2024屆上海市浦東新區(qū)高橋中學數(shù)學高二上期末綜合測試模擬試題含解析

2024屆上海市浦東新區(qū)高橋中學數(shù)學高二上期末綜合測試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設等差數(shù)列的前n項和為．若，則（）A.19 B.21C.23 D.382．設m，n是兩條不同直線，，是兩個不同平面，則下列說法錯誤的是（）A.若，，則； B.若，，則；C.若，，則； D.若，，則3．若、、為空間三個單位向量，，且與、所成的角均為，則（）A.5 B.C. D.4．一輛汽車做直線運動，位移與時間的關系為，若汽車在時的瞬時速度為12，則（）A. B.C.2 D.35．直線分別與軸，軸交于A，B兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是（）A B.C. D.6．已知，為雙曲線的左，右頂點，點P在雙曲線C上，為等腰三角形，且頂角為，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C.2 D.7．函數(shù)在的最大值是（）A. B.C. D.8．命題“，都有”的否定為（）A.，使得 B.，使得C.，使得 D.，使得9．已知圓上有三個點到直線的距離等于1，則的值為（）A. B.C. D.110．已知等比數(shù)列中，，，則公比（）A. B.C. D.11．已知曲線，下列命題錯誤的是（）A.若，則是橢圓，其焦點在軸上B.若，則是圓，其半徑為C.若，則是雙曲線，其漸近線方程為D.若，，為上任意一點，，為曲線的兩個焦點，則12．設是雙曲線與圓在第一象限的交點，，分別是雙曲線的左，右焦點，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圓與x軸相切于點A．點B在圓C上運動，則AB的中點M的軌跡方程為______（當點B運動到與A重合時，規(guī)定點M與點A重合）；點N是直線上一點，則的最小值為______14．已知平面，過空間一定點P作一直線l，使得直線l與平面，所成的角都是30°，則這樣的直線l有______條15．圓心為直線與直線的交點，且過原點的圓的標準方程是________16．已知函數(shù)若存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是_______________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設數(shù)列滿足（1）求的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和為，是否存在實數(shù)，使得對任意恒成立.18．（12分）已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）當時，證明，，；（2）若函數(shù)在上存在極值點，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知命題實數(shù)滿足不等式，命題實數(shù)滿足不等式.（1）當時，命題，均為真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知橢圓C：，斜率為的直線l與橢圓C交于A、B兩點且（1）求橢圓C的離心率；（2）求直線l的方程21．（12分）已知函數(shù)，.（1）當時，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）當時，求函數(shù)的極值.22．（10分）如圖，在四棱錐中，平面，底面為矩形，，，為的中點，.請用空間向量知識解答下列問題：（1）求線段的長；（2）若為線段上一點，且，求平面與平面夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由已知及等差數(shù)列的通項公式得到公差d，再利用前n項和公式計算即可.【詳解】設等差數(shù)列的公差為d，由已知，得，解得，所以.故選：A2、C【解析】直接由直線平面的定理得到選項正確；對于選項，m，n可能平行、相交或異面，所以該選項錯誤；對于選項，與內一直線l，所以，因為l為內一直線，所以．所以該選項正確.【詳解】對于選項，若，，則，所以該選項正確；對于選項，若，，則，所以該選項正確；對于選項，若，，則m，n可能平行、相交或異面，所以該選項錯誤；對于選項，若，，則與內一直線l，所以，因為l為內一直線，所以．所以該選項正確.故選：C【點睛】本題主要考查空間直線平面位置關系判斷，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.3、C【解析】先求的平方后再求解即可.