遼寧省重點高中沈陽市郊聯(lián)體2023-2024學年高三上學期10月月考數(shù)學試題（解析版）

第第頁遼寧省重點高中沈陽市郊聯(lián)體2023-2024學年高三上學期10月月考數(shù)學試題（解析版）2023—2024學年度上學期高三年級10月月考試題

數(shù)學

第Ⅰ卷選擇題（共60分）

一、選擇題：（本大題共８小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1.已知集合，，，則實數(shù)的值為（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】由題設知，討論、求a值，結合集合的性質確定a值即可.

【詳解】由知：，

當，即，則，與集合中元素互異性有矛盾，不符合；

當，即或，

若，則，與集合中元素互異性有矛盾，不符合；

若，則，，滿足要求.

綜上，.

故選：A

2.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減的是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，結合各選項進行判斷即可.

【詳解】對于A，由題意可知的定義域為,，所以是偶函數(shù)且在上不是單調(diào)遞減，不符合題意；故A錯誤；

對于B，由題意可知的定義域為,，所以是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，符合題意；故B正確；

對于C，由題意可知的定義域為,，所以是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增；不符合題意；故C錯誤；

對于D，定義域為，不是偶函數(shù)，不符合題意；故D錯誤；

故選：B.

3.中，點為上的點，且，若，則（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，利用向量的線性運算法則，準確化簡，即可求解.

【詳解】如圖所示，因為，

由向量的線性運算法則,

可得

因為，所以，所以.

故選：D.

4.中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還．”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地．”則該人第一天走的路程為（）

A.228里B.192里C.126里D.63里

【答案】B

【解析】

【分析】應用等比數(shù)列的求和公式可得答案.

【詳解】由題意得，該人所走路程構成以為公比的等比數(shù)列，令該數(shù)列為，其前項和為，

則有，解得，

故選：B.

5.已知函數(shù)滿足，當時，，則（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】由題意可得是以6為周期的函數(shù)，結合已知條件即可求解.

【詳解】因為，所以是以6為周期的函數(shù)，

所以，

故選：D.

6.已知函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為且關于點對稱，則φ的值為（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】先由相鄰對稱軸間的距離判斷出最小正周期，由此得到，再結合正弦函數(shù)的對稱性運算即可.

【詳解】由函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為則，，

又因為其關于點對稱，，

即，則，解得，

且，所以.D正確.

故選：D

7.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用復合函數(shù)的單調(diào)性結合函數(shù)定義域，求實數(shù)的取值范圍

【詳解】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，由函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且恒成立，可得.

故選：C.

8.給定函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個零點，則的取值范圍是（）

A.B.

C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】由函數(shù)與方程的思想將函數(shù)恰有兩個零點轉化成函數(shù)與函數(shù)圖象有兩個交點，畫出圖像數(shù)形結合即可得.

【詳解】若函數(shù)恰有兩個零點，即方程有兩個不相等的實數(shù)根，

即函數(shù)與函數(shù)圖象有兩個交點，

易知，

令，解得，

所以當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以在取得最小值，

易知當時，，且時，

在同一坐標系下分別畫出兩函數(shù)圖象，如下圖所示：

由圖可知當時，函數(shù)與函數(shù)圖象有兩個交點

故選：C

二、多項選擇題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）

9.下列命題中正確的是（）

A.若，則

B.命題：“”的否定是“”

C.已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為

D.若函數(shù)則

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用二次函數(shù)求最值判斷A，利用全稱量詞命題的否定是存在量詞命題來判斷B，根據(jù)抽象函數(shù)的定義域可判斷C，根據(jù)換元法求解析式可判斷D.

【詳解】對于選項A，由，得，，

則，，

所以當時，取到最小值，所以，故選項A正確；

對于選項B，“”的否定是“”，故選項B不正確；

對于選項C，函數(shù)的定義域為，則中的范圍為，

即，所以，

由抽象函數(shù)的定義域可得，中的范圍為，

故函數(shù)的定義域為；所以選項C正確；

對于選項D，令，則，，

由得，，

所以，，所以選項D正確.

故選：ACD.

10.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列結論正確的是（）

A.若，則一定是鈍角三角形

B.若，則有兩解

C.若，則為等腰三角形

D.若為銳角三角形，則

【答案】AD

【解析】

【分析】對于A，利用余弦定理分析判斷，對于B，利用正弦定理分析判斷，對于C，利用余弦定理統(tǒng)一成邊形式化簡判斷，對于D，利用正弦單調(diào)性計算判斷.

【詳解】對于A選項，因為，則，

故角為鈍角，A選項正確；

對于B選項，在，，，，

，

則由正弦定理得，，得，

所以無解，所以B錯誤；

對于C選項，因為，即，

整理可得，所以，或，

故為等腰三角形或直角三角形，C選項錯誤；

對于D選項，若為銳角三角形，所以，所以，

則，D選項正確.

