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廣東省廣州鐵一中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)是定義在上奇函數(shù),,當(dāng)時(shí),有成立,則不等式的解集是()A. B.C. D.2.已知直三棱柱中,,,,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B.C. D.3.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,已知,,則等于()A. B.C. D.4.定義在R上的函數(shù)與函數(shù)在上具有相同的單調(diào)性,則k的取值范圍是()A. B.C. D.5.已知圓C的圓心在直線上,且與直線相切于點(diǎn),則圓C方程為()A. B.C. D.6.點(diǎn)到直線的距離為2,則的值為()A.0 B.C.0或 D.0或7.已知函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A B.C. D.8.?dāng)?shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為()A. B.C. D.9.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是,則()A10100 B.-10100C.5052 D.-505210.等比數(shù)列滿足,,則()A.11 B.C.9 D.11.函數(shù)在區(qū)間(0,e)上的極小值為()A.-e B.1-eC.-1 D.112.在中國(guó)古代,人們用圭表測(cè)量日影長(zhǎng)度來確定節(jié)氣,一年之中日影最長(zhǎng)的一天被定為冬至.從冬至算起,依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣,其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列,若冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為31.5尺,小寒、雨水,清明日影長(zhǎng)之和為28.5尺,則大寒、驚蟄、谷雨日影長(zhǎng)之和為()A.25.5尺 B.34.5尺C.37.5尺 D.96尺二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某人有樓房一棟,室內(nèi)面積共計(jì),擬分割成兩類房間作為旅游客房,大房間每間面積為,可住游客4名,每名游客每天的住宿費(fèi)100元;小房間每間面積為,可住游客2名,每名游客每天的住宿費(fèi)150元;裝修大房間每間需要3萬(wàn)元,裝修小房間每間需要2萬(wàn)元.如果他只能籌款25萬(wàn)元用于裝修,且假定游客能住滿客房,則該人一天能獲得的住宿費(fèi)的最大值為___________元.14.?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為,則的通項(xiàng)公式為________.15.已知數(shù)列滿足,記,則______;數(shù)列的通項(xiàng)公式為______.16.以雙曲線的右焦點(diǎn)為圓心,為半徑的圓與的一條漸近線交于兩點(diǎn),若,則雙曲線的離心率為_________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6(1)求拋物線的方程;(2)設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),直線與拋物線交于,兩點(diǎn),求的面積18.(12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)的和為,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.(12分)某學(xué)校高一、高二、高三的三個(gè)年級(jí)學(xué)生人數(shù)如下表,按年級(jí)分層抽樣的方法評(píng)選優(yōu)秀學(xué)生50人,其中高三有10人.高三高二高一女生100150z男生300450600(1)求z的值;(2)用分層抽樣的方法在高一學(xué)生中抽取一個(gè)容量為5的樣本,將該樣本看成一個(gè)總體,從中任取2人,求至少有1名女生的概率;(3)用隨機(jī)抽樣的方法從高二女生中抽取8人,經(jīng)檢測(cè)她們的得分如圖所示,把這8人的得分看作一個(gè)總體,從中任取一個(gè)數(shù),求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過5分的概率.20.(12分)已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,,.?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為,且,(1)分別求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;(2)若,為數(shù)列的前項(xiàng)和,是否存在不同的正整數(shù),,(其中,,成等差數(shù)列),使得,,成等比數(shù)列?若存在,求出所有滿足條件的,,的值;若不存在,說明理由21.(12分)在等差數(shù)列中,已知公差,前項(xiàng)和(其中)(1)求;(2)求和:22.(10分)已知a>0,b>0,a+b=1,求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】構(gòu)造函數(shù),分析該函數(shù)的定義域與奇偶性,利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在上為增函數(shù),從而可知該函數(shù)在上為減函數(shù),綜合可得出原不等式的解集.【詳解】令,則函數(shù)的定義域?yàn)椋?,則函數(shù)為偶函數(shù),所以,,當(dāng)時(shí),,所以,函數(shù)在上為增函數(shù),故函數(shù)在上為減函數(shù),由等價(jià)于或:當(dāng)時(shí),由可得;當(dāng)時(shí),由可得.綜上所述,不等式的解集為.