）極大值為12，極小值-15【解析】（1）利用導數(shù)的幾何意義求解即可.（2）利用導數(shù)求解極值即可.【小問1詳解】，，切點為，故切線方程為，即；【小問2詳解】令，得或列表：-12+0-0+單調(diào)遞增12單調(diào)遞減-15單調(diào)遞增函數(shù)的極大值為，函數(shù)的極小值為.18、（1）（2）存在，M與S重合【解析】（1）分別取AB，BC中點M，N，易證兩兩互相垂直，以為正交基底，建立空間直角坐標系，先求得平面SCD的一個法向量，再由求解；（2）假設存在點M，使得平面MEF平面SCD，再求得平面MEF的一個法向量，然后由求解.小問1詳解】解：分別取AB，BC中點M，N，則，又平面則兩兩互相垂直，以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系，，所以，設平面SCD的一個法向量為，，，則，，直線EF與平面SBC所成角的正弦值為.【小問2詳解】假設存在點M，使得平面MEF平面SCD，，，設平面MEF的一個法向量，，令，則，平面MEF平面SCD，，，存在點，此時M與S重合.19、（1）（2）（3）【解析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合頻率與頻數(shù)的關(guān)系，即可求解（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合中位數(shù)公式，即可求解（3）在這500輛小車中，有40輛超速，再結(jié)合古典概型的概率公式，即可求解【小問1詳解】解：由直方圖可知，速度在公里小時之間的頻率為，所以，解得【小問2詳解】解：設這輛小汽車車速的中位數(shù)為，則，解得小問3詳解】解：由交通法則可知，小車速度在66公里小時以上需要罰款，由直方圖可知，小車速度在之間有輛，由統(tǒng)計的有關(guān)知識，可以認為車速在公里小時之間的小車有輛，小車速度在之間有輛，故估計某輛小汽車在該時段通過該路段時被罰放的概率為20、（1）；（2）.【解析】（1）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系.可根據(jù)題意寫出各個點的坐標，進而求出平面的法向量和的坐標，點到平面的距離.計算即可求出答案.（2）由（1）知平面的法向量，在把平面的法向量表示出來，平面與平面夾角的余弦值為，計算即可求出答案.【小問1詳解】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系.由于正方體的棱長為2和，分別為線段，的中點知，.設平面的法向量為..則..故點到平面的距離.【小問2詳解】平面的法向量，平面與平面夾角的余弦值.21、（1）填表見解析（2）沒有【解析】（1）