湖北省華中師大附中2023年高二數學第一學期期末復習檢測模擬試題含解析

湖北省華中師大附中2023年高二數學第一學期期末復習檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知四棱錐，平面PAB，平面PAB，底面ABCD是梯形，，，，滿足上述條件的四棱錐的頂點P的軌跡是（）A.橢圓 B.橢圓的一部分C.圓 D.不完整的圓2．為了解青少年視力情況，統(tǒng)計得到名青少年的視力測量值（五分記錄法）的莖葉圖，其中莖表示個位數，葉表示十分位數，則該組數據的中位數是（）A. B.C. D.3．在一次體檢中，發(fā)現(xiàn)甲、乙兩個單位的職工中體重超過的人員的體重如下（單位：）.若規(guī)定超過為顯著超重，從甲、乙兩個單位中體重超過的職工中各抽取1人，則這2人中，恰好有1人顯著超重的概率為（）A. B.C. D.4．拋物線的準線方程是，則實數的值為（）A. B.C.8 D.5．已知定義在上的函數的導函數為，且恒有，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.6．直線的傾斜角的大小為A. B.C. D.7．設橢圓（）的左焦點為F，O為坐標原點．過點F且斜率為的直線與C的一個交點為Q（點Q在x軸上方），且，則C的離心率為（）A. B.C. D.8．若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.9．正三棱錐的側面都是直角三角形，，分別是，的中點，則與平面所成角的余弦值為（）A. B.C. D.10．若函數在上為單調增函數，則m的取值范圍（）A. B.C. D.11．在空間直角坐標系中，，，若∥，則x的值為（）A.3 B.6C.5 D.412．已知橢圓C：（）的長軸的長為4，焦距為2，則C的方程為（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知△ABC的周長為20，且頂點，則頂點A的軌跡方程是______14．拋物線的焦點坐標為________15．從10名大學畢業(yè)生中選3個人擔任村主任助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選不同選法的種數為___________.16．圓錐曲線的焦點在軸上，離心率為，則實數的值是__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為了了解某工廠生產的產品情況，從該工廠生產的產品隨機抽取了一個容量為200的樣本，測量它們的尺寸（單位：），數據分為，，，，，，七組，其頻率分布直方圖如圖所示.（1）根據頻率分布直方圖，求200件樣本中尺寸在內的樣本數；（2）記產品尺寸在內為等品，每件可獲利6元；產品尺寸在內為不合格品，每件虧損3元；其余的為合格品，每件可獲利4元.若該機器一個月共生產2000件產品.以樣本的頻率代替總體在各組的頻率，若單月利潤未能達到9000元，則需要對該工廠設備實施升級改造.試判斷是否需要對該工廠設備實施升級改造.18．（12分）已知是邊長為2的正方形，正方形繞旋轉形成一個圓柱；（1）求該圓柱的表面積；（2）正方形繞順時針旋轉至，求異面直線與所成角的大小19．（12分）已知直線，圓.（1）若l與圓C相切，求切點坐標；（2）若l與圓C交于A，B，且，求的面積.20．（12分）已知等比數列的公比為，前項和為，，，（1）求（2）在平面直角坐標系中，設點，直線的斜率為，且，求數列的通項公式21．（12分）如圖，四棱錐中，，，，平面.（1）在線段上是否存在一點使得平面？若存在，求出的位置；若不存在，請說明理由；（2）求四棱錐的體積.22．（10分）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，已知平面，且，E為中點（1）證明：平面；（2）證明：平面平面

