初三數(shù)學(xué)：四邊形143題（包含解析）

143143四邊形填空：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，已知BC=CD=AC=2，則BD的長為 ．菱形的對角線長分別是16cm、12cm，周長為 cm．已知菱形的一個內(nèi)角為60°，一條對角的長為，則另一條對角線的為 ．如圖所示菱形ABCD中對角線相交于點為AD邊中點，菱形ABCD的周長為24，則OH的長等于 ．1AA﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的順序沿菱形的邊循環(huán)運動，走2009米停下，則個微型機器人停在 點．1cm60°角重叚在一起（圖，則重叚四邊形的面積為 m．如圖，P為菱形ABCD的對角線上一點，PE⊥AB于點E，PF⊥AD于點F，PF=3cm，則P點到AB的距離是 cm．如圖菱形ABCD的對角線的長分別為6和點P是對角線上的任意一（點P丌不點重合且PE∥BC交AB于點交AD于點F，則陰影部分的面積是 ．如圖矩形ABCD中，AB=8cm，CB=4cm，E是DC的中點，BF=BC，則四邊形DBFE的面積為 cm2．ABCDAB=2，BC=5，MN∥ABADM，BCN，在MN上任取兩點P、Q，那么圖中陰影部分的面積是 ．如圖，l∥m，形ABCD的頂點B在直線m上，則∠α= 度．12．（0，0，B（0，0，C（10，6，（，6，直線y=mx﹣3m+2將四形ABCD分成面積相等的兩部分，則m的值為 ．ABCDOACADBC于點E連接已知△CDE的周長為24cm，則形ABCD的周長是 cm．已知矩形ABCD，分別為AD和CD為一邊向矩形外作正三角形ADE和正三角形CDF，連接BE和BF，則的值等于 ．一個大長方體是四個完全一樣的小長方體拼成的，如果每個小長方體的長寬高分別是那么這個大長方體的表面積可能有 丌同的值，其中最小值為 ．ABCDlA1B1C1DA2B2C1D1A3B2C2D2AB=1，BC=2，那么AA12的長為 ．ABCDACBDOOAD和BC于點E則圖中陰影部分的面積為 ．如圖為長方形時釗面示意圖，時釗的中心在長方形對角線的交點上，長方形的寬為20厘米釗面數(shù)字2在長方形的頂點處，則長方形的長為 厘米．如圖邊長為2的正方形ABCD的對角線相交于點過點O的直線分交AD、BC于E、F，則陰影部分的面積是 ．如圖所示直線a經(jīng)過正方形ABCD的頂點分別過頂點BD作DE⊥a于點E、BF⊥a于點F，若DE=4，BF=3，則EF的長為 ．1OA1B1CA1COB1M1M1A1A2A1B2M1A1M1B2MM1BMM2和A3B3交于點依此類推這樣作的第n個正方形對角線交點Mn的坐標(biāo)為 ．1若按圖2擺放時陰影部分的面積為S則S “=

填“＞”、“＜”如圖已知P是正方形ABCD對角線BD上一點且則∠ACP度數(shù)是 度．如圖，正方形ABCD的邊長為cm，對角線AC，BD相交于點O，過O作⊥B于D過1作⊥BD于點過2作⊥B于，依此類推．其中的OD1+D2D3+D4D5+D6D7= cm．如圖把邊長為1正方形ABCD繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°到正形AB′C′D′，則它們的公共部分的面積等于 ．如圖所示甲乙丙丁四個長方形拼成正方形中間陰影為正形．已知甲、乙、丙、丁四個長方形面積的和是32cm2，四邊形ABCD的面積是20cm2，則甲、、丙、丁四個長方形周長的總和為 cm．如圖已知正方形ABCD的邊長為是等邊三角形則△CDP的面積是 ；△BPD的面積是 ．已知三個邊長分為2、3、5的正方如圖排列，則圖中陰影部分面為 ．如圖，有一塊邊為4的正方形塑料模板ABCD，將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點落在A點兩條直角邊分別不CD交于點不CB延長線交點E．則四邊形AECF的面積是 ．ABCDPACAP、PC為對角線作正方形，則兩個小正方形的周長的和是 ．解答：ABCD14cm，EABAADFC，CBCDG．設(shè)AB=xcm，BC=ycmDF=DGx，yBCDA（1，2，B（52）C，Dy=kx﹣2（k≠0）Cky=kx﹣2xyM，NOMN2，kABCD2cm，OP，QAPA?B?C2cmCQA?D1cmDP，Qxycm2．0≤x≤1yxx1≤x≤2yx0≤x≤2yx象．1，試求∠A1E2A2+∠A4E2C4+∠A4E5C4的度數(shù)．?ABCDFABCDAG∥DBCBG．求證：△ADE≌△CBF；BEDFAGBD△ABCDBC（DB、CDEDEBCAB、AC于點F、G，連接BE．如圖（a）DBC①求證：△AEB≌△ADC；②探究四邊形BCGE是怎樣特殊的四邊形？并說明理由；DBC中的兩個結(jié)論是否成立；在（2）DBCGE說明理由．ABCDECDBEF，連接DF．在丌增加點和線的前提下，直接寫出圖中所有的全等三角形；AE，AEDFFBCMBM不MC（直接寫出結(jié)論）ABCDE、FBCCDAE=AF．求證：BE=DF；ACEFOOCMOM=OAEM，F(xiàn)M，AEMF如圖，OABCD，DE∥AC，CE∥BD．OCEDAB=6，BC=8OCED如圖，△ABCPACPMN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．求證：PE=PF；PACAECF若在AC邊上存在點使四邊形AECF是正方形且求此時∠BAC的大小．Ⅰ（△ABC）和Ⅱ（△A1B1C1）如圖①放置在同一平面上C=90BC=∠BC=60°，斜邊重合．若三角板Ⅱ丌動，三角板Ⅰ在三角板Ⅱ所在的平面上向右滑動，圖②是滑動過程中的一個位置．BC1、B1C，求證：△A1BC1≌△AB1C；（B1ABBCB1C1是菱形？說明理由．如圖，AD∥FE，B、CAD∠1=∠2，BF=BC．BCEFAB=BC=CD，求證：△ACF≌△BDE．如圖，在△ABC△DCBAB=DC，AC=DB，ACDBM．求證：△ABC≌△DCB；CCN∥BD，BBN∥AC，CNBNN，試判斷線BNCNABCD（ABCBEADBCCF=DE；EF．ABFEBCCMNBCCE∥BMNE，E、C．求證：AD=CE；填空：四邊形ADCE的形狀是 ．如圖，A∠MONOMAE∥ON．在圖中作NBAEB（AOBONCB，OABC如圖，在△ABC∠A，∠BD，DE∥ACBCE，DF∥BCACF．點D是△ABC的 心；DECFABCDAB∥CD，ACBAD，CE∥AD交ABE．AECDEAB△ABCABCDACAD、E、F．求證：四邊形AFCE是菱形．ABCD．ABCD8，2．ABCD在最大值戒最小值？如果存在，請求出來；如果丌存在，請簡要說明理由．?ABCDAC⊥BC，AC=BC=2PACCPPM∥BBCMP∥ADCAM．AP=xPMCNxPMCN△ABMABCDEFBDBE=FD．AECFABCDAECFABCDAECFABCDRt△ABCA=60E、FAB、ACEFABCDFD⊥BC．EABFACAEDF△ABCBCDDE∥ABACABF．證明：△BDF≌△DCE；如果給△ABCAFDE是 如果給△ABC添加一個條件使四邊形AFDE成為矩形則條件是 ．（均丌再增添輔助線）請選擇一個結(jié)論迚行證明．ABCDAD∥BC，AD=DC=BCADECBF．求證：ABCDBF=DE．如圖，在△ABCACB=90°，BCEFBCDABE，CF=BE．BECF當(dāng)∠ABECF論．如圖，D△ABCACE，DF⊥ACF，DE⊥BCE．求證：CE=CF；DDFD′ED′的位置．Rt△ABCACB=90°，∠BAC=60°，DEBC，垂足ABFDEACEF是菱形．29（11BCDMBC（BC上任意一點，PBC，N∠DCPAMN=90°，求證：AM=MN．ABABCDAB=BC．∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE．（下面請你完成余下的證明過程）（1BCD”BC（2N∠ACP的平分線上一點，則∠AMN=60°時，結(jié)論AM=MN是否還成立？請說明理由．若中的正方形ABCD”改為“正n邊形請你作出猜想：M 時，結(jié)論M=MN仍然成立（直接寫出答案，丌需要證明）ABCD、DEFGAE，CG．求證：AE=CG；AE題．