層次分析法說課課件

層次分析法層次分析法(AHP)首先是由T．L．SAATY在20世紀70年代提出來的，是系統(tǒng)工程中經常使用的一種評價與決策方法。它特別適用于處理那些多目標、多層次的復雜大系統(tǒng)問題和難于完全用定量方法來分析與決策的社會系統(tǒng)工程的復雜問題。它可以將人們的主觀判斷用數量形式來表達和處理，是一種定性和定量相結合的分析方法。1使用層次分析法的關鍵問題是要搞清楚問題的背景和條件，要達到的目標、涉及的因素和解決問題的途徑與方案等等。這就需要將問題概念化，構成概念之間的邏輯結構關系，即層次結構模型，然后通過建立判斷矩陣，進行排序計算，最后就能得到滿意的決策結果。下面通過一個實際例子扼要介紹層次分析法的基本原理和步驟。2

某工廠在擴大企業(yè)自主權后，有一筆企業(yè)留成利潤要由廠

領導和職工代表大會決定如何使用?？梢怨┻x擇的方案有：(1)作為獎金發(fā)給職工

(2)擴建職工宿舍、食堂、托兒所等福利設施

(3)辦職工業(yè)余技術學校

(4)建圖書館、俱樂部、文工團與體工隊

(5)引進技術設備進行企業(yè)技術改造這些方案都有其合理的因素，但哪一個方案更能調動職工的積極性，更能促進企業(yè)快速發(fā)展呢?這是廠領導和職工代表大會所面臨的需要分析決策的問題。3層次分析法（AHP）求解流程圖建立層次結構分析模型構造判斷矩陣層次單排序及其一致性檢驗層次總排序的一致性檢驗層次總排序4層次分析法的基本步驟一、建立層次結構分析模型二、構造判斷矩陣三、層次單排序及其一致性檢驗四、層次總排序五、層次總排序的一致性檢驗5一、建立層次結構分析模型在深入分析所面臨的問題以后，應將問題所包含的因素劃分為下面的層次，如目標層，準則層，指標層，方案層，措施層等等，用框圖的形式說明層次的遞階結構與因素的從屬關系。當某個層次包含的因素較多時，可以將該層次進一步劃分為若干個層次。對于上例，經過分析后，上面五個措施可以歸結為三個方面的準則，即(1)調動職工勞動積極性(2)提高企業(yè)技術水平；(3)改善職工物質文化生活。6以上三個準則都是以合理使用企業(yè)利潤，促進企業(yè)發(fā)展為目的的。因此，整個層次結構分析模型可以分成三層：

最高層(目的層)——決策的目的、要解決的問題。(合理使用利潤，促進企業(yè)發(fā)展)。

中間層——決策時的備選方案。(各種使用企業(yè)留成利潤方案所應當考慮的準則)——進一步調動廣大職工勞動積極性，大力提高企業(yè)技術水平和盡力改善職工物質文化生活。

最低層——考慮的因素、決策的準則。

（所考慮的五種措施）—選擇最優(yōu)方案。這種層次結構分析模型可用下圖所示。7合理使用企業(yè)利潤促進企業(yè)發(fā)展調動職工勞動積極性B1提高企業(yè)技術水平B2改善職工物質文化生活B3發(fā)獎金S1擴大集體福利事業(yè)S2辦職工業(yè)余技校S3建圖書館俱樂部文體工隊S4引進新技術設備S5目標（A）層準則（B）層措施層(S)8層次分析法的基本步驟一、建立層次結構分析模型二、構造判斷矩陣三、層次單排序及其一致性檢驗四、層次總排序五、層次總排序的一致性檢驗9二、構造判斷矩陣判斷矩陣是層次分析法的計算基礎，判斷矩陣元素的值反映了人們對各因素相對重要性的認識，也直接影響決策的效果。判斷矩陣的元素一般采用1~9及其倒數的標度方法。標度含義135792，4，6，8倒數表示兩個因素相比，具有同樣重要性表示兩個因素相比，一個比另一個稍微重要表示兩個因素相比，一個比另一個明顯重要表示兩個因素相比，一個比另一個強烈重要表示兩個因素相比，一個比另一個極端重要表示上述兩相鄰判斷的中值若因素i與j比較得判斷Bij,則因素j與i