故選:A.2、C【解析】作出輔助線,找到異面直線與所成角,進(jìn)而利用余弦定理及勾股定理求出各邊長(zhǎng),最后利用余弦定理求出余弦值.【詳解】如圖所示,把三棱柱補(bǔ)成四棱柱,異面直線與所成角為,由勾股定理得:,,∴故選:C3、C【解析】依題意有,解得,所以.考點(diǎn):等差數(shù)列的基本概念.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列的基本概念.在解有關(guān)等差數(shù)列的問題時(shí)可以考慮化歸為和等基本量,通過建立方程(組)獲得解.即等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式,共涉及五個(gè)量,知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè),即知三求二,多利用方程組的思想,體現(xiàn)了用方程的思想解決問題,注意要弄準(zhǔn)它們的值.運(yùn)用方程的思想解等差數(shù)列是常見題型,解決此類問題需要抓住基本量、,掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個(gè)環(huán)節(jié),常通過“設(shè)而不求,整體代入”來簡(jiǎn)化運(yùn)算4、B【解析】判定函數(shù)單調(diào)性,再利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)在的單調(diào)性列式計(jì)算作答.【詳解】由函數(shù)得:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”,則在R上單調(diào)遞減,于是得函數(shù)在上單調(diào)遞減,即,,即,而在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,則,所以k的取值范圍是.故選:B5、C【解析】設(shè)出圓心坐標(biāo),根據(jù)垂直直線的斜率關(guān)系求得圓心坐標(biāo),結(jié)合兩點(diǎn)距離公式得半徑,即可得圓方程【詳解】設(shè)圓心為,則圓心與點(diǎn)的連線與直線l垂直,即,則點(diǎn),所以圓心為,半徑,所以方程為,故選:C6、C【解析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可得出答案.【詳解】解:點(diǎn)到直線的距離為,解得或.故選:C.7、B【解析】將題目轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與的圖像只有一個(gè)交點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,作出圖像,利用數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍.【詳解】由函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于函數(shù)的圖像與的圖像只有一個(gè)交點(diǎn),,求導(dǎo),令,得當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞減;故當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極小值;當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極大值;作出函數(shù)圖像,如圖所示,由圖可知,實(shí)數(shù)的取值范圍是故選:B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通過解不等式確定參數(shù)范圍;(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決;(3)數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形,進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù),然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.8、A【解析】根據(jù)規(guī)律,總結(jié)通項(xiàng)公式,即可得答案.【詳解】根據(jù)規(guī)律可知數(shù)列的前三項(xiàng)為,所以該數(shù)列一個(gè)通項(xiàng)公式為故選:A9、D【解析】根據(jù)已知條件,用并項(xiàng)求和法即可求得結(jié)果.【詳解】∵∴∴.故選:D.10、B【解析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由數(shù)列是等比數(shù)列,得:,故選:B11、D【解析】求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可求解【詳解】的定義域?yàn)?0,+∞),,令,得x=1,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),,單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(1,e)時(shí),,單調(diào)遞增,故在x=1處取得極小值.故選:D.12、A【解析】由題意可知,十二個(gè)節(jié)氣其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列,設(shè)冬至日的日影長(zhǎng)為尺,公差為尺,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,求出,即可求出,從而得到答案【詳解】設(shè)從冬至日起,小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列{},如冬至日的日影長(zhǎng)為尺,設(shè)公差為尺.