河北省邯鄲市永年區(qū)第二中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

河北省邯鄲市永年區(qū)第二中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．將函數(shù)圖象上所有點橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.C. D.2．設(shè)a，b，c非零實數(shù)，且，則（）A. B.C. D.3．設(shè)橢圓C：的左、右焦點分別為、，P是C上的點，⊥，∠=，則C的離心率為A. B.C. D.4．已知長方體的底面ABCD是邊長為8的正方形，長方體的高為，則與對角面夾角的正弦值等于（）A. B.C. D.5．設(shè)雙曲線：的左，右焦點分別為，，過的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，若，則雙曲線的離心率為（）A.4 B.2C. D.6．已知數(shù)列{}滿足，則（）A. B.C. D.7．已知離散型隨機變量X的分布列如下：X123P則數(shù)學(xué)期望（）A. B.C.1 D.28．拋物線的焦點為F，A，B是拋物線上兩點，若，若AB的中點到準(zhǔn)線的距離為3，則AF的中點到準(zhǔn)線的距離為（）A.1 B.2C.3 D.49．在等差數(shù)列中，，且，，，構(gòu)成等比數(shù)列，則公差（）A.0或2 B.2C.0 D.0或10．若方程表示雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.11．在棱長為1的正方體中，點，分別是，的中點，點是棱上的點且滿足，則兩異面直線，所成角的余弦值是（）A. B.C. D.12．由下面的條件一定能得出為銳角三角形的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．正三棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為，則與側(cè)面所成角的正弦值為______14．已知向量，，，若，則____________.15．已知，若在區(qū)間上有且只有一個極值點，則a的取值范圍是______16．參加數(shù)學(xué)興趣小組的小何同學(xué)在打籃球時，發(fā)現(xiàn)當(dāng)籃球放在地面上時，籃球的斜上方燈泡照過來的光線使得籃球在地面上留下的影子有點像數(shù)學(xué)課堂上學(xué)過的橢圓，但他自己還是不太確定這個想法，于是回到家里翻閱了很多參考資料，終于明白自己的猜想是沒有問題的，而且通過學(xué)習(xí)，他還確定地面和籃球的接觸點（切點）就是影子橢圓的焦點.他在家里做了個探究實驗：如圖所示，桌面上有一個籃球，若籃球的半徑為個單位長度，在球的右上方有一個燈泡（當(dāng)成質(zhì)點），燈泡與桌面的距離為個單位長度，燈泡垂直照射在平面的點為，影子橢圓的右頂點到點的距離為個單位長度，則這個影子橢圓的離心率______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的準(zhǔn)線方程是.（Ⅰ）求拋物線方程；（Ⅱ）設(shè)直線與拋物線相交于，兩點，為坐標(biāo)原點，證明：.18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）試討論函數(shù)的單調(diào)性.19．（12分）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.（1）若，，，求邊長c；（2），，，求角C.20．（12分）已知等差數(shù)列的前項和為，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和21．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）若對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.22．（10分）近年來，我國電子商務(wù)蓬勃發(fā)展.2016年“618”期間，某網(wǎng)購平臺的銷售業(yè)績高達516億元人民幣，與此同時，相關(guān)管理部門推出了針對該網(wǎng)購平臺的商品和服務(wù)的評價系統(tǒng).從該評價系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對其評價進行統(tǒng)計，網(wǎng)購者對商品的滿意率為0.6，對服務(wù)的滿意率為0.75，其中對商品和服務(wù)都滿意的交易為80次.（1）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并回答能否有的把握認為“網(wǎng)購者對商品滿意與對服務(wù)滿意之間有關(guān)系”?對服務(wù)滿意對服務(wù)不滿意合計對商品滿意80對商品不滿意10合計200（2）若將頻率視為概率，某人在該網(wǎng)購平臺上進行的3次購物中，設(shè)對商品和服務(wù)都滿意的次數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.臨界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.89710.828的觀測值：（其中）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換，由逆向變換即可求解.【詳解】由已知的函數(shù)逆向變換，第一步，向左平移個單位長度，得到的圖象；第二步，圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，即的圖象.故.故選：A2、C【解析】對于A、B、D：取特殊值否定結(jié)論；對于C：利用作差法證明.【詳解】對于A：取符合已知條件，但是不成立.故A錯誤；對于B：取符合已知條件，但是，所以不成立.故B錯誤；對于C：因為，所以.故C正確；對于D：取符合已知條件，但是，所以不成立.故D錯誤；故選：C.3、D【解析】詳解】由題意可設(shè)|PF2|＝m，結(jié)合條件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故離心率e＝選D.點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標(biāo)的范圍等.4、A【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的夾角坐標(biāo)公式即可求出線面角的正弦值.【詳解】連接，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系∵底面是邊長為8的正方形，，∴，，，因為,且，所以平面，∴，平面的法向量，∴與對角面所成角的正弦值為故選：A.5、B【解析】根據(jù)雙曲線的定義及，求出，，，，再利用余弦定理計算可得；【詳解】解：依題意可知、，又且，所以，，，，則，且，即，即，所以離心率.故選：B6、B【解析】先將通項公式化簡然后用裂項相消法求解即可.【詳解】因為，.