黑龍江省哈爾濱市香坊區(qū)第六中學校2023年高二數學第一學期期末調研試題含解析

黑龍江省哈爾濱市香坊區(qū)第六中學校2023年高二數學第一學期期末調研試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若某群體中的成員只用現金支付的概率為，既用現金支付也用非現金支付的概率為，則不用現金支付的概率為（）A. B.C. D.2．在數列中，，，則（）A.985 B.1035C.2020 D.20703．下列命題中的假命題是()A.若log2x<2,則0<x<4B.若與共線,則與的夾角為0°C.已知各項都不為零的數列{an}滿足an+1-2an=0,則該數列為等比數列D.點(π,0)是函數y=sinx圖象上一點4．已知命題,命題,，則下列命題中為真命題的是A. B.C. D.5．已知直線過點，且與直線垂直，則直線的方程是（）A. B.C. D.6．已知等差數列的前n項和為，且，則（）A.2 B.4C.6 D.87．在區(qū)間上隨機取一個數，則事件“曲線表示圓”的概率為（）A. B.C. D.8．已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點為F，準線為l，M是拋物線上一點，過點M作MN⊥l于N.若△MNF是邊長為2的正三角形，則p=（）A. B.C.1 D.29．胡蘿卜中含有大量的胡蘿卜素，攝入人體消化器官后，可以轉化為維生素，現從，兩個品種的胡蘿卜所含的胡蘿卜素（單位：）得到莖葉圖如圖所示，則下列說法不正確的是A. B.的方差大于的方差C.品種的眾數為 D.品種的中位數為10．已知圓，圓相交于P，Q兩點，其中，分別為圓和圓的圓心.則四邊形的面積為（）A.3 B.4C.6 D.11．已知等差數列滿足，則等于（）A. B.C. D.12．設集合，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設過點K(-1，0）的直線l與拋物線C：y2=4x交于A、B兩點，為拋物線的焦點，若|BF|=2|AF|，則cos∠AFB=_______14．已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為________15．在中，內角，，的對邊分別為，，，若，且，則_______16．已知，動點滿足，則點的軌跡方程為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某校在全體同學中隨機抽取了100名同學，進行體育鍛煉時間的專項調查．將調查數據按平均每天鍛煉時間的多少（單位：分鐘）分成五組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．將平均每天體育鍛煉時間不少于60分鐘的同學定義為鍛煉達標，平均每天體育鍛煉時間少于60分鐘的同學定義為鍛煉不達標（1）求a的值，并估計該校同學平均每天體育鍛煉時間的中位數；（2）在樣本中，對平均每天體育鍛煉時間不達標的同學，按分層抽樣的方法抽取6名同學了解不達標的原因，再從這6名同學中隨機抽取2名進行調研，求這2名同學中至少有一名每天體育鍛煉時間（單位：分鐘）在內的概率18．（12分）（1）某校運動會上甲、乙、丙、丁四名同學在100m、400m、800m三個項目中選擇，每人報一項，共有多少種報名方法？（2）若甲、乙、丙、丁四名同學選報100m、400m、800m三個項目，每項均有一人報名，且每人至多報一項，共有多少種報名方法？（3）若甲、乙、丙、丁名同學爭奪100m、400m、800m三項冠軍，共有多少種可能的結果？19．（12分）已知動點M到點F（0，2）的距離，與點M到直線l：y＝﹣2的距離相等.（1）求動點M的軌跡方程；（2）若過點F且斜率為1的直線與動點M的軌跡交于A，B兩點，求線段AB的長度.20．（12分）已知函數.（1）討論的單調性；（2）若，當時，恒成立，求實數的取值范圍.21．（12分）已知拋物線上橫坐標為3的點P到焦點F的距離為4.（1）求拋物線E的方程；（2）點A、B為拋物線E上異于原點O的兩不同的點，且滿足.