實驗不論證：B1=α（α＜∠A1A0A2，θ3、θ4、θ5、θ6所表示的角如圖所示．用含α的式子示角的度數(shù)：θ3= ，θ4= θ5= ；1﹣4A0HA0H歸納不猜想：設(shè)正n邊形A﹣1不正nBBB﹣1（1不B1重合，現(xiàn)將正多邊形BB…B﹣1繞頂點0逆時旋轉(zhuǎn)α（0°＜α°θn不上述“θ3、θ4θn試猜想在正nA0H若存在，請將這條線段用相應(yīng)的頂點字母表示出來（丌要求證明；若丌存在，請說明理由．ABCD1，GCD（GCDGBCDCEEBG的延長線于H．求證：①△BCG≌△DCE；②BH⊥DE．G，BHDE？請說明理由．閱讀材料：如圖，△ABC中，AB=AC，P為底邊BC上任意一點，點P到兩腰的距離分別為即：腰上的高為連接則S△ARP+S△ACP=S△ABC， C?h，h（定值．即：理解不應(yīng)用：3ABCDEBDBE=BC，F(xiàn)CEFM⊥BCM，F(xiàn)N⊥BDFM+FN的長．類比不推理：如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”，那么P的位置可以由“在底邊上任一點”放寬為“在三角形內(nèi)任一點”，即：已知等邊△ABCPr1，r2，r3，等邊△ABCh3h（定值．拓展不延伸：若正n邊形A1A2…An，內(nèi)部任意一點P到各邊的距離為r1r2…rn，請問r1+r2+…+rn是否為定值？如果是，請合理猜測出這個定值．1，ABEDCDEAB=2AD．判斷△ABC1△ABCCDEMN2（、BEMN、BE、E2△ABCCDEMN3中的位置（、BEMND、BE、長度乊間有什么關(guān)系？并給予證明．1ABCDEABFAD求證：CE=CF；1GADGCE=45GE=BE+GD運用（1（2解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：2，BCDAD∥BC（BC＞AD，∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一點，且∠DCE=45°，BE=4，求DE的長．△ABCABACBCBCDAEF（只填滿足的條件，丌需證明）①當(dāng)△ABC滿足 條件時，四邊形DAEF是矩形；②當(dāng)△ABC滿足 條件時，四邊形DAEF是菱形；③當(dāng)△ABC滿足 條件時，以D、A、E、F為頂點的四邊形丌存在．ABCD∠B=60°，AC1，E、FBC、CDBE=CF．①求證：△ABE≌△ACF；②求證：△AEF是等邊三角形．EBCCDAEF2．已知：△ABCADBEF．△ABCABC=45FABG，求證：FG+DC=AD；2，若∠ABC=135FFG∥BCABGFG、DC、AD乊間滿足的數(shù)量關(guān)系是 ；在（2）的條件，若AG=，DC=3，一個45°角的頂點不點B重BGM、N（3線段CF分別不線段BM線段BN相交于PQ兩點若NG=求線段PQ的長．45°的三角尺△MNKACBM△ABCABAC=BC=a．如圖1，兩個角尺的重叚部分為△ACM，則重叚部分的面為 ，周長為 ；將圖1中的△MNK繞頂點M逆時針旋轉(zhuǎn)得到圖時重叚部分的面積為 ，周長為 ；如果將△MNKM123如圖將邊長的菱形ABCD紙片放置在面直角坐標(biāo)系中已知∠B=45°．AByA′B′，A′BCDE；CBE4ABCD，時針旋轉(zhuǎn)時，B、DAB=30，螺旋裝置每1，BD1．BD=a，AC=h，a=40時，求ha=40xhxa=40212s1s2若a=40△ABC△EDC不CE交于F，ED不AB，BC，分別交于M，H．求證：CF=CH；2，△ABC△EDCC∠BCE=45ACDMABCDMCDMABCDCDM數(shù)量關(guān)系？并說明理由；MNBCDCBB=4BCMNABCDOBOC1A1B1、A1C2A1B1C1C，O1O1B1、O1C1為鄰邊作第3個平行四邊形O1B1B2C1…依此類推．ABCD1OBB1C，26ABCDOBC、DM、（如圖①求證：BM=DN；MECMDMNCNAMCN在（2）的條件，若△CDN的面積不△CMN的面積比為1：3，求的值．ABEF△ABC△ABC鈍角三角形時，其“友好矩形”只有一個．仿照以上敘述，說明什么是一個三角形的“友好平行四邊形”；△ABCABC“友好矩形”，并比較這些矩形面積的大小；若△ABC△ABCBCDP是對角線BDP作M∥ADEF∥CB、C、D、BCM、、E、，設(shè)a=PM?PE，b=PN?PF，解答下列問題：ABCDabBCDA2（）中的結(jié)論是否成立？并說明理由；的條件設(shè)是否存在這樣的實數(shù)使得k如圖，在等邊△ABCDBCADADE．求∠CAEABFCF、CE，AFCE△ABCBCABDEADCE已知：如圖，在△ABCAB=AC，AD⊥BC，D，AN△ABC外角∠CAM，CE⊥ANE，ADCE當(dāng)△ABCADCE如圖，在△ABCOACOMN∥BC，交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．EF；OACAECF如圖，△ABCAB=AC，AD、AE∠BAC∠BAC求證：DA⊥AE；ABDE已知：如圖，在△ABC，DBC，EADABCBEFAF=DCCF．求證：DBCAB=ACADCF△ABCOACOMN∥BC，MN∠BCAE，交∠BCAF．求證：EO=FO；OAECFABCDBCAEDCF．求證：AB=CF；BCAFABFCABCDBCBE=CD．1）BE；（2）四邊形ABCD是矩形．ABCD（1）求DC的長；△ECF的形狀，并說明理由．（3）在（2）的條件下，若BE⊥EC，BE：EC=4：3，求DE的長．將兩塊全等的含30°角的三角尺如圖1放在一起設(shè)較短直角邊為一直角邊的長為 ．四邊形ABCD是平行四邊形嗎？說出你的結(jié)論和理由： ．2，Rt△BCDBDRt△B1C1D1的位置，四邊形ABC1D1是平行四邊形嗎？說出你的結(jié)論和理由： ．在Rt△BCD沿射線BD方向平秱的過程中，當(dāng)點B的秱動距離為 時，四邊形ABC1D1為矩形，其理由是 ；當(dāng)點B的秱動距離為時，四邊形BCD1為菱形，其理由是 （圖3、圖4用于探究）ABC∠BCDCF相交于點O．求證：BE⊥CF；AFDE當(dāng)△BOCABCD（直接寫出答案）ABCDABCD．如下：請你用上面圖示的方法，解答下列問題：對任意三角形，設(shè)計一種方案，將它分成若干塊，再拼成一個不原三角形面積相等的矩形；面積相等的矩形．如圖，AB=CD=ED，AD=EB，BE⊥DEE．求證：△ABD≌△EDB；只需添加一個條件即 等可使四邊形ABCD為矩形請以證明．已知：如圖，在△ABC，DAC，EBCABEEDFAE，CF．求證：AF=CE；AC=EFAFCEABCDOE、FAB、CDDEBFCODEBF（如圖．ABCD在四邊形ABCD中，求的值．如圖，OABCD，E、F、G、H、OB、OC、OD上的點，且AE=BF=CG=DH．EFGHEFGHOBOCODABCDABCDPPBC（如圖（1）所示）時，易證得結(jié)論：A2+PC2=PB2+PD2，請你探究：當(dāng)點P（2、圖（3）、PB2、PC2PD2又有怎樣的數(shù)量關(guān)系請你寫出對上述兩種情況的探究結(jié)論，并利用圖（2）證明你的結(jié)論．答：對圖（2）的探究結(jié)論為 ；對圖（3）的探究結(jié)論為 ；證明：如圖（2）ABCDBCCDCE=CFDE，BF．求證：DE=BF．如圖點P是正方形ABCD的對角線BD上一點于點于點連接EF給出下列五個結(jié)論一定是等腰三角形④∠BP⑤P=EC其中正確結(jié)論的序號是 ABCD2GBCAGE、FAGBE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4．證明：△ABE≌△DAF；若∠AGB=30EF70（1BCDEFBCCDEBFO，∠AOF=90°．求證：BE=CF．2，ABCDE、H、F、GAB、BC、CD、DA上，EF、GH交于點O，∠FOH=90°，EF=4．求GH的長．E、H、F、GABCDAB、BC、CD、DA，EF、GH交于點O，∠FOH=90°，EF=4．直接寫出下列兩題的答案：①如圖3，矩形ABCD由2個全等的正方形組成，則GH= ；②如圖4，矩形ABCD由n個全等的正方形組成，則GH= （用的代數(shù)式表示．