故選：AD

11.已知的三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，且，P是AB邊上的動點，則的值可能為（）．

A.﹣12B.﹣8C.﹣2D.0

【答案】BCD

【解析】

【分析】先由正弦定理求出，進而得到⊥，建立平面直角坐標系，設，，表達出，求出的取值范圍，得到答案.

【詳解】因為，

所以由正弦定理得，，

又，故，

又，，故⊥，

以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，

則，設，，

則，

則，

因為，所以，

A錯誤，BCD正確.

故選：BCD

12.已知函數(shù)，則下列結論正確的是（）

A.是周期為的奇函數(shù)B.在上為增函數(shù)

C.在內(nèi)有20個極值點D.在上恒成立的充要條件是

【答案】BCD

【解析】

【分析】A選項，根據(jù)函數(shù)奇偶性定義得到函數(shù)為奇函數(shù)，但，A錯誤；B選項，求導得到函數(shù)單調(diào)性；C選項，求導，令導函數(shù)等于0，檢驗后得到極值點個數(shù)；D選項，求導后，分與兩種情況，結合放縮法得到結論.

【詳解】A選項，的定義域為R，，是奇函數(shù)，

但是，不是周期為的函數(shù)，故A錯誤；

B選項，當時，，，單調(diào)遞增，

當時，，，單調(diào)遞增，

且在連續(xù)，故在單調(diào)遞增，故B正確；

C選項，當時，，，

令得，，

當時，，，

令得，,且以上零點均為變號零點，

故均為極值點，因此，在內(nèi)有20個極值點，故C正確；

D選項，由題意得在上恒成立，令，

當時，，令，，

，因為，所以，

則，由于，故，

當且僅當時，等號成立，故在上單調(diào)遞增，

所以，故滿足在上恒成立；

當時，，

由于，所以，則，

又，故，

若，此時，

則在單調(diào)遞減，則，不合要求，

若，則存在，使得，

當時，，當時，，

故在處取得極小值，且，不合要求.

綜上：，故D正確；

故選：BCD.

【點睛】方法點睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法：一是分離參數(shù)法，使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論.三是數(shù)形結合法，將不等式轉化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像確定條件.

第Ⅱ卷非選擇題（共90分）

三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題紙上．）

13.已知單位向量滿足若向量則_____．

【答案】##0.5

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件結合數(shù)量積的運算公式可求出和的值，從而根據(jù)向量夾角的計算公式即可求出的值.

【詳解】因為為單位向量，所以，

又因為所以，

，

又因為，所以.

故答案為：.

14.在等差數(shù)列中，為其前n項和．若，則數(shù)列的公差d＝______．

【答案】2

【解析】

【分析】由等差數(shù)列的性質得為等差數(shù)列后求解．

【詳解】由題意得，故，

故是以為首項，為公差的等差數(shù)列，，得，

故答案為：2

15.在平面直角坐標系中，已知點為角終邊上一點，若，，則______．

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出與，再結合及求出，最后利用余弦差角公式求出答案．

【詳解】因為點為角終邊上一點，，，，，

因為，所以，，

因為，所以，，

故，

所以

．

故答案為：．

16.數(shù)列滿足則數(shù)列的前60項和為______．

【答案】

【解析】

【分析】先由已知遞推式得到，，再對數(shù)列分組求和，即可解答.

【詳解】由，得

，

，

所以，

即，又，所以，

所以數(shù)列為各項均為1的常數(shù)數(shù)列，

所以，

又由得

，

，

即，

所以

，

所以數(shù)列的前60項和為.

故答案為：.

四、解答題：（滿分70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟，解答過程書寫在答題紙的對應位置．）

17.已知函數(shù)最大值為1．

（1）求a的值；

（2）將的圖象向上平移1個單位，再把圖象上所有點的縱坐標縮短到原來的（橫坐標不變），再把圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若求面積的最大值．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）先應用兩角和差公式結合輔助角公式化簡，再應用三角函數(shù)最值求參即可；

（2）先由求出，再應用余弦定理結合不等式求面積的最值.

【小問1詳解】

∵函數(shù)

，

函數(shù)的最大值為，

∴，．

【小問2詳解】

由已知則

因為在中，，所以

所以，所以

又由余弦定理及得：，

即，

所以，即（當且僅當時等號成立）．

所以.

18.已知等差數(shù)列的公差，其前n項和為，若，且，，成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）若，求的取值范圍.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量運算求出等差數(shù)列的首項和公差，寫出通項公式即可；

（2）利用等差數(shù)列前n項和公式求出，然后利用裂項相消法求得，利用單調(diào)性即可求得范圍.

【小問1詳解】

因為為等差數(shù)列，且，

所以，由成等比數(shù)列，得，

即，

因為，所以，所以，

故；

【小問2詳解】

因為，所以，

所以，故.

因為，即遞增數(shù)列，所以，

所以

19.設函數(shù)．

（1）若，求在處的切線方程；

（2）當時，證明：．

【答案】（1）

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）利用導數(shù)幾何意義求切線方程；

（2）通過構造新函數(shù)求最值即可證明.

