河北邢臺(tái)一中2024屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

河北邢臺(tái)一中2024屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．為了防控新冠病毒肺炎疫情，某市疾控中心檢測(cè)人員對(duì)外來入市人員進(jìn)行核酸檢測(cè)，人員甲、乙均被檢測(cè).設(shè)命題為“甲核酸檢測(cè)結(jié)果為陰性”，命題為“乙核酸檢測(cè)結(jié)果為陰性”，則命題“至少有一位人員核酸檢測(cè)結(jié)果不是陰性”可表示為（）A. B.C. D.2．甲、乙兩組數(shù)的數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，則甲、乙的平均數(shù)、方差、極差及中位數(shù)相同的是（）A.極差 B.方差C.平均數(shù) D.中位數(shù)3．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是A.2 B.4C. D.4．若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，則m的取值范圍（）A. B.C. D.5．已知，，則的最小值為（）A. B.C. D.6．如圖，直三棱柱的所有棱長(zhǎng)均相等，P是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，設(shè)，若P到平面的距離為2d，則點(diǎn)P的軌跡是（）A.圓的一部分 B.橢圓的一部分C.拋物線的一部分 D.雙曲線的一部分7．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是（）A.3 B.4C.6 D.88．方程表示的圖形是A.兩個(gè)半圓 B.兩個(gè)圓C.圓 D.半圓9．若直線與平行，則m的值為（）A.－2 B.－1或－2C.1或－2 D.110．已知不等式只有一個(gè)整數(shù)解，則m的取值范圍是（）A. B.C. D.11．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A. B.C. D.12．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，過作x軸垂線交橢圓于點(diǎn)P，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是___________.14．函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是______15．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，是雙曲線上不同于、的動(dòng)點(diǎn)，直線、與軸分別交于點(diǎn)、兩點(diǎn)，則________16．一個(gè)高為2的圓柱，底面周長(zhǎng)為2，該圓柱的表面積為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等比數(shù)列的公比，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，若，求滿足條件的最大整數(shù)n.18．（12分）已知橢圓C：，斜率為的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)且（1）求橢圓C的離心率；（2）求直線l的方程19．（12分）如圖所示，在三棱柱中，平面，，，，點(diǎn)，分別在棱和棱上，且，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）若點(diǎn)在棱上，且平面，求線段的長(zhǎng)21．（12分）已知等差數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足：，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.22．（10分）如圖，在四棱雉中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中，，，，E為棱BC上的點(diǎn)，且（1）求證：平面PAC；（2）求二面角A-PC-D的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】表示出和，直接判斷即可.【詳解】命題為“甲核酸檢測(cè)結(jié)果為陰性”，則命題為“甲核酸檢測(cè)結(jié)果不是陰性”；命題為“乙核酸檢測(cè)結(jié)果為陰性”，則命題為“乙核酸檢測(cè)結(jié)果不是陰性”.故命題“至少有一位人員核酸檢測(cè)結(jié)果不是陰性”可表示為.故選D.2、C【解析】根據(jù)莖葉圖依次計(jì)算甲和乙的平均數(shù)、方差、中位數(shù)和極差即可得到結(jié)果.【詳解】甲的平均數(shù)為：；乙的平均數(shù)為：；甲和乙的平均數(shù)相同；甲的方差為：；乙的方差為：；甲和乙的方差不相同；甲的極差為：；乙的極差為：；甲和乙的極差不相同；甲的中位數(shù)為：；乙的中位數(shù)為：；甲和乙的中位數(shù)不相同.故選：C.3、D【解析】因?yàn)閽佄锞€方程可化為，所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是，故選D.考點(diǎn)：1、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、拋物線的幾何性質(zhì).4、B【解析】用函數(shù)單調(diào)性確定參數(shù)，使用參數(shù)分離法即可.【詳解】，在上是增函數(shù)，即恒成立，；設(shè)，；∴時(shí)，是增函數(shù)；時(shí)，是減函數(shù)；故時(shí)，，∴；故選：B.5、B【解析】將代數(shù)式展開，然后利用基本不等式可求出該代數(shù)式的最小值.【詳解】，，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因此，的最小值為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式時(shí)要注意“一正、二定、三相等”條件的成立，考查計(jì)算能力，屬于中等題.6、B【解析】取的中點(diǎn)，得出平面，作，在直角中，求得，以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)的軌跡方程，即可求解.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，得到平行于平面且過點(diǎn)的平面，如圖（1）（2）所示，作，則P1與E重合，則，在直角中，可得，在圖（3）中，設(shè)直三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為，且，以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，所以，即所以，整理得，所以點(diǎn)P的軌跡是橢圓的一部分.故選：B.7、D【解析】根據(jù)橢圓方程可得到a，從而求得長(zhǎng)軸長(zhǎng).【詳解】橢圓方程為，故，所以橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，故選:D.8、D【解析】其中，再兩邊同時(shí)平方，由此確定圖形【詳解】根據(jù)題意，，再兩邊同時(shí)平方，由此確定圖形為半圓.故選：D【點(diǎn)睛】幾何圖像中要注意與方程式是一一對(duì)應(yīng)，故方程的中未知數(shù)的的取值范圍對(duì)應(yīng)到圖形中的坐標(biāo)的取值范圍9、C【解析】利用兩直線平行的判定有，即可求參數(shù)值.【詳解】由題設(shè)，，可得或.經(jīng)驗(yàn)證不重合，滿足題意，故選：C.10、B【解析】依據(jù)導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合去求解即可解決.