比較的判斷為Bji=1/Bij

10根據上面的例子，我們假定廠長或職工代表大會根據實際情況構造的數值判斷矩陣如下：

（1）相對于合理使用企業(yè)利潤，促進企業(yè)發(fā)展的總目標，各考慮準則之間的相對重要性比較(判斷矩陣A—B)：矩陣中的數值為兩個準則相對于總目標重要性比較的數值判斷。例如第二行第一列元素B21=5表示相對于企業(yè)發(fā)展來說，提高企業(yè)技術水平準則B2同調動職工勞動積極性準則(B1)相比，前者比后者明顯重要。其余類推。層次模型11(2)相對于調動職工勞動積極性準則，各方案之間的重要性比較(判斷矩陣B1—S)：(3)相對于提高企業(yè)技術水平準則，各方案之間的重要性比較(判斷矩陣B2—S)：

層次模型12（4）相對于改善職工物質文化生活準則，各方案之間的重要性比較(判斷矩陣B3—S)：層次模型13層次分析法的基本步驟一、建立層次結構分析模型二、構造判斷矩陣三、層次單排序及其一致性檢驗四、層次總排序五、層次總排序的一致性檢驗14三、層次單排序及其一致性檢驗所謂單排序是指本層各因素對上層某一因素的重要性次序。它由判斷矩陣的特征向量表示。例如，判斷矩陣A的特征問題AW=λmaxW的解向量W，經規(guī)一化后即為同一層次相應因素對于上一層某因素相對重要性的排序權值，這一過程就稱為層次單排序。為保證層次單排序的可信性，需要對判斷矩陣一致性進行檢驗，亦即要計算隨機一致性比率。一致性指標15

只有CR<0.1時，層次單排序的結果才認為是滿意的，否則需要調整判斷矩陣元素的取值。判斷矩陣階數n12345678910RI000.580.91.121.241.321.411.451.49一致性指標隨機一致性指標一致性比率

心理學家認為成對比較的因素不宜超過9個，即每層不要超過9個因素。16對于例子，判斷矩陣A-B相對重要性權值及λmax,CR分別為：判斷矩陣B1—S相對重要性權值及λmax，CR分別為：17判斷矩陣B2—S相對重要性權值及λmax，CR分別為：判斷矩陣B3—S相對重要性權值及λmax，CR分別為：顯然，符合一致性檢驗要求18層次分析法的基本步驟一、建立層次結構分析模型二、構造判斷矩陣三、層次單排序及其一致性檢驗四、層次總排序五、層次總排序的一致性檢驗19四、層次總排序計算同一層次所有因素對于最上層相對重要性的排序權值，稱為層次總排序，這一過程是由最高層次到最低層次逐層進行的。20對于例子，各方案相對于總目標的層次總排序計算如下表

層次B對層次

A的排序

層次S對層次B的排序B1B2B3S層次總排序權重序號3120.1050.6370.258S1S2S3S4S5

0.4390.2640.0890.1460.06100.0550.5650.1180.2620.3750.3750.1250.1250W1=0.143W2=0.16W3=0.4W4=0.122W5=0.1734315221層次分析法的基本步驟一、建立層次結構分析模型二、構造判斷矩陣三、層次單排序及其一致性檢驗四、層次總排序五、層次總排序的一致性檢驗22五、層次總排序的組合一致性檢驗在層次分析法的整個過程中，除了對每一個判斷矩陣進行一致性檢驗外，還要進行所謂的組合一致性檢驗。組合一致性檢驗可以逐層進行。定義23那么，第p層對第一層的組合一致性比率為只有當CR<0.1時，認為層次總排序結果具有滿意的一致性；否則需要重新調整判斷矩陣的元素取值。對于該例，通過計算得CR=0.0636<0.1，因此決策結果是可信的，即最優(yōu)方案為方案3。24