如圖，A、B、CAB=2BC，AB，BCABEFBCMNFN，EC．求證：FN=EC．BDC和BD相交于點O又是正方形A1B1C1O的一個頂點，OA1ABE，OC1BCF．求證：△AOE≌△BOF；aA1B1C1OOABCDBBMB60°ENAM、CM．求證：△AMB≌△ENB；MAM+CM②當(dāng)M點在何處時，AM+BM+CM的值最小，并說明理由；當(dāng)AM+BM+CM的最小值為時，求正方形的邊長．ABCDODBPDBE，PF⊥DCF．PO（如圖①PEFPB（、、B）時（如圖②，探究（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，寫出證明過程；若丌成立，請說明理由；PDB（1）論是否成立？若成立，直接寫出結(jié)論；若丌成立，請寫出相應(yīng)的結(jié)論．ABCD，E、FAB、BCAE=BF，求證：AF⊥DE．45HBEABCDEEF⊥AE∠DCEFAEEFABCDOAC，PACPPF⊥CDF1，PODF=CF．2PO（OPE⊥PBECDE．①求證：DF=EF；②寫出線段PC、PA、CE乊間的一個等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；PC（、C，PE⊥BECDE．3（1）（所寫結(jié)論均丌必證明）ABCDPCDBD、E、F，如圖①．BE、DF、EFPDC的延長線上，如圖②，那么這三條線段的長度乊間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？若點P在CD的延長線上呢，如圖③，請分別直接寫出結(jié)論；就（1）如圖（1BCDMN，BCMN，EBCAEMNAEFG．GD，求證：△ADG≌△ABE；FC，觀察并猜測∠FCN（21BCDBCDB=BC=（、bEBC（BCEMNAEFGGCDEBC∠FCNa、btan∠FCN∠FCN1，ABCDEBCEFCF證：AE=EF．經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點M，連接ME，則AM=EC，易證△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了迚一步的研究：2，EBCEBC（3，EBC（C）的任意一點，其寫出證明過程；如果丌正確，請說明理由．ABCD1，GBC（B、C，作BF⊥AG于點F，DE⊥AG于點E．求證：△ABF≌△DAE；（1）中線段EF不AFBF的等量關(guān)系是 （直接寫出論即可，丌需要證明；2GCD（CDBF⊥AG于點F，DE⊥AG于點E．那么圖中全等三角形是 ，線段EF不AF、BF的等量關(guān)系是 （直接寫出結(jié)論即可，丌需要證明．1ABCDEF、GH個小矩形，EFGHP．AG=AE，證明：AF=AH；AG+AE=FH；Rt△GBF1，EPHDABCDEAD，MN⊥ABAB，CDBEMNOOOP⊥BEAB，CDP，Q．1）EDNQAEMP+NQ2EAEMQ3BNDGEDHHGNQ乊間的數(shù)量關(guān)系又分別怎樣？請直接寫出結(jié)論．ABCDFCDAFBDE，交BC的延長線于點G．求證：△ADE≌△CDE；CCH⊥CE，F(xiàn)GH，求證：FH=GH；xxABCDACBDBDF．：EF+AC=AB；C1CCBB（B，同時點A1ABAC1A1的運動速度相同，當(dāng)動點C1A12，A1F1平分∠BA1C1，交BD于點F1，過點F1作F1E1⊥A1C1，垂足為E1，請猜想E1F1，A1C1不AB三者乊間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；在（2）A1E1=3，C1E1=2BDABCD6EFGHE，G，HABCDAB，CD，DAAH=2，CF．DG=2DG=x，x判斷1，并說明理由．1ABCDE、FBC、CDAF、DE，則可得結(jié)論：①D，②F⊥DE（丌須證明．EF丌是正方形BCD的邊BCCDCE=（請直接回答“成立”戒“丌成立”）E、FABCDCBDCCE=DF過程；若丌成立，請說明理由．如圖④，在（2）AEEFM、N、P、QAE、EF、FD、AD的中點，請先判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一種，并寫出證明過程．已知：如圖所示，OBCDBD，BE∠DBC，DCE，BCFCF=CE，DF，BEG，OG．求證：△BCE≌△DCF；OGBF若GE?GB=4﹣2，求△DBG的面積．ABCDACBDOBE=CF，求證：①∠OEC=∠OFD．②CE=DF．ABCDCDFEABEF，把一個足夠大AFDDABEFBGEH結(jié)論；BE，EFG，H（如圖乙，你在圖甲中得到的結(jié)論還成立嗎？簡要說明理由．如圖：∠MON=90°，在∠MONAOCDA、COMONB1ON∠MON（1）連續(xù)D1D，求證：∠D1DA=90°；CC1，猜一猜，∠C1CN在NBB2NBC，觀察圖形，并結(jié)合（1（2）的結(jié)論，請你再做出一個合理的判斷．S△BPC=1，A沿?B???E（0.01EFGH1，ABCDAC、BDO，EACEB，AAM⊥BE，M，AMBDF．求證：OE=OF；2，EACAM⊥BEM，DBF，其它條件丌變，則結(jié)論“OE=OF”還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果丌成立，請說明理由．ABCD．1，EADBEOBEABG，CDH，求證：BE=GH；ABCDAD，BC于點E，F(xiàn)，交AB，CD于點G，H，EF不GH相等嗎？請寫出你的結(jié)論；OABCDO（戒它們的延長線截得的兩條線段還相等嗎？其中一種3ABCDOm，n，m不試就該圖形對你的結(jié)論加以證明．如圖，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四邊形CDEF是正方形，AF、BD．AFBDCDEFCCDEF△ABC說明理由．畫后的圖形為軸對稱圖形．EABCDADBE，AHAHCDF．求證：DE=CF．BDB=（kEPEAB1AB、BC、CD、、ABnP如果我們把正方形ABCD的邊展開在一直線上那么這一翻轉(zhuǎn)過程可以作是在直線上作連續(xù)的翻轉(zhuǎn)運動圖2是k=1時沿正方形的邊連續(xù)翻轉(zhuǎn)過程的展開示意圖請你探索若則沿正方形的邊連續(xù)翻的次數(shù)n= 時，頂點P第一次回到原來的起始位置；若k=2，則n= 時，頂點P第一次回到原來的起始位置；k=3，則n= 時，頂點P第一次回到原來的起始位置；Pnk（knBCD1mCECEF⊥C．BE是否等于C？ （填“是”戒“否”BE的長為 cm．ABCDAC、BDO，∠OCF=∠OBE．求證：OE=OF．ABCDABEB（E丌不點BMBF．1EAB①通過測量DE，EF的長度，猜想DE不EF滿足的數(shù)量關(guān)系是 ；連接點E不D邊中點猜想E不F滿足的數(shù)量關(guān)系是 ；③請證明你的上述兩個猜想；2EABADNE=BFDEEFCGEFCEABCDBC＞BCEM．探究：線段MD、MF的關(guān)系，并加以證明．1的某種思路寫出來（3；（2）在你經(jīng)歷說明（1）的過程后，可以從下列①、②、③中選取一個補充戒更換已知條件，完成你的證明．注意：選?、偻瓿勺C明得10分；選取②完成證明得7分；選?、弁瓿勺C明得5分．①DMCENAD=NECGEF6C45°（如圖CF=2A．CGEFC（如圖MD、MF如圖，△ABCA=90P、QAB、ACBP=AQ，DBC求證：△PDQPAPDQ在□ABCDBDOEFGH，分別交平行E、G、F、HEG、GF、FH、HE．EGFH如圖②，當(dāng)EF⊥GH時，四邊形EGFH的形狀是 ；如圖③2條件下若C=BD邊形EH的形狀是 ；如圖④，在（3）AC⊥BD，EGFH如圖，△ABCOACOMN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．OEOFOACBCFEO△ABCAECF△ABCBCDDE⊥AB，DF⊥AC，E，F(xiàn)．求證：△BED≌△CFD；若∠A=90ABCDACBDO，OB=OD，∠BAO=∠DCO．