2024屆四川省綿陽市梓潼中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2024屆四川省綿陽市梓潼中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．二項式的展開式中，各項二項式系數(shù)的和是（）A.2 B.8C.16 D.322．“且”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件3．已知是雙曲線：的右焦點，是坐標(biāo)原點，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，并交軸于點．若，則的離心率為（）A. B.C.2 D.4．已知向量與向量垂直，則實數(shù)x的值為（）A.﹣1 B.1C.﹣6 D.65．函數(shù)極小值為（）A. B.C. D.6．已知實數(shù)滿足，則的取值范圍（）A.-1m B.-1m<0或0<mC.m或m-1 D.m1或m-17．?dāng)?shù)列，，，，…，的通項公式可能是（）A. B.C. D.8．已知空間向量，，，則（）A.4 B.-4C.0 D.29．從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是（）A.至少有一個黑球與都是黑球B.至少有一個黑球與至少有一個紅球C.恰好有一個黑球與恰好有兩個黑球D.至少有一個黑球與都是紅球10．如圖，四棱錐中，底面是邊長為的正方形，平面，為底面內(nèi)的一動點，若，則動點的軌跡在（）A.圓上 B.雙曲線上C.拋物線上 D.橢圓上11．過點，的直線的斜率等于1，則m的值為（）A.1 B.4C.1或3 D.1或412．已知圓錐的表面積為，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的體積為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若圓C的方程為，點P是圓C上的動點，點O為坐標(biāo)原點，則的最大值為______14．如圖所示，在直二面角D－AB－E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中，則點D到平面ACE的距離為________15．中國三大名樓之一的黃鶴樓因其獨特的建筑結(jié)構(gòu)而聞名，其外觀有五層而實際上內(nèi)部有九層，隱喻“九五至尊”之意，為迎接2022年春節(jié)的到來，有網(wǎng)友建議在黃鶴樓內(nèi)部掛燈籠進行裝飾，若在黃鶴樓內(nèi)部九層塔樓共掛1533盞燈籠，且相鄰的兩層中，下一層的燈籠數(shù)是上一層燈籠數(shù)的兩倍，則內(nèi)部塔樓的頂層應(yīng)掛______盞燈籠16．如圖，在三棱錐中，，二面角的余弦值為，若三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知在△中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）若，求△的面積S的最大值.18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，且，點在棱上，且直線與平面所成角的正弦值為（1）求點的位置；（2）求點到平面的距離19．（12分）已知圓的方程為（1）求圓的圓心及半徑；（2）是否存在直線滿足：經(jīng)過點，且_________________？如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請說明理由從下列三個條件中任選一個補充在上面問題中并作答：條件①：被圓所截得的弦長最長；條件②：被圓所截得的弦長最短；條件③：被圓所截得的弦長為注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分20．（12分）已知圓：，過圓外一點作圓的兩條切線，，，為切點，設(shè)為圓上的一個動點.（1）求的取值范圍；（2）求直線的方程.21．（12分）如圖1，已知矩形中，，E為上一點且.現(xiàn)將沿著折起，使點D到達(dá)點P的位置，且，得到的圖形如圖2.（1）證明為直角三角形；（2）設(shè)動點M在線段上，判斷直線與平面位置關(guān)系，并說明理由.22．（10分）設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個零點，，求的取值范圍，并證明：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)給定條件利用二項式系數(shù)的性質(zhì)直接計算作答.