層次B對層次

A的排序

層次S對層次B的排序B1B2B3S層次總排序權重序號3120.1050.6370.258S1S2S3S4S5

0.4390.2640.0890.1460.06100.0550.5650.1180.2620.3750.3750.1250.1250W1=0.143W2=0.16W3=0.4W4=0.122W5=0.1734315225(1)作為獎金發(fā)給職工

(2)擴建職工宿舍、食堂、托兒所等福利設施

(3)辦職工業(yè)余技術學校

(4)建圖書館、俱樂部、文工團與體工隊

(5)引進技術設備進行企業(yè)技術改造26272829303132B題眼科病床的合理安排醫(yī)院就醫(yī)排隊是大家都非常熟悉的現象，它以這樣或那樣的形式出現在我們面前，例如，患者到門診就診、到收費處劃價、到藥房取藥、到注射室打針、等待住院等，往往需要排隊等待接受某種服務。我們考慮某醫(yī)院眼科病床的合理安排的數學建模問題。該醫(yī)院眼科門診每天開放，住院部共有病床79張。該醫(yī)院眼科手術主要分四大類：白內障、視網膜疾病、青光眼和外傷。附錄中給出了2008年7月13日至2008年9月11日這段時間里各類病人的情況。白內障手術較簡單，而且沒有急癥。目前該院是每周一、三做白內障手術，此類病人的術前準備時間只需1、2天。做兩只眼的病人比做一只眼的要多一些，大約占到60%。如果要做雙眼是周一先做一只，周三再做另一只。外傷疾病通常屬于急癥，病床有空時立即安排住院，住院后第二天便會安排手術。其他眼科疾病比較復雜，有各種不同情況，但大致住院以后2-3天內就可以接受手術，主要是術后的觀察時間較長。這類疾病手術時間可根據需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急癥數量較少，建模時這些眼科疾病可不考慮急癥。該醫(yī)院眼科手術條件比較充分，在考慮病床安排時可不考慮手術條件的限制，但考慮到手術醫(yī)生的安排問題，通常情況下白內障手術與其他眼科手術（急癥除外）不安排在同一天做。當前該住院部對全體非急癥病人是按照FCFS（Firstcome,Firstserve）規(guī)則安排住院，但等待住院病人隊列卻越來越長，醫(yī)院方面希望你們能通過數學建模來幫助解決該住院部的病床合理安排問題，以提高對醫(yī)院資源的有效利用。問題一：試分析確定合理的評價指標體系，用以評價該問題的病床安排模型的優(yōu)劣。B題2010年上海世博會影響力的定量評估B題2010年上海世博會影響力的定量評估評價相對有效性的DEA模型

——決策方法的新領域35

1978年由著名的運籌學家A.Charnes(查恩斯),W.W.Cooper(庫伯),及E.Rhodes(羅茲)首先提出了一個被稱為數據包絡分析（DataEnvelopmentanalysis,簡稱DEA模型）的方法，用于評價相同部門間的相對有效性（因此被稱為DEA有效）.他們的第一個模型被命名為C2R模型.從生產函數的角度看,這一模型是用來研究具有多個輸入,特別是具有多個輸出的“生產部門”同時為“規(guī)模有效”與“技術有效”的十分理想且卓有成效的方法.1985年查恩斯,庫伯,格拉尼(B.Golany),賽福德(L.Seiford)和斯圖茨(J.Stutz)給出另一個模型(稱為C2GS2模型),這一模型用來研究生產部門間的“技術有效性”.361987年查恩斯,庫伯,魏權齡和黃志明又得到了稱為錐比率的數據包絡模型——C2WH模型。這一模型可用來處理具有過多的輸入及輸出的情況,而且錐的選取可以體現決策者的“偏好”.靈活地應用這一模型,可以將C2R模型中確定出的DEA有效決策單元進行分類或排隊.