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據題意，分析得動點滿足的條件，結合圓以及橢圓的方程，以及點的限制條件，即可判斷軌跡.【詳解】因為平面PAB，平面PAB，則//，又面面，故可得；因為，故可得，則，綜上所述：動點在垂直的平面中，且滿足；為方便研究，不妨建立平面直角坐標系進行說明，在平面中，因為，以中點為坐標原點，以為軸，過且垂直于的直線為軸建立平面直角坐標系，如下所示：因為，故可得，整理得：，故動點的軌跡是一個圓；又當三點共線時，幾何體不是空間幾何體，故動點的軌跡是一個不完整的圓.故選：.【點睛】本題考察立體幾何中動點的軌跡問題，處理的關鍵是利用立體幾何知識，找到動點滿足的條件，進而求解軌跡.2、B【解析】將樣本中的數據由小到大進行排列，利用中位數的定義可得結果.【詳解】將樣本中的數據由小到大進行排列，依次為：、、、、、、、、、，因此，這組數據的中位數為.故選：B.3、B【解析】列舉出所有選取的情況，再找出滿足題意的情況，根據古典概型的概率計算公式即可求解.【詳解】不妨用表示每種抽取情況，其中是指甲單位抽取1人的體重，代表從乙單位抽取人的體重.則所有的可能有16種，如下所示：，，，，，，，，，，，，，，，其中滿足題意的有6種：，，，，，故抽取的這2人中，恰好有1人顯著超重的概率為：.故選：.4、B【解析】化簡方程為，求得拋物線的準線方程，列出方程，即可求解.【詳解】由拋物線，可得，所以，所以拋物線的準線方程為，因為拋物線的準線方程為，所以，解得.故選：B.5、D【解析】構造函數，用導數判斷函數單調性，即可求解.【詳解】根據題意，令，其中，則，∵，∴，∴在上為單調遞減函數，∴，即，，則錯誤；，即，則錯誤；，即，則錯誤；，即，則正確；故選：.6、A【解析】考點：直線的傾斜角專題：計算題分析：因為直線的斜率是傾斜角的正切值，所以欲求直線的傾斜角，只需求出直線的斜率即可，把直線化為斜截式，可得斜率，問題得解解答：解：∵x-y+1=0可化為y=x+，∴斜率k=設傾斜角為θ，則tanθ=k=，θ∈[0，π）∴θ=故選A點評：本題主要考查了直線的傾斜角與斜率之間的關系，屬于直線方程的基礎題型，需要學生對基礎知識熟練掌握7、D【解析】連接Q和右焦點，可知|OQ|＝，可得∠FQ＝90°，由得，寫出兩直線方程，聯(lián)立可得Q點坐標，Q點坐標代入橢圓標準方程可得a、b、c關系﹒【詳解】設橢圓右焦點為，連接Q，∵，，∴|OQ|＝，∴∠FQ＝90°，∵，∴，F(xiàn)Q過F(－c，0)，Q過(c，0)，則，由，∵Q在橢圓上，∴，又，解得，∴離心率故選：D8、B【解析】由條件可得，即可得到答案.【詳解】方程表示焦點在y軸上的雙曲線所以，即故選：B9、C【解析】以P為原點，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出PB與平面PEF所成角的正弦值.【詳解】∵正三棱錐的側面都是直角三角形，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，∴以P為原點，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標系，設，則，，，，，，，，設平面PEF的法向量，則，取，得，設PB與平面PEF所成角為，則，∴PB與平面PEF所成角的正弦值為.故選：C.10、B【解析】用函數單調性確定參數，使用參數分離法即可.【詳解】，在上是增函數，即恒成立，；設，；∴時，是增函數；時，是減函數；故時，，∴；故選：B.11、D【解析】依題意可得，即可得到方程組，解得即可；【詳解】解：依題意，即，所以，解得故選：D12、D【解析】由題設可得求出橢圓參數，即可得方程.【詳解】由題設，知：，可得，則，∴C的方程為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】由周長確定，故軌跡是橢圓，注意焦點位置和摳除不符合條件的點即可.【詳解】解：，所以，，則頂點A的軌跡方程是.故答案為：.【點睛】考查橢圓定義的應用，基礎題.14、【解析】利用焦點坐標為求解即可【詳解】因為，所以，所以焦點的坐標為，故答案：15、49【解析】丙沒有入選，相當于從9個人中選3人，分為兩種情況：甲乙兩人只有一人入選；甲乙兩人都入選，分別求出每種情況的選法數，再利用分類加法計數原理即可得解.【詳解】丙沒有入選，把丙去掉，相當于從9個人中選3人，甲、乙至少有1人入選，分為兩種情況：甲乙兩人只有一人入選；甲乙兩人都入選.