若直線AB與橢圓恒有公共點，求m的取值范圍.22．（10分）已知滿足，.（1）求證：是等差數列，求的通項公式；（2）若，的前項和是，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】利用對立事件概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由對立事件的概率公式可知，該群體中的成員不用現金支付的概率為.故選：A.2、A【解析】根據累加法得，，進而得.【詳解】解：因為所以，當時，，，……，，所以，將以上式子相加得，所以，，.當時，，滿足；所以，.所以.故選：A3、B【解析】四個選項中需要分別利用對數函數的性質，向量共線的定義，等比數列的定義以及三角函數圖像判斷，根據題意結合知識點，即可得出結果.【詳解】選項A，由于此對數函數單調遞增，并且結合對數函數定義域，即可求得結果，所以是真命題；選項B，向量共線，夾角可能是或，所以是假命題；選項C，將式子變形可得，符合等比數列定義，所以是真命題；選項D，將點代入解析式，等號成立，所以是真命題；故選B.【點睛】本題考查命題真假的判定，根據題意結合各知識點即可判斷真假，需要熟練掌握對數函數、等比數列、向量夾角以及三角函數的基本性質.4、D【解析】命題是假命題，命題是真命題，根據復合命題的真值表可判斷真假.【詳解】因為，故命題是假命題，又命題是真命題，故為假，為假，為假，為真命題，故選D.【點睛】復合命題的真假判斷有如下規(guī)律：（1）或：一真比真，全假才假；（2）且：全真才真，一假比假；（3）：真假相反.5、D【解析】由題意設直線方程為，然后將點坐標代入求出，從而可求出直線方程【詳解】因為直線與直線垂直，所以設直線方程為，因為直線過點，所以，得，所以直線方程為，故選：D6、B【解析】根據等差數列前n項和公式，結合等差數列下標的性質、等差數列通項公式進行求解即可.【詳解】設等差數列的公差為，，，故選：B7、D【解析】先求出曲線表示圓參數的范圍，再由幾何概率可得答案.【詳解】由可得曲線表示圓，則解得或又所以曲線表示圓的概率為故選：D8、C【解析】根據正三角形的性質，結合拋物線的性質進行求解即可.【詳解】如圖所示：準線l與橫軸的交點為，由拋物線的性質可知：，因為若△MNF是邊長為2的正三角形，所以，，顯然，在直角三角形中，，故選：C9、C【解析】讀懂莖葉圖，分別計算出眾數、中位數、方差，然后對各選項進行判斷【詳解】由莖葉圖知，品種所含胡蘿卜素普遍高于品種，所以，故A正確；品種的數據波動比品種的數據波動大，所以的方差大于的方差，故B正確；品種的眾數為與，故C錯誤；品種的數據的中位數為，故D正確.故選.【點睛】本題主要考查了對數據的分析，首先要讀懂莖葉圖，然后計算出眾數、中位數、方差，即可對各選項進行判斷，較為基礎10、A【解析】求得，由此求得四邊形的面積.【詳解】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，所以，由、兩式相減并化簡得，即直線的方程為，到直線的距離為，所以，所以四邊形的面積為.故選：A11、A【解析】利用等差中項求出的值，進而可求得的值.【詳解】因為得，因此，.故選：A.12、C【解析】根據集合交集和補集的概念及運算，即可求解.【詳解】由題意，集合，，根據補集的運算，可得，所以.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據已知設直線方程為與C聯立，結合|BF|=2|AF|，利用韋達定理計算可得點A，B的坐標，進而求出向量的坐標，進而利用求向量夾角余弦值的方法，即可得到答案.【詳解】令直線的方程為將直線方程代入批物線C:的方程，得令且，所以由拋物線的定義知，由|BF|=2|AF|可知，，則，解得：，，則A，B兩點坐標分別為，則則.故答案為：14、9【解析】根據橢圓的定義可得，結合基本不等式即可求得的最大值.【詳解】∵在橢圓上∴∴根據基本不等式可得，即，當且僅當時取等號.故答案為：9.15、【解析】代入，展開整理得，①化為，與①式相加得，轉化為關于的方程，求解即可得出結論.