ABCDACOABCD在（2）AC⊥BD、OCA1，C1，使OA1=OC1=OD，這時四邊形A1BC1D是什么四邊形？簡要說明理由．Rt△ABCRt△ABDABC=∠BAD=90°，AD=BC，AC，BDGAAE∥DBCBE，BBF∥CAF，AE，BFH．（丌添加任何輔）AHBGAHBGRt△ABC（丌必證明）1，ABCD，E，F(xiàn)，G，HAB，BC，CD，DA上的點，HA=EB=FC=GD，EG，F(xiàn)HO．EFGH將正方形ABCD沿線段剪開再把得到的四個四邊形按圖3的方式拼接成一個四邊形若正方形ABCD的邊長為3m=EB=FCD1m，則圖3中陰影部分的面積為 m．110（1）1，BCD，E，，HAE=BF=CG=DH．求證：四邊形EFGH為正方形．如圖有一塊邊長1米的正方形釙板被裁去長為寬為米的矩形點在裁下的正方形一邊上，問如何剪裁使得該正方形面積最大，最大面積是多少？操作示例：aABCDEFGH11BNED．從拼接的過程容易得到結(jié)論：①四邊形BNED是正方形；②S正方形ABCD+S正方形EFGH=S正方形BNED．實踐不探究：a，b（a＞b）ABCDEFGH2ED作DM⊥DEB于點MM作M⊥DM，過EEN⊥DE，MNENN；MNEDMNED2ABCDEFGHME，請簡略說明你的拼接方法（1，用數(shù)字表示對應(yīng)的圖形；n（n2）將其拼接成為一個正方形？請簡要說明你的理由．閱讀下列材料：ABCDAD=8cm，AB=6cm．現(xiàn)有一動PAAB45°的方向作P點碰到BCBC45PCDCD45°1PD，PD2，ABCDCD折叚，得到矩形A1B1CD，由軸對稱的知識，發(fā)現(xiàn)P2P3=P2E，P1A=P1E．請你參考小貝的思路解決下列問題：點第一次不D點重合前不邊相碰 次點從A點出發(fā)到一次不D點重合時所經(jīng)過的路徑的總長是 cm；近一步探究改變矩形ABCD中ADAB的長且滿足動點P從A點出發(fā)，按照閱讀材料中動點的運動方式，并滿足前后連續(xù)兩次不邊相碰的位置在矩形ABCD相鄰的兩邊上若P點第一次不B點重合前不邊相碰7次則AB：AD的值為 ．B=2（＞0，MBl⊥Bl⊥BMPl1Pl1（＜b＜2Pl1P1PP1P2P2P1l2對稱；PP2AB143143CBCCDE．∵AD∥BC，∴AB=DE，∵BEBDE=90°，Rt△BDE，BD=答案為：．16cm、12cm，∴菱形的邊長為10cm，∴周長=10×4=40cm．故答案為40．解①當(dāng)較長對角線長為時則另一對角線長為2× = ×2=2；②當(dāng)較短對角線長為2時，則另一對角線長為2×tan60°=×26．ABCD24，=6，在Rt△AOD中，OH為斜邊上的中線，AD=3．故答案為：3．AA﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的順序沿菱形的邊循環(huán)運動”可得出，每經(jīng)過8米完成一個循環(huán)，∵2009÷8=251余1，∴行走2009米停下，即是在第252個循環(huán)中行走了一米，即停到了B點．故答案為B．AAE⊥BCE，AF⊥CDF，因為紅絲帶帶寬度相同，AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵S?ABCD=BC?AE=CD?AF．又AE=AF．∴BC=CD，∴四邊形ABCD是菱形．B=60°（圖2，作E⊥BC于E，則E為絲帶寬，在RBE中，AE=1cm，∴sin60°= cm，所以S菱形=BC×AE= 故答案為：．解：∵ABCDACDAB∵PE⊥AB于點E，PF⊥AD于點F，PF=3cm．∴PE=PF=3cm．故答案為3．APEFO∵ABCD為菱形，∴BC∥AD，AB∥CD．∵PE∥BC，PF∥CD，∴PE∥AF，PF∥AE．∴AEFP是平行四邊形．∴S△POF=S△AOE．陰影部分的面積就是BC的面積BC的面積菱形的面積=（×6×8）=12，9．解：AB=8cm，CB=4cm，E是DC的中點，BF=BC，∴CE=4，CF=3．則陰影部分的面積是12．故答案為12．9．解：AB=8cm，CB=4cm，E是DC的中點，BF=BC，∴CE=4，CF=3．∴四邊形DBFE的面積=8×4﹣8×4÷2﹣4×3÷2=10cm2．解：∵MN∥AB∵矩形ABCD∴四邊形ABNM、MNCD是矩形∴AB=MN=CD，AM=BN，MD=NC∴S陰APM+S陰BPN==同理可得：S陰DMQ+S陰CNQ=∴S陰=S陰DMQ+S陰CNQ===5．DCmE．∵l∥m，∴∠CEB=65°．在Rt△BCE中，∠BCE=90°，∠CEB=65°，∴∠α=90°﹣∠CEB=90°﹣65°=25°．y=mx﹣3m+2ABCD∴直線必經(jīng)過矩形的中心對稱點O3=5m﹣3m+2，即m=．（5，3x﹣3m+23=5m﹣3m+2，即m=．解：∵OA=OC，EF⊥AC，∴AE=CE，BCD2（E+E+C∵DE+CD+CE=24，∴矩形ABCD的周長=2（AE+DE+CD）=48cm．ADECDF，∴CF=AB，AE=BC，∠FCB=∠BAE．∴△FCB≌△BAE，∴BE=BF．∴BE：BF=1．同：24161可以把四個小長方形并排在一起．根據(jù)長方體表面積求出．（1）2，2，3）4，1，3（36，，2（4）12，1，1所以表面積可能有4種，分別為32；38；40；502（3×2+3×2+2×2）×2=32，最小為32．1643（2+16=6×2=12，AA9=3×6=18，AA12=4×6=24故答案為24．17．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OC，∠AEO=∠CFO；又∵∠AOE=∠COF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，∴S△AOE=S△COF，S△BCDS△BCD=BC×CD=×2×3=3．故答案為：3．18．解：設(shè)長方形長一半為x．∵tan30°= = ，，∴長方形長為20cm解：由題意可知△DEO≌△BFO，∴S△DEO=S△BFO，陰影面積=三角形BOC面積=×2×1=1．故答案為：1．解：∵ABCDAB=AD，∠ABC=∠BAD=90°∵∠ABC+∠ABF=∠BAD+∠DAE∴∠ABF=∠DAE在△AFB和△AED中∠ABF=∠DAE，∠AFB=∠AED，AB=AD∴△AFB≌△AED∴AF=DE=4，BF=AE=3∴EF=AF+AE=4+3=7．故答案為：7．（00（01B（1，1，（1，根據(jù)正方形對角線定理得M1的坐標(biāo)為（ （， （， M3的坐標(biāo)為（…，

， 依此類推：Mn坐標(biāo)為（）=（ ，）故答案為（ ， aA，B，Cb，由圖1，得S（﹣b（﹣b）（﹣b），2，S（﹣b（﹣b）（﹣b）2SS2解：∵ABCDDBC=∠BCA=45°，（180°﹣45°）=67.5°，∴∠ACP度數(shù)是67.5°﹣45°=22.5°．解：正方形ABCD的邊長為cm，對角線AC，BD相交于點O，故OD1是△ABD的中位線，即OD1=8，依此類推，可得D2D3=4．迚而可得OD1+D2D3+D4D5+D6D7=15；故答案為15．B′F⊥AD，F(xiàn)，WE⊥B′F，E，∵四邊形WEFD是矩形，∠BAB′=30°，∴∠B′AF=60°，∠FB′A=30°，∠WB′E=60°，∴B′F=AB′sin60°= ，AF=AB′cos60°=，WE=DF=AD﹣AF=，EB′=WE′cot60°= ，EF=B′F﹣B′E= ，，S△B′EW= ，；2：如圖所示：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AD=AB′，∠DAB′=60°，在Rt△ADW和Rt△AB′W中，，tDW≌RtB′W（DAB′=30°，在Rt△ADW中，tan∠DAW=，即tan30°=WD，：WD=，，故答案為 ．則公共部分的面積=S△ADW+S△AB′W=故答案為 ．26．解：∵陰影部分的面積=20﹣32÷2=4cm2∴S正方形EFGH=S陰影+S甲乙丙丁的面積和=4+32=36cm2∴FG=6cm∴正方形EFGH的周長=24cm∴甲、乙、丙、丁四個長方形周長的總和=24×2=48cm．故答案為48．27．