由題可知,所以,,,,故選:A二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、3600【解析】先設(shè)分割大房間為間,小房間為間,收益為元,列出約束條件,再根據(jù)約束條件畫出可行域,設(shè),再利用的幾何意義求最值,只需求出直線過可行域內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)時(shí),從而得到值即可【詳解】解:設(shè)裝修大房間間,小房間間,收益為萬(wàn)元,則,目標(biāo)函數(shù),由,解得畫出可行域,得到目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí),有最大值,故應(yīng)隔出大房間3間和小房間8間,每天能獲得最大的房租收益最大,且為3600元故答案為:360014、【解析】討論和兩種情況,進(jìn)而利用求得答案.【詳解】由題意,時(shí),,時(shí),,則,于是,故答案為:15、①.②..【解析】結(jié)合遞推公式計(jì)算出,即可求出的值;證得數(shù)列是以3為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,,,因此,由于,又,即,所以,因此?shù)列是以3為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,則,即,故答案為:;.16、【解析】由題意可得,化簡(jiǎn)整理得到,進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到其一條漸近線為,所有由題意可得,即,則,所以離心率,故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】(1)根據(jù)焦半徑公式可求,從而可求拋物線的方程.(2)求出的長(zhǎng)度后可求的面積.【小問1詳解】因?yàn)?,所以,故拋物線方程為:.【小問2詳解】設(shè),且,由可得,故或,故,故,故,而到直線的距離為,故的面積為18、(1);(2).【解析】(1)根據(jù),并結(jié)合等比數(shù)列的定義即可求得答案;(2)結(jié)合(1),并通過錯(cuò)位相減法即可求得答案.【小問1詳解】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,.【小問2詳解】,…①…②①-②得,.19、(1)400(2)(3)【解析】(1)根據(jù)分層抽樣的方法,列出關(guān)系式計(jì)算即可;(2)根據(jù)分層抽樣的方法,求出抽取的女生人數(shù),進(jìn)而列舉出從樣本中抽取2人的所有情況,可根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算即可;(3)求出樣本平均數(shù),進(jìn)而求出與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過5的數(shù),從而利于古典概型的概率公式計(jì)算即可.【小問1詳解】設(shè)該???cè)藬?shù)為n人,由題意得,所以,.【小問2詳解】設(shè)所抽樣本中有m個(gè)女生,因?yàn)橛梅謱映闃拥姆椒ㄔ诟咭粚W(xué)生中抽取一個(gè)容量為5的樣本,所以,解得.所以抽取了2名女生,3名男生,分別記作,;,,,則從中任取2人的所有基本事件為:,,,,,,,,,,共10個(gè),其中至少有1名女生的基本事件有,,,,,,,共7個(gè),所以從中任取2人,至少有1名女生的概率為.【小問3詳解】樣本的平均數(shù)為,那么與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過5的數(shù)為94,86,92,87,90,93這6個(gè)數(shù),總的個(gè)數(shù)為8,所以該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過5的概率為.20、(1),;(2)不存在,理由見解析.【解析】(1)利用數(shù)列為等比數(shù)列,將已知的等式利用首項(xiàng)和公比表示,得到一個(gè)方程組,求解即可得到首項(xiàng)和公比,結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出;將已知的等式變形,得到數(shù)列為等差數(shù)列,利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出,再結(jié)合數(shù)列的第項(xiàng)與前項(xiàng)和之間的關(guān)系進(jìn)行求解,即可得到;(2)先利用等比數(shù)列求和公式求出,從而得到的表達(dá)式,然后利用裂項(xiàng)相消求和法求出,假設(shè)存在不同的正整數(shù),,(其中,,成等差數(shù)列),使得,,成等比數(shù)列,利用等比中項(xiàng)、等差中項(xiàng)以及進(jìn)行化簡(jiǎn)變形,得到假設(shè)不成立,故可得到答案【詳解】(1)因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列,設(shè)首項(xiàng)為,公比為,由題意可知,所以,所以,由②可得,即,所以或2,因?yàn)?,所以,所以,所以,由,可得,所以?shù)列為等差數(shù)列,首項(xiàng)為,公差為1,故,則,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),也適合上式,故(2)由,可得,所以,所以,假設(shè)存在不同的正整數(shù),,(其中,,成等差數(shù)列),使得,,成等比數(shù)列,則有,所以,則,即,因?yàn)椋?,即,所以,所以,則,所以,則,所以,即,所以,這與已知的,,互不相等矛盾,故不存在不同的正整數(shù),,(其中,,成等差數(shù)列),使得,,成等比數(shù)列【點(diǎn)睛】裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一,其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向,突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),常見的裂項(xiàng)技巧:(1);(2);(3);(4);此外,需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題,導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.21、(1)12(2)18【解析】(1)根據(jù)已知的,利用等差數(shù)
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