【小問1詳解】

時，

所以，

所以在處的切線方程為．

【小問2詳解】

證明：當時，化為.

令，

時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；

，此時函數(shù)單調(diào)遞增．

時，函數(shù)取得極小值即最小值，

所以只要證明，

即證明即可．

令，，

,

可得時，函數(shù)取得極小值即最小值，，

所以在上恒成立，

所以，當時，成立．

【點睛】利用導數(shù)證明不等式的方法主要有：①構造函數(shù)，求解函數(shù)的最小值大于零；②分別求解的最小值和的最大值可證結論；③利用常見不等式進行放縮證明.

20.如圖，的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，外一點（與在同一平面內(nèi)）滿足，，.

（1）求；

（2）若的面積為2，求線段的長.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，結合三角恒等變換即可化簡得，根據(jù)三角函數(shù)的性質即可求解，

（2）根據(jù)面積公式可得，進而根據(jù)余弦定理即可求解.

【小問1詳解】

因為，由正弦定理可得，

即,

，

即.

又，，故，即，

所以，即，

因為，，所以，得.

【小問2詳解】

因為的面積，所以，

即，，

由余弦定理得，

所以，

因為平分，所以，所以.

21.已知數(shù)列中，其前項和為，且對任意，都有．等比數(shù)列中，，．

（1）求數(shù)列、的通項公式；

（2）求數(shù)列的前項和．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【詳解】試題分析：（1）由已知條件可得，根據(jù)可得數(shù)列是等差數(shù)列，故可得其通項公式，根據(jù)等比數(shù)列的性質可求出公比繼而可求出的通項公式；（2）根據(jù)等比數(shù)列前項和公式可得前項和，分為為奇數(shù)和為偶數(shù)，利用并項求和可求得的前項和，進而可得結果.

試題解析：（1）由得，……………①

當時，，………………②

由①－②得，，

即，整理得，

∵，∴，

由已知得，當時，，即，解得．

故數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．

∴．

設等比數(shù)列的公比為，則，所以．

故，即，解得．

故．

（2）記數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為．

則．

當偶數(shù)時，奇數(shù)項與偶數(shù)項各有項．

則

；

當為奇數(shù)時，奇數(shù)項為項，偶數(shù)項為項．

則

．

所以．

點睛：本題主要考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的概念，以及數(shù)列的求和，屬于高考中常考知識點，難度不大；常見的數(shù)列求和的方法有公式法即等差等比數(shù)列求和公式，分組求和類似于，其中和分別為特殊數(shù)列，裂項相消法類似于，錯位相減法類似于，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列等.

22.已知函數(shù)．

（1）當時，求函數(shù)的極小值；

（2）若上，使得成立，求的取值范圍．

【答案】(1)2；(2).

【解析】

【詳解】試題分析：（1）將參數(shù)值代入表達式，再進行求導，根據(jù)導函數(shù)的正負得到原函數(shù)的單調(diào)性，進而得到極值；（2）,有解，即h(x)的最小值小于0即可，對函數(shù)求導，研究函數(shù)的單調(diào)性，得到最小值即可.

解析：

（1）當時，

令0，得

且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

所以在時取得極小值為.

（2）由已知：，使得

，即：

設，則只需要函數(shù)在上的最小值小于零．

又，

令，得（舍去）或．

①當，即時，在上單調(diào)遞減，

故在上的最小值為，由，可得．

因為，所以．

②當，即時，在上單調(diào)遞增，

故在上的最小值為，由，

可得（滿足）．

③當，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在上的最小值為．

因為，所以，

所以，即，不滿足題意，舍去．

綜上可得或，

所以實數(shù)的取值范圍為．

點睛：導數(shù)問題經(jīng)常會遇見恒成立的問題：

（1）根據(jù)參變分離，轉化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；

（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉化為，若恒成立；2023—2024學年度上學期高三年級10月月考試題

數(shù)學

第Ⅰ卷選擇題（共60分）

一、選擇題：（本大題共８小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1.已知集合，，，則實數(shù)的值為（）

A.B.C.D.

2.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減的是（）

A.B.C.D.

3.中，點為上的點，且，若，則（）

AB.C.D.

4.中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還．”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地．”則該人第一天走的路程為（）

A.228里B.192里C.126里D.63里

5.已知函數(shù)滿足，當時，，則（）

A.B.C.D.

6.已知函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為且關于點對稱，則φ的值為（）

A.B.C.D.

7.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為（）

A.B.C.D.

8.給定函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個零點，則的取值范圍是（）

A.B.

C.D.

二、多項選擇題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）

9.下列命題中正確的是（）

A.若，則

B.命題：“”的否定是“”

C.已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為

D.若函數(shù)則

10.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列結論正確的是（）

A.若，則一定是鈍角三角形

B.若，則有兩解

C.若，則為等腰三角形

D.若