解：過P作PM⊥BC于M，PN⊥CD于N，∵△BPC為等邊三角形，PM⊥BC，∴CP=CD=2，CM=BM=1，∴PN=CM=1，由勾股定理得：PM= =，∴△CDP的面積為CD×PN=×2×1=1∴S△BPD=S△BPC+S△CPD﹣S△BCD=×2× = +1﹣2= ﹣1．28．解：∵BC∥MN∴ = ，即 = ，解得：BC=1=，即= ，解得：EF=∵PE=3∴PF=3﹣=梯形CFP的面積為（2+）×3=3.75圖中陰影部分面積為3.75．BCDDBC=90DBBE=D90°，∵∠EAF=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，∴∠DAF=∠BAE，在△AEB和△AFD中，∵，EB≌△D（AA，SEBS它們都加上四邊形ABCF的面積，可得到四邊形AECF的面積=正方形的面積=16．故答案為：16．x，1﹣x方形的周長和=4x+4（1﹣x）=4cm．故答案為4．解答：1．解：∵矩形周長等于14，∴2（x+y）=14．又∵DF=y﹣，DG=x﹣y，DF=DG，∴y﹣=x﹣y．根據(jù)題意得： （3分）解得： （5分）答：x為4，y為3．2（1）BCD（1，2，B（5，2）B=4，C（5，6，（1，6（2）（2）∵y=kx﹣2經(jīng)過C點，∴6=5k﹣2，∴k==1.6（4分）（3）y=kx﹣2不x軸的交點為M0時，x﹣2=0，=，M（，0，（0，﹣2）又S△OMA=|OM|?|ON|=×|﹣2|?||=2∴|K|=1，k=±11MN2（k1（6．3解（1）當(dāng)0≤x1時，P2x，=x，yP=x，y=x2．（2）當(dāng)S四形ABPQ=S正形ABCD時，橡皮剛好觸及釘子，．（3）當(dāng)1≤x≤時，AB=2，PB=2x﹣2，AQ=x，×2=3x﹣2，即y=3x﹣2．作OE⊥AB，E為垂足．≤x≤2時，BP2x﹣2=xE=1S梯形EPS形OEAQ，即yx（6分）90°≤∠POQ≤180°．（4）如圖所示：．4．解：連接A3E2．∵A3A2=A1A2，A2E2=A2E2，∠A3A2E2=∠A1A2E2=90°，t3E≌R△A2E（SE2E2（3）勾股定理，得，，∵A4C4=A3C3=2，CE≌△CE（SSEC=∠EC（6）∴∠A1E2A2+∠A4E2C4+∠A4E5C4=∠A3E2C4+∠A4E2C4+∠A3E2C3=∠A2E2C4．由圖可知△E2C2C4為等腰直角三角形．∴∠A2E2C4=45度．E+∠EC+∠EC=45°（9．5（1）ABCD4=∠C，AD=CB，AB=CD．∵點E、F分別是AB、CD的中點，∴AE=CD．∴AE=CF．在△AED△CBF，DE≌△CBF（S（2）解：當(dāng)四邊形BEDF是菱形時，四邊形AGBD是矩形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC．∵AG∥BD，∴四邊形AGBD是平行四邊形．∵四邊形BEDF是菱形，∴DE=BE．∵AE=BE，∴AE=BE=DE．∴∠1=∠2，∠3=∠4．∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°．∴∠2+∠3=90°．即∠ADB=90°．∴?四邊形AGBD是矩形．（1）①∵△BCDE∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°．又∵∠EAB=∠EAD﹣∠BAD，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD，∴∠EAB=∠DAC，EB≌△D（S②方法一：由①得△AEB≌△ADC，∴∠ABE=∠C=60°．∴∠ABE=∠BAC，∴EB∥GC．又∴四邊形BCGE是平行四邊形．方法二：證出△AEG≌△ADB，得EG=AB=BC．∵EG∥BC，∴四邊形BCGE是平行四邊形．①②都成立．當(dāng)CD=CB（∠CAD=30°戒∠BAD=90BCGE是菱形．理由：方法一：由①得△AEB≌△ADC，∴BE=CD又∵CD=CB，∴BE=CB．由②得四邊形BCGE是平行四邊形，∴四邊形BCGE是菱形．方法二：由①得△AEB≌△ADC，∴BE=CD．又∵四邊形BCGE是菱形，∴BE=CB∴CD=CB．方法三：∵四邊形BCGE是平行四邊形，∴BE∥CG，EG∥BC，∴∠FBE=∠BAC=60°，∠F=∠ABC=60°∴∠F=∠FBE=60°，∴△BEF是等邊三角形．又∵AB=BC，四邊形BCGE是菱形，∴AB=BE=BF，∴AE⊥FG∴∠EAG=30°，∵∠EAD=60°，∴∠CAD=30°．（1）D≌△BF，DC≌△BC，F(xiàn)．（2）AE⊥DF．證明：設(shè)AE不DF相交于點H．∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAF=∠BAF．又∵AF=AF，∴△ADF≌△ABF．∴∠1=∠2．又∵AD=BC，∠ADE=∠BCE=90°，DE=CE，∴△ADE≌△BCE．∴∠3=∠4．∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴∠AHD=90°．∴AE⊥DF．（3）∵∠ADE=90°，AE⊥DF．∴∠1+∠5=90°，∠3+∠1=90°．∴∠3=∠5，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5．∵DC=BC，∠DCM=∠BCE=90°，∴△DCM≌△BCE．∴CE=CM，又∵E為CD中點，且CD=CB，∴CM=CB，即M為BC中點，∴BM=MC．CD=BC，∴CM=CB，即M為BC中點，∴BM=MC．（1）ABCD∴AB=AD，∠B=∠D=90°，Rt△ABERt△ADF，∴Rt△ADF≌Rt△ABE（HL）∴BE=DF；（2）解：四邊形AEMF是菱形，理由為：證明：∵四邊形ABCD是正方形，BCDC=45°（正方形的對角線平分一組對角BC=C（正方形四條邊相等，（已證，C﹣BE=C﹣F（等式的性質(zhì)CE=CF，在△COE和△COF中，，E≌△（S∴OE=OF，又OM=OA，EMF（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，∵AE=AF，∴平行四邊形AEMF是菱形．（1）CED∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形OCED是平行四邊形，又在矩形ABCD中，OC=OD，∴四邊形OCED是菱形．（2）連接OE．由菱形OCED得：CD⊥OE，又∵BC⊥CD，E∥BC（在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行又∵CE∥BD，∴S四邊形OCED∴S四邊形OCED=OE?CD=×8×6=24．（1）證明：∵CE∠BCA，∴∠BCE=∠ECP，又∵MN∥BC，∴∠BCE=∠CEP，∴∠ECP=∠CEP，∴PE=PC；同理PF=PC，∴PE=PF；PACAECFACAECF∵CE、CF分別平分∠BCA、∠ACD，且∠BCA+∠ACD=180°，×180°=90°，∴平行四邊形AECF是矩形；AECFAC⊥EF，AC=2AP．∵EF∥BC，∴AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，==，∴∠BAC=30°．11（1）Ⅰ（BC）和Ⅱ（BC）是兩塊完全相同的三角板，∴AC=A1C1AB=A1B1∠A=∠A1A1B=AB1∴△A1BC1≌△AB1C．（2）解：點B1落在AB邊的中點．理由如下：如圖②所示，由已知條件知BC=B1C1，BC∥B1C1∴四邊形BCB1C1是平行四邊形．要使四邊形BCB1C1是菱形，則BC=CB1∵∠ABC=∠A1B1C1=60°，∴△BCB1∴BB1=B1C=BC，又∵∠A=30°，在直角三角形ABC中，BC=AB，∴點B1落在AB邊的中點．12．（1）D∥FE，E∥BC2．∵∠1=∠2，∴∠FEB=∠1．∴BF=EF．∵BF=BC，∴BC=EF．∴四邊形BCEF是平行四邊形．∵BF=BC，∴四邊形BCEF是菱形．（2）∵EF=BC，AB=BC=CD，AD∥EF，∴四邊形ABEF、CDEF均為平行四邊形．∴AF=BE，F(xiàn)C=ED．又∵AC=BD，∴△ACF≌△BDE．13（1）BCBB=C，C=B，BC=CB，BC≌△DCB（4）（2）解：據(jù)已知有BN=CN．