【詳解】不等式只有一個(gè)整數(shù)解，可化為只有一個(gè)整數(shù)解令，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，取最大值，當(dāng)時(shí)，恒成立，的草圖如下：，，則若只有一個(gè)整數(shù)解，則，即故不等式只有一個(gè)整數(shù)解，則m的取值范圍是故選：B11、B【解析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)可得選項(xiàng).【詳解】由得，所以，所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，故選：B.12、B【解析】實(shí)數(shù)，滿足，通過討論，得到其圖象是橢圓、雙曲線的一部分組成的圖形，借助圖象分析可得的取值就是圖象上一點(diǎn)到直線距離范圍的2倍，求出切線方程根據(jù)平行直線距離公式算出最小值，和最大值的極限值即可得出答案.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)，滿足，所以當(dāng)時(shí)，，其圖象是位于第一象限，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的一部分（含點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，其圖象是位于第四象限，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的一部分，當(dāng)時(shí)，其圖象不存在，當(dāng)時(shí)，其圖象是位于第三象限，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的一部分，作出橢圓和雙曲線的圖象，其中圖象如下：任意一點(diǎn)到直線的距離所以，結(jié)合圖象可得的范圍就是圖象上一點(diǎn)到直線距離范圍的2倍，雙曲線，其中一條漸近線與直線平行，通過圖形可得當(dāng)曲線上一點(diǎn)位于時(shí)，取得最小值，無最大值，小于兩平行線與之間的距離的倍，設(shè)與其圖像在第一象限相切于點(diǎn)，由因?yàn)榛颍ㄉ崛ィ┧灾本€與直線的距離為此時(shí)，所以的取值范圍是故選：B【點(diǎn)睛】三種距離公式：（1）兩點(diǎn)間的距離公式：平面上任意兩點(diǎn)間的距離公式為；（2）點(diǎn)到直線的距離公式：點(diǎn)到直線的距離;（3）兩平行直線間的距離公式：兩條平行直線與間的距離.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】以為等腰直角三角形列方程組可得之間的關(guān)系式，進(jìn)而求得橢圓的離心率.【詳解】橢圓的左、右焦點(diǎn)為，點(diǎn)P由為等腰直角三角形可知，，即可化為，故或（舍）故答案為：14、0【解析】通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得極值點(diǎn)的情況.【詳解】因?yàn)?，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是0，故答案為：0.15、3【解析】求得坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求得直線的方程，由此求得兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求得.【詳解】依題意，設(shè)，則，直線的方程為，則，直線的方程為，則，所以.故答案為：16、6【解析】2r=2，r=1，S表=2rh+2r2=4+2=6.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】(1)由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，結(jié)合條件求出，得出公比，從而得出通項(xiàng)公式.(2)由（1）可得，再求出的前項(xiàng)和，從而可得出答案.【小問1詳解】由題意可知，有，，得或∴或又，∴∴【小問2詳解】，∴∴，又單調(diào)遞增,所以滿足條件的的最大整數(shù)為18、（1）（2）或【解析】（1）將橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得，進(jìn)而求得離心率；（2）設(shè)直線，，，與橢圓聯(lián)立，借助韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求得，從而求得直線方程.【小問1詳解】由題知，橢圓C：，則，離心率【小問2詳解】設(shè)直線，，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，則，解得，，由弦長(zhǎng)公式知，，解得，故直線或19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，由已知確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求的方向向量、面的法向量，并應(yīng)用坐標(biāo)計(jì)算空間向量的數(shù)量積，即可證結(jié)論.（2）求的方向向量，結(jié)合（1）中面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】以為原點(diǎn)，以，，為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得：，，，，，，，.∴，，，設(shè)為面的法向量，則，令得，∴，即，∴平面；【小問2詳解】由（1）知：，為面的一個(gè)法向量，設(shè)與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.20、（Ⅰ）見解析.（Ⅱ）．（Ⅲ）.【解析】第一問根據(jù)面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)得出線線垂直的結(jié)論，注意在書寫的時(shí)候條件不要丟就行；第二問建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量所成角的余弦值來求得二面角的余弦值；第三問利用向量共線的關(guān)系，得出向量的坐標(biāo)，根據(jù)線面平行得出向量垂直，利用其數(shù)量積等于零，求得結(jié)果.（Ⅰ）證明：因?yàn)槠矫妗推矫?，且平面平面，因?yàn)椤?，且平面所以⊥平面因?yàn)槠矫妫浴?（Ⅱ）解：在△中，因?yàn)?，，，所以，所以?所以，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示所以，，，，，，.易知平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則.設(shè)二面角的平面角為，可知為銳角，則，即二面角的余弦值為（Ⅲ）解：因?yàn)辄c(diǎn)在棱，所以，因?yàn)?，所以?又因?yàn)槠矫?，為平面的一個(gè)法向量，所以，即，所以所以，所以.21、（1）；（2）.【解析】（1）由題設(shè)條件，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式求基本量d，進(jìn)而寫出通項(xiàng)公式.（2）由（1）得，應(yīng)用累加法、錯(cuò)位相減法及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求的通項(xiàng)公式.【小問1詳解】令公差為d，由得：，解得.所以.【小問2詳解】，則，累加整理，得：，①，②②-①得：，又滿足上式，故.22、（1）證明見解析（2）【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算出相關(guān)向量的坐標(biāo)；（1）計(jì)算向量的數(shù)量積，，根據(jù)數(shù)量積結(jié)果為零，證明線線垂直，進(jìn)而證明線面垂直2；（2）求出