【詳解】二項式的展開式的各項二項式系數(shù)的和是.故選：D2、A【解析】按照充分必要條件的判斷方法判斷，“且”能否推出“”，以及“”能否推出“且”，判斷得到正確答案，【詳解】當(dāng)且時，成立，反過來，當(dāng)時，例：，不能推出且.所以“且”是“”的充分不必要條件.故選：A【點睛】本題考查充分不必要條件的判斷，重點考查基本判斷方法，屬于基礎(chǔ)題型.3、A【解析】由條件建立a，b，c的關(guān)系，由此可求離心率的值.【詳解】設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴離心率，故選：A.4、B【解析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)計算公式代入可得的值【詳解】解：向量，與向量垂直，則，由數(shù)量積的坐標(biāo)公式可得：，解得，故選：【點睛】本題考查空間向量的坐標(biāo)運算，以及數(shù)量積的坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題5、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可求得該函數(shù)的極小值.【詳解】對函數(shù)求導(dǎo)得，令，可得或，列表如下：減極小值增極大值減所以，函數(shù)的極小值為.故選：A.6、C【解析】把看成動點與所確定的直線的斜率，動點在所給曲線上.【詳解】就是點，所確定的直線的斜率，而在上，因為，.故選：C7、D【解析】利用數(shù)列前幾項排除A、B、C，即可得解；【詳解】解：由，排除A，C，由，排除B，分母為奇數(shù)列，分子為，故數(shù)列的通項公式可以為，故選：D8、A【解析】根據(jù)空間向量平行求出x,y，進而求得答案.【詳解】因為，所以存在實數(shù)，使得，則.故選：A.9、C【解析】列舉每個事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對立事件的定義，逐項判斷.【詳解】A：事件：“至少有一個黑球”與事件：“都是黑球”可以同時發(fā)生，如：兩個都是黑球，這兩個事件不是互斥事件，故錯誤；B：事件：“至少有一個黑球”與事件：“至少有一個紅球”可以同時發(fā)生，如：一個紅球一個黑球，故錯誤；C：事件：“恰好有一個黑球”與事件：“恰有兩個黑球”不能同時發(fā)生，但從口袋中任取兩個球時還有可能是兩個都是紅球，兩個事件是互斥事件但不是對立事件，故正確D：事件：“至少有一個黑球”與“都是紅球”不能同時發(fā)生，但一定會有一個發(fā)生，這兩個事件是對立事件，故錯誤；故選：C10、A【解析】根據(jù)題意，得到兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由題意，得到，，再由得到，求出點的軌跡，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，分別以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為底面是邊長為的正方形，則，，因為為底面內(nèi)的一動點，所以可設(shè)，因此，，因為平面，所以，因此，所以由得，即，整理得：，表示圓，因此，動點的軌跡在圓上.故選：A.【點睛】本題主要考查立體幾何中的軌跡問題，靈活運用空間向量的方法求解即可，屬于?？碱}型.11、A【解析】解方程即得解.【詳解】由題得.故選：A【點睛】本題主要考查斜率的計算，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平.12、D【解析】設(shè)圓錐的半徑為，母線長，根據(jù)已知條件求出、的值，可求得該圓錐的高，利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的半徑為，母線長，因為側(cè)面展開圖是一個半圓，則，即，又圓錐的表面積為，則，解得，，則圓錐的高，所以圓錐的體積，故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系求得正確答案.【詳解】圓的方程可化為，所以圓心為，半徑.由于，所以原點在圓外，所以最大值為.故答案為：14、【解析】建立合適空間直角坐標(biāo)系，分別表示出點的坐標(biāo)，然后求解出平面的一個法向量，利用公式求解出點到平面的距離.【詳解】以AB的中點O為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)E，OB所在的直線為x軸、y軸，過垂直于平面的方向為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面ACE的法向量，則，即，令，∴故點D到平面ACE的距離.