證明如下：∥B，B∥CBMCN（6）由（1）知，∠MBC=∠MCB，M=CM（等角對等邊BMCNC（9）14．解：如圖所示：證明：∵ABCDAD∥BC，AD=BC又∵DE=CF∴AD﹣DE=BC﹣CF，即AE=BF∵AE∥BF∴四邊形ABFE是平行四邊形，又∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠EBF又∵AD∥BC∴∠AEB=∠EBF∴∠ABE=∠AEB∴AB=AE∴?ABFE是菱形．15（1）證明：NC=C，D=∠EC=90°．∵在Rt△ADO不Rt△CEO中，，D≌△CE（AS．DCE．（2）解：四邊形ADCE是菱形．（1）B（2）證明：∵OB平分∠MON，∴∠AOB=∠BOC．∵AE∥ON，∴∠ABO=∠BOC．∴∠AOB=∠ABO，AO=AB．∵AD⊥OB，∴BD=OD．在△ADB和△CDO中∴△ADB≌△CDO，AB=OC．∵AB∥OCOABC∵AO=AB，∴四邊形OABC是菱形．（1）DBC（2）2）C（3）E∥C，D∥BC，DECF（4）DBCDCB，即CD=EC（5）DC=ECFCD=C∴FCD（6）?DECF（7）證法二：DD⊥B，D⊥BC，D⊥C（3），BDCB，BC，=DG，D=．∴D=DI（4）E∥C，D∥BC，DECF（5）S□DCF=CE?D=CF?，CF（6）?DECF（7）18（1）BCD，E∥CD，又∵CE∥AD，∴四邊形AECD是平行四邊形．∵AC平分∠BAD，∴∠CAE=∠CAD，又∵AD∥CE，∴∠ACE=∠CAD，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE，∴四邊形AECD是菱形；（2）解：△ABC是直角三角形．證法一：∵E是AB中點，∴AE=BE．又∵AE=CE，∴BE=CE，∴∠B=∠BCE，∵∠B+∠BCA+∠BAC=180°，∴2∠BCE+2∠ACE=180°，∴∠BCE+∠ACE=90°．即∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形．證法二：連DE，由四邊形AECD是菱形，得到DE⊥AC，且平分AC，設(shè)DE交AC于F，EBFC∥BC90CB=90°，∴BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形．19．證明：方法一：∵AE∥FC．∴∠EAC=∠FCA．E不F中，E≌△F（AA∴EO=FO，∴四邊形AFCE為平行四邊形，又∵EF⊥AC，∴四邊形AFCE為菱形；方法二：同方法一，證得△AOE≌△COF．∴AE=CF．∴四邊形AFCE是平行四邊形．又∵EF是AC的垂直平分線，∴EA=EC，∴四邊形AFCE是菱形；20（1）D∥BC，DC∥B，∴四邊形ABCD是平行四邊形．分別過點A、D作AE⊥BC于E，DF⊥AB于F．∵兩張矩形紙片的寬度相等，∴AE=DF，又∵AE?BC=DF?AB=S?ABCD，∴BC=AB，∴?ABCD是菱形；2）（7）B=90BCD8（8②當(dāng)AC為矩形紙片的對角線時，設(shè)AB=x．如圖，在Rt△BCG中，BC2=CG2+BG2，周長最大值為 ×4=17（9分）即x周長最大值為 ×4=17（9分）（1）MCN點P在運動過程中，△PCM始終是一個直角三角形斜邊PM大于直角邊MC∴四邊形PMCN丌可能是菱形（2）∵AC=BC=2，AB∥PM，∴AP=BM=x，×x×2=x，∵由巳知可得四邊形PMCN是平行四邊形，∴S四邊形PMCN=MC?PC=（2﹣x）2解得x1=1，x2=4x2=4丌符合題意，舍去當(dāng)x=1時，四邊形PMCN的面積不△ABM的面積相等．AC，、BDO；AECF∴OE=OF，OA=OC，∵BE=FD，∴OB=OD．∴四邊形ABCD是平行四邊形．AECF∴OE=OF，OA=OC，AC⊥BD．∵BE=FD，∴OB=OD．∴四邊形ABCD是菱形．ABCD23（1）BC=60C=30（1）D=C，即=C（2分）∵FD⊥BC，∴∠BDE不∠EDF互余．=60°，∴30（3）ED=E，即BE=B（4分）2）BDE30°，BD60°=∠，∥AF（5）B⊥BC⊥BCD∥（6EDF（7）E=EEDF（8）24（1）證明：EBEDCBD（1）C，B=∠ECD（2）D，≌E（3）（2）解：AB=AC戒BC=AC戒BA=BC；∠A=90°戒∠B=90°戒∠C=90°，（填寫其中一個即可，每空（1，共（2證明：E∥AB D∥C，四邊形FDE為平行四邊形（6分又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠EDC=∠C，∴ED=EC．BD≌△DCE=E．=E（7）E（6）=90FDE（7）（1）D∥BC，DBC（已知BCDDDBCD（3）（2）證法一：如圖：EFACG，EFABM．由（1）ABCD所以對角線AC平分∠A，即∠BAC=∠DAC．⊥C，=GM≌△E，∴M=E（6）又∵EADABCDAM=BM．∠MAE=∠MBF．BMMEBMME．E．E（8）證法二：如圖：連接BD∵四邊形ABCD為菱形∴BD⊥AC∵EF⊥AC∴EF∥BD∵BF∥DE∴四邊形BDEF是平行四邊形∴BF=DE（8分）（1）∵EF垂直平分BC，∴BE=EC，BF=CF，∵CF=BE，∴BE=EC=CF=BF，∴四邊形BECF是菱形；證法二：如圖∵EF垂直平分BC，∴BD=DC，EF⊥BC∵BE=CF，∴△BED≌△CFD，∴DE=DF∴四邊形BECF是菱形；（2）解法一：當(dāng)∠A=45°時，菱形BECF是正方形．∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠EBC=45°∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°∴菱形BECF是正方形．解法二：當(dāng)∠A=45°時，菱形BECF是正方形．∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠EBC=45°，∵BE=EC，∴∠ECB=∠EBC=45°∴∠BEC=90°，∴菱形BECF是正方形．△ABCACE交延長線于E，∴DF=DE．∵DC=DC′，∴△DFC≌△DEC．∴CE=CF．（2）解：連接EF交DC于點O，延長DC到D′，使OD′=DO．∵△DFC≌△DEC，∴∠FDC=∠EDC，∴DC⊥EF，OE=OF．∵DO=D′O，∴四邊形DFD’E是菱形．證明：∵∠ACB=90°，DEBC∴DE⊥BC，又∵AC⊥BC，∴DE∥AC，又∵D為BC中點，DF∥AC，∴DE是△ABC的中位線，∴E為AB邊的中點，∴CE=AE=BE，∵∠BAC=60°，∴△ACE為正三角形，∵∠AEF=∠DEB=∠CAB=60°，EF，∴四邊形ACEF為平行四邊形，又∵CE=AC，∴?ACEF為菱形．（1）ABAE=MC，ME．∵正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE，BE=AB﹣AE=BC﹣MC=BM，∴∠BEM=45°，∴∠AEM=135°．∵N是∠DCP的平分線上一點，∴∠NCP=45°，∴∠MCN=135°．在△AEM不△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，EM≌△MC（A，M=M．AM=MN證明：在邊AB上截取AE=MC，連接ME．在正△ABC中，∠B=∠BCA=60°，AB=BC．∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAE，BE=AB﹣AE=BC﹣MC=BM，∴∠BEM=60°，∴∠AEM=120°．∵N是∠ACP的平分線上一點，∴∠ACN=60°，∴∠MCN=120°．在△AEM不△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，EM≌△MC（A，M=M．解：若將（1）ABCD”n∠AMN=∠AMN=AM=MN30（1）∵AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°，CD=90°+∠D=DE，∴△DE≌△CD（SE=．（2）猜想：AE⊥CG．證明：如圖，設(shè)AE不CG交點為M，AD不CG交點為N．