故選：B7、D【解析】利用已知條件，結(jié)合期望公式求解即可【詳解】解：由題意可知：故選：D8、C【解析】結(jié)合拋物線的定義求得，由此求得線段的中點到準(zhǔn)線的距離【詳解】拋物線方程為，則，由于中點到準(zhǔn)線的距離為3，結(jié)合拋物線的定義可知，即，所以線段的中點到準(zhǔn)線的距離為.故選：C9、A【解析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項公式建立方程，可解得公差d得選項.【詳解】解：因為在等差數(shù)列中，，且，，，構(gòu)成等比數(shù)列，所以，即，所以，解得或，故選：A.10、A【解析】方程化為圓錐曲線（橢圓與雙曲線）標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后由方程表示雙曲線可得不等關(guān)系【詳解】解：方程可化為，它表示雙曲線，則，解得.故選：A11、A【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點、、、和向量的、坐標(biāo)，運用求異面直線余弦值的公式即可求出.【詳解】解：以為原點，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)第,則，，，，故,,，故兩異面直線，所成角的余弦值是.故選：A.【點睛】本題考查求異面直線所成角的余弦值，屬于中檔題.12、D【解析】對于A，兩邊平方得，由得，即為鈍角；對于B，由正弦定理求出，進而求出，可得結(jié)果；對于C，根據(jù)平方關(guān)系將余弦化為正弦，用正弦定理可將角轉(zhuǎn)化為邊，進而可得的值，從而作出判斷；對于D，由可得，推出，，，故可知三個內(nèi)角均為銳角【詳解】解：對于A，由，兩邊平方整理得，，因為，所以，所以，所以，所以為鈍角三角形，故A不正確；對于B，由，得，所以，因為，所以，所以或，所以或，所以為直角三角形或鈍角三角形，故B不正確；對于C，因為，所以，即，由正弦定理得，由余弦定理得，因為，所以，故三角形為鈍角三角形，C不正確；對于D，由可得，因為中最多只有一個鈍角，所以，，中最多只有一個為負數(shù)，所以，，，所以中三個內(nèi)角都為銳角，所以為銳角三角形，故D正確；故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】作圖，考慮底面是正三角形，按照線面夾角的定義構(gòu)造直角三角形即可.【詳解】依題意，作圖如下，取的中點G，連結(jié)，∵是正三角形，∴，，又∵是正三棱柱，∴底面，∴，即平面，，與平面的夾角=，在中，，故答案為：.14、【解析】首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量垂直得到，即可得到方程，解得即可；【詳解】解：因為向量，，，所以向量，因為，所以，即，解得故答案為：15、【解析】求導(dǎo)得，進而根據(jù)題意在上有且只有一個變號零點，再根據(jù)零點的存在性定理求解.【詳解】解：，∵在區(qū)間上有且只有一個極值點，∴在上有且只有一個變號零點，∴，解得∴a的取值范圍是.故答案為：16、【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，解得圖中N、Q的橫坐標(biāo)，列方程組即可求得橢圓的a、c，進而求得橢圓的離心率.【詳解】以A為原點建立平面直角坐標(biāo)系，則，，直線PR的方程為設(shè),由到直線PR的距離為1，得，解之得或（舍）則，又設(shè)直線PN方程為由到直線PN的距離為1，得，整理得則，又，故則直線PN的方程為，故，由，解得，故橢圓的離心率故答案為：【點睛】數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析【解析】（Ⅰ）利用排趨性的準(zhǔn)線方程求出p，即可求解拋物線的方程；（Ⅱ）直線y=k（x-2）（k≠0）與拋物線聯(lián)立，通過韋達定理求解直線的斜率關(guān)系即可證明OM⊥ON試題解析：（Ⅰ）解：因為拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為.（Ⅱ）證明：設(shè)，.將代入，消去整理得.所以.由，，兩式相乘，得，注意到，異號，所以.所以直線與直線的斜率之積為，即.考點：直線與拋物線的位置關(guān)系；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程18、（1）（2）詳見解析.【解析】（1）由，求導(dǎo)，得到，寫出切線方程；（2）求導(dǎo)，再分，，討論求解.【小問1詳解】解：因為，所以，則，所以，所以曲線在點處的切線方程是，即；【小問2詳解】因為，所以，當(dāng)時，成立，則在上遞減；當(dāng)時，令，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞增；綜上：當(dāng)時，在上遞減；當(dāng)時，在上遞減，在上遞增；19、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)余弦定理可求得答案；（2）根據(jù)正弦定理和三角形的內(nèi)角和可求得答案.【小問1詳解】解：由余弦定理得：，所以.【小問2詳解】解：由正弦定理得：得，所以或120°，又因為，所以，所以或即或.20、（1）（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為d，首項為a1，根據(jù)已知條件列出方程組求解a1，d，代入通項公式即可得答案；（2）根據(jù)等差、等比數(shù)列的前n項和公式，利用分組求和法即可求解【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列公差為d，首項為a1，由題意，有，解得，所以；【小問2詳解】解：，所以21、（1）極大值為，無極小值（2）【解析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負判斷極值點，代入原函數(shù)計算即可；（2）將變形，即對恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，利用求導(dǎo)判定函數(shù)的單調(diào)性，進而確定實數(shù)a的取值范圍..【小問1詳解】對函數(shù)求導(dǎo)可得：,可知當(dāng)時，時，，即可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減由上可知，的極大值為，無極小值【小問2詳解】由對恒成立,當(dāng)時，恒成立；當(dāng)時，對恒成立,可變形為：對恒成立,令，則;求導(dǎo)可得：由（1）知即恒成立，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增;又，因，故，，所以在上恒成立，當(dāng)時，令，得，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，從而可知的最大值為，即，因此，對都有恒成立，所以，實數(shù)a的取值范圍是.22、（1）列聯(lián)表見解析，能有；（2）分布列見解析，.【解析】（1）利用數(shù)據(jù)直接填寫聯(lián)列表即可，求出，即可回答是否有的把握認為“網(wǎng)