【詳解】因為，所以，所以，因為，所以，則，整理得，解得.故答案為:.【點睛】本題考查正弦定理的邊角互化，考查三角函數化簡求值，屬于中檔題.16、【解析】表示出、，根據題意，列出等式，化簡整理即可得答案.【詳解】，由題意得，所以整理可得，即.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），中位數為64；（2）.【解析】（1）由頻率和為1求參數a，根據中位數的性質，結合頻率直方圖求中位數.（2）首先由分層抽樣求6名同學的分布情況，再應用列舉法求概率.【詳解】（1）由題設，，可得，∴中位數應在之間，令中位數為，則，解得.∴該校同學平均每天體育鍛煉時間的中位數為64.（2）由題設，抽取6名同學中1名在，2名在，3名在，若1名在為，2名在為，3名在為，∴隨機抽取2名的可能情況有共15種，其中至少有一名在內的共12種，∴這2名同學中至少有一名每天體育鍛煉時間（單位：分鐘）在內的概率為.18、（1）81種；（2）24種；（3）64種【解析】（1）利用分步計數原理可求報名方法總數.（2）利用分步計數原理可求報名方法總數.（3）利用分步計數原理可求報名方法總數.【詳解】（1）要完成的是“4名同學每人從三個項目中選一項報名”這件事，因為每人必報一項，4人都報完才算完成，所以按人分步，且分為四步，又每人可在三項中選一項，選法為3種，所以共有（種）報名方法（2）每項限報一人，且每人至多報一項，因此100m項目有4種選法，400m項目有3種選法，800m項目只有2種選法．根據分步乘法計數原理，可得不同的報名方法有（種）（3）要完成的是“三個項目冠軍的獲取”這件事，因為每項冠軍只能有一人獲得，三項冠軍都有得主，這件事才算完成，所以應以“確定三項冠軍得主”為線索進行分步，而每項冠軍的得主有4種可能結果，所以共有（種）可能的結果19、（1）x2＝8y（2）16【解析】小問1：由拋物線的定義可求得動點M的軌跡方程；小問2：可知直線AB的方程為y＝x+2，設點A（x1，y1）、B（x2，y2），將直線AB的方程與拋物線的方程聯立，求出y1+y2的值，利用拋物線的定義可求得|AB|的值.【小問1詳解】由題意點M的軌跡是以F為焦點，直線l為準線的拋物線，所以，則p＝4，所以動點M的軌跡方程是x2＝8y；【小問2詳解】由已知直線AB方程是y＝x+2，設A（x1，y1）、B（x2，y2），由得x2﹣8x﹣16＝0，，所以x1+x2＝8，則y1+y2＝x1+x2+4＝12，故|AB|＝y1+y2+4＝1620、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求得，分、兩種情況討論，分析導數的符號變化，由此可得出函數的單調遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）利用參變量分離法可得出對任意的恒成立，構造函數，其中，利用導數求出函數在上的最小值，由此可求得實數的取值范圍.【小問1詳解】解：函數的定義域為，.因為，由，可得.①當時，由可得，由可得.此時，函數的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；②當時，由可得，由可得，此時，函數的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.綜上所述，當時，函數的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；當時，函數單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為【小問2詳解】解：當且時，由，可得，令，其中，.當時，，此時函數單調遞減，當時，，此時函數單調遞增，則，.21、（1）（2）【解析】（1）由焦半徑公式可得，求解即可得答案；（2）由題意，直線AB斜率不為0，設，，聯立直線與拋物線的方程，由韋達定理及可得，從而可得直線AB恒過定點，進而可得定點在橢圓內部或橢圓上即可求解.【小問1詳解】解：因為拋物線上橫坐標為3的點P到焦點F的距離為4，所以，解得，所以拋物線E的方程為；【小問2