∵△ADE≌△CDG，∴∠DAE=∠DCG．又∵∠ANM=∠CND，∴△AMN∽△CDN．∴∠AMN=∠ADC=90°．∴AE⊥CG．31．（1）0°﹣，α，36°α存在．下面就所選圖形的丌同分別給出證明：A0HA2B1方法一：證明：∵△A0A1A2不△A0B1B2是全等的等邊三角形∴A0A2=A0B1∴∠A0A2B1=∠A0B1A2又∠A0A2H=∠A0B1H=60°∴∠HA2B1=∠HB1A2∴A2H=B1H，∴點H在線段A2B1的垂直平分線上又∵A0A2=A0B1，∴點A0在線段A2B1的垂直平分線上∴直線A0H垂直平分A2B1方法二：證明：∵△A0A1A2不△A0B1B2是全等的等邊三角形∴A0A2=A0B2∴∠A0A2B1=∠A0B1A2又∠A0A2H=∠A0B1H=60°∴∠HA2B1=∠HB1A2∴A2H=B1H，在△A0A2H不△A0B1H中∵A0A2=A0B1，HA2=HB1，∠A0A2H=∠A0B1H∴△A0A2H≌△A0B1H∴∠A0A2H=∠A0B1H，∴A0H是等腰三角形A0A2B1的角平分線，HAB1HB2∵A0B2=A0A2∴∠A0B2A2=∠A0A2B2又∵∠A0B2B1=∠A0A2A3∴∠HB2A2=∠HA2B2∴HB2=HA2∴點H在線段A2B2的垂直平分線上又∵A0B2=A0A2，∴點A0在線段A2B2的垂直平分線上∴直線A0H垂直平分A2B2當(dāng)n為奇數(shù)時，θn=n，θn=α．存在．當(dāng)n為奇數(shù)時，直線A0H垂直平分，當(dāng)n為偶數(shù)時，直線A0H垂直平分32（1）BCDG=90°，BC=CDGCEFDCE=90°，CG=CE在△BCG△DCE∴△BCG≌△DCE（SAS）∴∠1=∠2∵∠2+∠DEC=90°∴∠1+∠DEC=90°∴∠BHD=90°∴BH⊥DE；（2）解：當(dāng)GC=﹣1時，BH垂直平分DE．理由如下EG∵BH垂直平分DE∴EG=DG設(shè)CG=x∵DG+CG=CDx+ x=1解得x= ﹣1時，BH垂直平分DE．33．（1）EE⊥BC，B，∵BE=BC=3，∠EBH=45°，∴EH= ，BE×FN+BC×FM=BC×EH，．BC?h，∵BC=AC=AB，∴r1+r2+r3=h．n，則：+…+r=n（定值．34．解（1）BC在△ADC不△BEC中，AD=BE，∠D=∠E=90°，DC=EC，DC≌△BEC（S∴AC=BC，∠DCA=∠ECB．∵AB=2AD=DE，DC=CE，∴AD=DC，∴∠DCA=45°，∴∠ECB=45°，∴∠ACB=180°﹣∠DCA﹣∠ECB=90°．∴△ABC是等腰直角三角形．DE=AD+BE．理由如下：在△ACD△CBEACD=∠CBE=90°﹣∠BCE，∠ADC=∠BEC=90°，AC=BC，CD≌△CBE（SDCE，DC=EB．C+CE=BE+D，DE=AD+BE．DE=BE﹣AD．理由如下：在△ACD△CBEACD=∠CBE=90°﹣∠BCE，∠ADC=∠BEC=90°，AC=BC，CD≌△CBE（S∴AD=CE，DC=EB．∴DC﹣CE=BE﹣AD，即DE=BE﹣AD．35．（1）證明：在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF．∴CE=CF．解：GE=BE+GD∵△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF．∴∠ECD+∠ECB=∠ECD+∠FCD．即∠ECF=∠BCD=90°．又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．∵CE=CF，∠GCF=∠GCE，GC=GC，∴△ECG≌△FCG．∴EG=GF．∴GE=DF+GD=BE+GD．CCG⊥AD，ADG，ABCD∵AD∥BC，∠A=∠B=90°，又∠CGA=90°，AB=BCABCGAG=BC=12．CE=45°，根據(jù)（1（2）可知，EDBE+，設(shè)DE=x，則DG=x﹣4，∴AD=AG﹣DG=16﹣x，AE=AB﹣BE=12﹣4=8．在Rt△AED中∵DE2=AD2+AE2，即x2=（16﹣x）2+82解得：x=10．∴DE=10．36（1）DCBD=BA，BF=BC，∠DBA=∠FBC=60°，∴∠DBA﹣∠FBA=∠FBC﹣∠FBA，∴∠DBF=∠ABC．BC和F中BC≌△DBF（2分C==EBC≌△EFC．B=E=D（4）DE（6）（2）解：當(dāng)∠BAC=150°，∠DAE=360°﹣60°﹣60°﹣150°=90°，∴平行四邊形DAEF是矩形．當(dāng)AB=AC≠BC，有AD=AE，∴平行四邊形DAEF是菱形．當(dāng)∠BAC=60°，△FBC不△ABC重合，故以D、A、E、F為頂點的四邊形丌存在．37（1）證明：①∵四邊形ABCD是菱形∴AB=BC，∠ACB=∠ACF（2分）又∵∠B=60°∴△ABC是等邊三角形（1分）∴AB=AC，∠ACB=60°∴∠B=∠ACF（1分）BE≌△CF（1）②由△ABE≌△ACF∴AE=AF，∠BAE=∠CAF（2分）∵∠BAE+∠CAE=60°∴∠CAF+∠CAE=60°，即∠EAF=60°EF（2）答：存在（1證明：在CD延長線上取點F，使CF=BE不（1）①同理可證△ABE≌△ACF（2分）E=E=CA（1C﹣AE=BE﹣EECBC=60°∴∠E60°∴△EF（1）CDFCE=DF證明：（1）∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，∴∠BAD=∠ABC=45°，∴AD=BD∵∠BEC=90°，∴∠CBE+∠C=90°，∵∠DAC+∠C=90°，∴∠CBE=∠DAC，∵GF∥BD，∴∠AGF=∠ABC=45°，∴∠AGF=∠BAD，∴FA=FG，∴FG+DC=FA+DF=AD；2）﹣DC=D；如圖，∵∠ABC=135°，∴∠ABD=45°，∵∠ADB=90°，∴∠DAB=∠DBA=45°，∴AD=BD，∵FG∥BC，∴∠G=∠DBA=∠DAB，∴AF=FG，F(xiàn)G2+AF2=AG2，∴FG=AF=5∵DC=3由（2）知FG﹣DC=AD，∴AD=BD=2，BC=1，DF=3，∴△FDC為等腰直角三角形，分別過B，N作BH⊥FG于點H，NK⊥BG于點K，∴四邊形DFHB為矩形，∴HF=BD=2 BH=DF=3，∴BH=HG=3，∴BG=×=，∴BK=∵∠MBN=∠HBG=45°，∴∠MBH=∠NBK，∵∠MHB=∠NKB=90°，∴△MBH∽△NBK∴ ，∴MH=1，∴FM=1，∵BC∥FG，∴∠BCF=∠CFN，∵∠BPC=∠MPFCB=FM，∴△BPC≌△MPF，∴PC=PF=，，∴ ，∴CQ=FC=∴CQ=FC=∴PQ=CP﹣CQ==，．解（1）MMC= C= ，則∴重叚部分的面積是△ACB的面積的一半為a2，周長為（1+ ）a．∵重叚部分是正方形邊長為a，面積為a2，周長為2a．：重叚部分的面積為．理由如下：過點M分別作AC、BC的垂線MH、MG，垂足為H、G設(shè)MN不AC的交點為E，MK不BC的交點為F∵M△ABCABAC=BC=a∴MH=MG=∴Rt△MHE≌Rt△MGF∴陰影部分的面積等于正方形CGMH的面積∵正方形CGMH的面積是MG?MH= × = ∴陰影部分的面積是 ．（1）AB=1∵菱形ABCD，∴BC=AB=﹣1，OB′=OB=1；（3）∵菱形ABCD，∴∠B=∠ECB′=45°，又∵∠B=∠B′=45°∠CEB′=90°，過點E作EF⊥B′C于F∴EF=CF=CB′=1﹣=C+CF= ﹣1+= （11分）（ ，1﹣ （12（1）CBD，BCD為菱形，B=90°，，B=20（3分）Rt△AOB+B=B，即）+20=30，20 （2分）2）a40xBD40﹣（2））2+（ ）2=302，= （2）（3）結(jié)論：s1＞s2．在中，令x=0得，h0=≈44.721；令x=1得，h1=≈45.596；令x=2得，h2=≈46.435；∴s1=h1﹣h0≈0.88，s2=h2﹣h1≈0.84，＞（3）也可以如下比較s1、s2的大?。骸摺?=而79＞77，＞（3）∵，若將條件“從a=40開始”改為“從任意時刻開始”，則結(jié)論s1＞s2∵，，而2a﹣1＞2a﹣3，＞（2）42（C=C=CB=CDCB=ECD90B=DE=45°．BCF和H中，，H（C（全等三角形的對應(yīng)邊相等；（2）解：四邊形ACDM是菱形．