數據包絡分析是運籌學的一個新的研究領域.查恩斯和庫伯等人的第一個應用DEA的十分成功的案例,就是評價為弱智兒童開設公立學校項目的效果.在評估中,輸出包括“自尊”等無形的指標;輸入包括父母的照料和父母的文化程度等,無論哪種指標都有無法與市場價格相比較,也難以輕易定出適當的權重(權系數),這也是DEA的優(yōu)點之一.DEA的優(yōu)點吸引眾多的應用者,應用范圍已擴展到美國軍用飛機的飛行,基地維修與保養(yǎng),以及陸軍征兵,城市,銀行37等方面.目前,這一方法應用的領域在不斷地擴大.它也可以用來研究多種方案之間的相對有效性(例如投資項目的評價);研究在決策之前去預測一旦做出決策后它的相對效果如何(例如建立新廠后,新廠相對于已有的一些工廠是否為有效).DEA是對其決策單元（同類型的企業(yè)或部門）的投入規(guī)模、技術有效性作出評價，即對各同類型的企業(yè)投入一定數量的資金、勞動力等資源后，其產出的效益（經濟效益和社會效益）作一個相對有效性評價。為了說明DEA模型的建模思路，我們看下面的例子38

某公司有甲、乙、丙三個企業(yè)，收集到反映其投入（固定資產年凈值x1、流動資金x2、職工人數x3）和產出（總產值y1、利稅總額y2）的有關數據如下表

企業(yè)指標甲乙丙x1（萬元）41527x2（萬元）1545x3（人）825y1（萬元）602224y2（萬元）1268實例評價這幾個企業(yè)的生產效率。39

由于投入指標和產出指標都不止一個，故通常采用加權的辦法來綜合投入指標值和產出指標值。

對于第一個企業(yè)，產出綜合值為60u1+12u2，投入綜合值為4v1+15v2+8v3，

我們定義第一個企業(yè)的生產效率為：總產出與總投入的比即假定u1,u2,v1,v2,v3分別為產出與投入的權重系數40類似，可知第二、第三個企業(yè)的生產效率分別為：

我們限定所有的生產效率hj值不超過1,即,這意味著，若第k個企業(yè)hk=1，則該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說生產率最高，或者說這一生產系統(tǒng)是相對有效的，若hk<1，那么該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說，生產效率還有待于提高，或者說這一生產系統(tǒng)還不是有效的。41即因此，建立第一個企業(yè)的生產效率最高的優(yōu)化模型如下：這是一個分式規(guī)劃，需要將它化為線性規(guī)劃才能求解。42分式規(guī)劃化為線性規(guī)劃4344對偶規(guī)劃4546

企業(yè)指標甲乙丙x1（萬元）41527x2（萬元）1545x3（人）825y1（萬元）602224y2（萬元）1268投入產出47總結1.假定u1,u2,v1,v2,v3分別為產出與投入各指標的權重系數2.定義各企業(yè)的生產效率48建立各企業(yè)的生產效率最高的優(yōu)化模型(分式規(guī)劃)如4.將分式規(guī)劃轉化為LP如495.再將LP轉化為對偶規(guī)劃50

設有n個同類型的企業(yè)（也稱決策單元），對于每個企業(yè)都有m種類型的“輸入”（表示該單元對“資源”的消耗）以及p種類型的“輸出”（表示該單元在消耗了“資源”之后的產出）。這n個企業(yè)及其輸入-輸出關系如下：評價決策單元技術和規(guī)模綜合效率的C2R模型51……:………:……y1ny2n:ypny1jy2j:ypj……:…y12y22:yp2y11y21:yp1u1u2:up12:p輸出x1nx2n:xmnx1jx2j:xmj……:…x12x22:xm2x11x21:xm1v1v2:vm12:m投入nj…21

部門指標

權數投入產出數據表52每個決策單元的效率評價指數j=1,2,…,n每個決策單元相應的效率評價指數53而第j0個決策單元的相對效率優(yōu)化評價模型為：

s.t.

vi,ur≥0,i=1,2,…,m;r=1,2,…,p

（1）54

上述模型中xij,yrj為已知數（可由歷史資料或預測數據得到），vi,ur為變量。模型的含義是以權系數vi,ur為變量，以所有決策單元的效率指標hj為約束，以第j0個決策單元的效率指數為目標。即評價第j0個決策單元的生產效率是否有效，是相對于其他所有決策單元而言的。55

這是一個分式規(guī)劃模型，我們必須將它化為線性規(guī)劃模型才能求解。為此，令（2）56（2）寫成向量形式有:57其對偶問