甲乙兩人只有一人入選，選法有種；甲乙兩人都入選，選法有種.所以，滿足題意的選法共有種.故答案為：49.【點睛】本題考查組合的應用，其中涉及到分類加法計數原理，屬于中檔題.一些常見類型的排列組合問題的解法：（1）特殊元素、特殊位置優(yōu)先法元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置；（2）分類分步法：對于較復雜的排列組合問題，常需要分類討論或分步計算，一定要做到分類明確，層次清楚，不重不漏；（3）間接法（排除法），從總體中排除不符合條件的方法數，這是一種間接解題的方法；（4）捆綁法：某些元素必相鄰的排列，可以先將相鄰的元素“捆成一個”元素，與其它元素進行排列，然后再給那“一捆元素”內部排列；（5）插空法：某些元素不相鄰的排列，可以先排其它元素，再讓不相鄰的元素插空；（6）去序法或倍縮法；（7）插板法：個相同元素，分成組，每組至少一個的分組問題.把個元素排成一排，從個空中選個空，各插一個隔板，有；（8）分組、分配法：有等分、不等分、部分等分之別.16、【解析】根據圓錐曲線焦點在軸上且離心率小于1，確定a,b求解即可.【詳解】因為圓錐曲線的焦點在軸上，離心率為，所以曲線為橢圓，且，所以，解得，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）件；（2）需要對該工廠設備實施升級改造.【解析】（1）根據評論分布直方圖面積之和為1列等式計算得，用200乘以內頻率即可得出答案；（2）根據題意計算等品件，不合格品有件，進而得合格品有件，根據題意計算其利潤與9000比較判定需要對該工廠設備實施升級改造.【詳解】解：（1）因為，解得，所以200件樣本中尺寸在內的樣本數為（件）.（2）由題意可得，這批產品中優(yōu)等品有件，這批產品中不合格品有件，這批產品中合格品有件，元.所以該工廠生產的產品一個月所獲得的利潤為8960元，因為，所以需要對該工廠設備實施升級改造.【點睛】頻率分布直方圖中的常見結論（1）眾數的估計值為最高矩形的中點對應的橫坐標；（2）平均數的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和；（3）中位數的估計值的左邊和右邊的小矩形的面積和是相等的.18、（1）（2）【解析】（1）利用表面積公式直接計算得到答案.（2）連接和，，故即為異面直線與所成角，證明，根據長度關系得到答案.【小問1詳解】【小問2詳解】如圖所示：連接和，，故即為異面直線與所成角，，，，故平面，平面，故，，故，直角中，，，，故異面直線與所成角的大小為.19、（1）（2）【解析】（1）求出直線的定點，再由定點在圓上得出切點坐標；（2）由（1）知，證明為直角三角形，求出，，最后由三角形的面積公式求出的面積.【詳解】（1）圓可化為直線可化為，由解得即直線過定點，由于，則點在圓上因為l與圓C相切，所以切點坐標為（2）因為l與圓C交于A，B，所以點如下圖所示，與相交于點，由以及圓的對稱性可知，點為的中點，且由，則直線的方程為圓心到直線的距離為，即直線與圓相切即，則因為，所以【點睛】關鍵點睛：在第一問中，關鍵是先確定直線過定點，再由定點在圓上，從而確定切點的坐標.20、（1），；（2），【解析】（1）設出等比數列的首項和公比，根據已知條件列出關于的方程組，由此求解出的值，則通項公式可求；（2）根據題意表示出斜率關系，然后采用累加法求解出的通項公式.【詳解】（1）因為等比數列的公比為，，，由已知，，得，解得或（舍），所以，，由得，所以所以，（2）由直線的斜率為，得，即，由，，，，，可得，所以，當時也滿足，所以，21、（1）存在，為的中點，證明見解析；（2）.【解析】（1）取的中點，的中點，連接，，，證明，由線面平行的判定定理即可求證；（2）先證明平面面，過點作于點，即可證明面，在中，利用面積公式求出即為四棱錐的高，再由棱錐的體積公式即可求解.【詳解】（1）線段上存在點使得平面，為的中點.證明如下：如圖取的中點，的中點，連接，，，因為，分別為，的中點，所以且因為且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，可得，