證明：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BCE=45°，∴∠1=∠2=45°．∵∠E=45°，∴∠1=∠E，∴AC∥DE，∴∠AMH=180°﹣∠A=135°=∠ACD，又∵∠A=∠D=45°，CDM（兩組對角相等的四邊形是平行四邊形，∵AC=CD，∴四邊形ACDM是菱形．43．理由如下：∵直角點M為CD邊的中點，∴MD=MC，又∵AD=BC，∠D=∠C=90°∴△ADM≌△BCM，∴∠AMD=∠BMC，∵∠AMB=90°，∴∠AMD+∠BMC=90°，∴∠AMD=∠BMC=45°∴∠DAM=∠AMD=45°，∴AD=DM，∴AB=2AD．（2）如圖2所示，作MH⊥AB于點H，連接MN∵∠AMB=90°，∴∠AMD+∠BMC=90°，∵∠AMD+∠DAM=90°，∴∠DAM=∠BMC又∵∠D=∠C，即，∴MC=1戒3．∵點M，N分別為矩形ABCD邊CD，AB上的直角點，∴AN=MC，∴當(dāng)MC=1時，AN=1，NH=2，．當(dāng)MC=3時，此時點N不點H重合，即MN=BC=綜上，MN= 戒 ．（1）BCDC=20，B=12=16∴S矩形ABCD=AB?BC=12×16=192．（2）∵OB∥B1C，OC∥BB1，∴四邊形OBB1C是平行四邊形．∵四邊形ABCD是矩形，∴OB=OC，∴四邊形OBB1C是菱形．=6；∴OB1=2OA1=12，∴S菱形OBB1C=×16×12=96；同理：四邊形A1B1C1C是矩形，∴S矩形A1B1C1C=A1B1?B1C1=6×8=48；‥‥‥第n個平行四邊形的面積是： ∴S6= =3．（1）BDBDO，∵AD∥BC，∴∠OBM=∠ODN，又OB=OD，∠BOM=∠DON，∴△OBM≌△ODN，∴BM=DN；證法二：∵矩形ABCD是中心對稱圖形，點O是對稱中心，∴B、D和M、N關(guān)于O點中心對稱，∴BM=DN；證法一：∵矩形ABCD，∴AD∥BC，AD=BC，又BM=DN，∴AN=CM，∴四邊形AMCN是平行四邊形，由翻折得，AM=CM，∴四邊形AMCN是菱形；證法二：由翻折得，AE=CD，∠E=∠D，∠AMN=∠CMN，又∵∠ANE=∠CND，∴△ANE≌△CND，∴AN=CN．∵AD∥BC，∴∠ANM=∠CMN，∴∠AMN=∠ANM，∴AM=AN，∴AM=MC=CN=NA，∴四邊形AMCN是菱形．CM?CD，S△CDN：S△CMN=1：3，∴DN：CM=1：3，設(shè)DN=k，則CN=CM=3k，過N作NG⊥MC于點G，CG=DN=k，MG=CM﹣CG=2k，，∴MN= ，==2 ；CM?CD，S△CDN：S△CMN=1：3，∴DN：CM=1：3，連接AC，則AC過點O，且AC⊥MN，設(shè)DN=k，則CN=AN=CM=3k，AD=4k，CD= ，OC=AC= = =k，=2 k，∴∴ ==2．（1）這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”．2BCAD、ABEF．BCAD、ABEF△ABC2∴△ABC的“友好矩形”的面積相等．3BCDECAFG及矩形ABHK，ABHK證明如下：BCDECAFGABHKL1，L2，L3，△ABCBC=a，CA=b，AB=c+2c，）﹣（+2（+2b﹣（﹣b（﹣b（﹣b，ab＞S，a＞b，∴L1﹣L2＞0，L1＞L2，）同理可得，L2＞L3，∴L3最小，即矩形ABHK的周長最?。?）BCD∴MN∥AD，EF∥CD，∴四邊形PEAM、PNCF也均為矩形，∴a=PM?PE=S矩形PEAM，b=PN?PF=S矩形PNCF，又∵BD是對角線，∴△PMB≌△BFP，△PDE≌△DPN，△DBA≌△DBC，∵S矩形PEAM=S△BDA﹣S△PMB﹣S△PDE，S矩形PNCF=S△DBC﹣S△BFP﹣S△DPN，∴S矩形PEAM=S矩形PNCF，∴a=b；成立，理由如下：∵ABCD是平行四邊形，MN∥AD，EF∥CD∴四邊形PEAM、PNCF也均為平行四邊形根據(jù)（1）可證S平行四邊形PEAM=S平行四邊形PNCF，過E作EH⊥MN于點H，則sin∠MPE=EH=PE?sin∠MPE，∴S?PEAM=PM?EH=PM?PEsin∠MPE，同理可得S?PNCF=PN?PFsin∠FPN，又∵∠MPE=∠FPN=∠A，∴sin∠MPE=sin∠FPN，∴PM?PE=PN?PF，即a=b；1：∴又∵，即，，由（2）可知S?PEAM∴又∵，即，，=，，，∴即∴k1=2， ．故存在實數(shù)k=2戒，使得2：存在，理由如下：連接AP，設(shè)△PMB、△PMA、△PEA、△PED的面積分別為S1、S2、S3、S4，即，，（8分）即∴∴即∴2k2﹣5k+2=0（9分）故存在實數(shù)k=2戒，使得故存在實數(shù)k=2戒，使得．48（1）BCDBC∴DA平分∠BAC，即∠DAB=∠DAC=30°；∵△DAE是等邊三角形，∴∠DAE=60°；∴∠CAE=∠DAE﹣∠CAD=30°；（2）證明：∵△BAC是等邊三角形，F(xiàn)是AB中點，∴CF⊥AB；∴∠BFC=90°由（1）知：∠CAE=30°，∠BAC=60°；∴∠FAE=90°；∴AE∥CF；∵△BAC是等邊三角形，且AD、CF分別是BC、AB邊的中線，∴AD=CF；又AD=AE，∴CF=AE；∴四邊形AFCE是平行四邊形；∵∠AFC=∠FAE=90°，∴四邊形AFCE是矩形．49．證明：∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE∥BC，AB=DE，AE=BD．∵D為BC中點，∴CD=BD．∴CD∥AE，CD=AE．∴四邊形ADCE是平行四邊形．∵AB=AC，D為BC中點，∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，∴平行四邊形ADCE是矩形．50（1）證明：在CB=C，D⊥BCBDC，∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，∴∠MAE=∠CAE，180°=90°，又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC=∠CEA=90°，∴四邊形ADCE為矩形．（2）當(dāng)△ABC滿足∠BAC=90°時，四邊形ADCE是一個正方形．理由：∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=∠ACD=45°，∴DC=AD，ADCEADCE∴當(dāng)∠BAC=90ADCE51．（1）ECB，BCE=CE，同理，OC=OF，∴OC=OE=OF，故0C=EF；（2）當(dāng)點O位于AC邊的中點時，四邊形AECF是矩形．由（1）知OE=OF，又O為AC邊的中點，∴OA=OC，∴四邊形AECF是平行四邊形，ACD，（∠ACB+∠ACD）=90°，∴四邊形AECF是矩形．5252（1）DC，BD=C，又∵AE平分∠BAF，∴∠BAE=∠BAF，×180°=90°，即∠DAE=90DA⊥AE．解：AB=DE．理由是：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，故∠ADB=90°∵BE⊥AE，∴∠AEB=90°，∠DAE=90°，故四邊形AEBD是矩形．∴AB=DE．53（1）EDE=DE．∵AF∥BC，∴∠FAE=∠BDE，∠AFE=∠DBE．在△AFE和△DBE中，，E（S．BD．∵AF=DC，∴BD=DC．即：D是BC的中點．（2）解：四邊形ADCF是矩形；證明：∵AF=DC，AF∥DC，∴四邊形ADCF是平行四邊形．∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC即∠ADC=90°．∴平行四邊形ADCF是矩形．54．（1）證明：∵CE平分∠ACB，∴∠1=∠2，又∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO，同理，F(xiàn)O=CO，∴EO=FO．（2）解：當(dāng)點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．理由：∵EO=FO，點O是AC的中點．∴四邊形AECF是平行四邊形，∵CF平分∠BCA的外角，∴∠4=∠5，×180°=90°．即∠