故答案：.15、【解析】根據(jù)給定條件，各層燈籠數(shù)從上到下排成一列構(gòu)成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項和公式計算作答.【詳解】依題意，各層燈籠數(shù)從上到下排成一列構(gòu)成等比數(shù)列，公比，前9項和為1533，于是得，解得，所以內(nèi)部塔樓的頂層應(yīng)掛3盞燈籠.故答案為：316、【解析】取的中點，連接，，過點A作，垂足為，設(shè)，利用三角形的邊角關(guān)系求出，利用錐體的體積公式求出的值，確定三棱錐外接球的球心，求解外接球的半徑，由表面積公式求解即可【詳解】取的中點，連接，，過點A作，交DE的延長線于點，所以為二面角的平面角，設(shè)，則，，所以，所以，EH=，因為三棱錐的體積為，所以，解得：，，設(shè)外接圓的圓心為，三棱錐外接球的球心為，連接，，，過點O作OF⊥AH于點F，則，，，，設(shè)，則，，由勾股定理得：，解得：，所以三棱錐外接球的半徑滿足，則三棱錐的外接球的表面積為故答案為：【點睛】本題考查了幾何體的外接球問題，棱錐的體積公式的理解與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是確定外接球球心的位置，三棱錐的外接球的球心在過各面外心且與此面垂直的直線上，由此結(jié)論可以找到外接球的球心，三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理、和角正弦公式及三角形內(nèi)角的性質(zhì)可得，進而可得C的大??；（2）由余弦定理可得，根據(jù)基本不等式可得，由三角形面積公式求面積的最大值，注意等號成立條件.【小問1詳解】由正弦定理知：，∴，又，∴，則，故.【小問2詳解】由，又，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴△的面積S的最大值為.18、（1）為棱中點（2）【解析】（1）以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，結(jié)合求出的值，即可得出點的位置；（2）利用空間向量法可求得點到平面的距離【小問1詳解】解：因為平面，底面為正方形，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，設(shè)，其中，則，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，由題意可得，整理可得，因為，解得，因此，點為棱的中點.【小問2詳解】解：由（1）知為棱中點，即，則，又，設(shè)平面的法向量為，由，取，可得，因為，所以，點到平面的距離為.19、（1）圓心為，半徑為；（2）答案見解析.【解析】（1）寫出圓標(biāo)準(zhǔn)方程即得解；（2）選擇條件①：直線應(yīng)過圓心即直線過點和，即得解；選擇條件②：直線應(yīng)與垂直，求出直線的方程即得解；選擇條件③：不存在滿足條件的直線.【小問1詳解】解：由圓的方程整理可得，所以圓心為，半徑為.小問2詳解】選擇條件①：若直線被圓所截得的弦長最長，則直線應(yīng)過圓心即直線過點和，所以直線的斜率為，則直線的方程為.選擇條件②：若直線過點被圓所截得的弦長最短，則直線應(yīng)與垂直.又，所以.故直線方程為.選擇條件③：經(jīng)過點的直線被圓所截得的最短弦長，由于，所以不存在滿足條件的直線.20、（1）（2）【解析】(1)求出PM，就可以求PQ的范圍；(2)使用待定系數(shù)法求出切線的方程，再求求切點的坐標(biāo)，從而可以求切點的連線的方程.【小問1詳解】如下圖所示，因為圓的方程可化為，所以圓心，半徑，且，所以，故取值范圍為.【小問2詳解】可知切線，中至少一條的斜率存在，設(shè)為，則此切線為即，由圓心到此切線的距離等于半徑，即，得所以兩條切線的方程為和，于是由聯(lián)立方程組得兩切點的坐標(biāo)為和所以故直線的方程為即21、（1）證明見解析（2）答案不唯一，見解析【解析】（1）利用折疊前后的線段長度及勾股定理求證即可；（2）動點M滿足時和，但時兩種情況，利用線線平行或相交得到結(jié)論.【小問1詳解】在折疊前的圖中，如圖：，E為上一點且，則，折疊后，所以，又，所以，所以為直角三角形.小問2詳解】當(dāng)動點M在線段上，滿足，同樣在線段上取，使得，則，當(dāng)時，則，又且所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，所以此時平面；當(dāng)時，此時，但，所以四邊形為梯形，所以與必然相交，所以與平面必然相交.綜上，當(dāng)動點M滿足時，