【詳解】，故，故選：C4、D【解析】首先求出函數(shù)的導函數(shù)，依題意可得，即可解得；【詳解】解：因為，所以又汽車在時的瞬時速度為12，即即，解得故選：D【點睛】本題考查導數(shù)在物理中的應用，屬于基礎題.5、A【解析】把求面積轉化為求底邊和底邊上的高，高就是圓上點到直線的距離.【詳解】與x，y軸的交點，分別為，，點在圓，即上，所以，圓心到直線距離為，所以面積的最小值為，最大值為.故選：A6、A【解析】根據(jù)給定條件求出點P的坐標，再代入雙曲線方程計算作答.【詳解】由雙曲線對稱性不妨令點P在第一象限，過P作軸于B，如圖，因為等腰三角形，且頂角為，則有，，有，于是得，即點，因此，，解得，所以雙曲線C的離心率為.故選：A7、C【解析】利用函數(shù)單調性求解.【詳解】解：因為函數(shù)是單調遞增函數(shù)，所以函數(shù)也是單調遞增函數(shù)，所以.故選：C8、A【解析】根據(jù)命題的否定的定義判斷【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，命題“，都有”的否定為：，使得故選：A9、A【解析】求出圓心和半徑，由題意可得圓心到直線的距離，列方程即可求得的值.【詳解】由圓可得圓心，半徑，因為圓上有三個點到直線的距離等于1，所以圓心到直線的距離，可得：，故選：A.10、C【解析】利用等比中項的性質可求得的值，再由可求得結果.【詳解】由等比中項的性質可得，解得，又，，故選：C.11、D【解析】根據(jù)橢圓和雙曲線的性質以及定義逐一判斷即可.【詳解】曲線，若，則是橢圓，其焦點在軸上，故A正確；若，則，即是圓，半徑為，故B正確；若，則是雙曲線，當，則漸近線方程為，當，則漸近線方程為，故C正確；若，，則是雙曲線，其焦點在軸上，由雙曲線的定義可知，，故D錯誤；故選：D12、B【解析】先由雙曲線定義與題中條件得到，，求出，，再由題意得到，即可根據(jù)勾股定理求出結果.【詳解】解：根據(jù)雙曲線定義：，，∴，∴，，，∴是圓的直徑，∴，中，，得故選【點睛】本題主要考查求雙曲線的離心率，熟記雙曲線的簡單性質即可，屬于?？碱}型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】將點M的軌跡轉化為以AC為直徑的圓，再確定圓心及半徑即可求解，將的最小值轉化為點到圓心的距離再減去半徑可求解.【詳解】依題意得，，因為M為AB中點，所以，所以點M的軌跡是以AC為直徑的圓，又AC中點為，，所以點M的軌跡方程為，圓心，設關于直線的對稱點為，則有，解得，所以，所以由對稱性可知的最小值為故答案為：，14、4【解析】設平面，在平面內作于點O，在平面內過點O作，設OM是的角平分線，過棱m上一點P作，則過點O在平面OMQP上存在2條直線l，使得直線l與OB、OA成，直線l與平面且與平面，所成的角都是30°，在的補角一側也存在2條滿足條件的直線l，由此可得答案.【詳解】解：設平面，在平面內作于點O，在平面內過點O作，因為平面，所以，設OM是的角平分線，則，過棱m上一點P作，則過點O在平面OMQP上存在2條直線l，使得直線l與OB、OA成，此時直線l與平面且與平面，所成的角都是30°，同理，在的補角一側也存在2條滿足條件的直線l，所以這樣的直線l有4條，故答案為：4.15、【解析】由，求得圓心，再根據(jù)圓過原點，求得半徑即可.【詳解】由，可得，即圓心為，又圓過原點，所以圓的半徑，故圓的標準方程為故答案為：【點睛】本題主要考查圓的方程的求法，屬于基礎題.16、【解析】分離參數(shù)法得到能成立,構造函數(shù)，求出的最小值，即可求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】由得.設，則存在,使得成立，即能成立，所以能成立,所以.又令,由對勾函數(shù)的性質可得：在上，t(x)單調遞增,所以當x=2時,t有最小值，所以實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：【點睛】導數(shù)的應用主要有：（1）利用導函數(shù)幾何意義求切線方程；（2）利用導數(shù)研究原函數(shù)的單調性，求極值（最值）；（3）利用導數(shù)求參數(shù)的取值范圍.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）存在【解析】（1）利用“退作差”法求得的通項公式.（2）利用裂項求和法求得，由此求得.【小問1詳解】依題意①，當時，.當時，②，①-②得，，時，上式也符合.所以.【小問2詳解】.所以.故存在實數(shù)，使得對任意恒成立.18、（1）證明見解析：（2）【解析】(1)代入,求導分析函數(shù)單調性,再的最小值即可證明.(2),若函數(shù)在上存在兩個極值點,則在上有根.再分,與,利用函數(shù)的零點存在定理討論導函數(shù)的零點即可.【詳解】(1)證明：當時,,則,當時,,則,又因為,所以當時,,僅時,,所以在上是單調遞減,所以,即.(2),因為,所以,①當時,恒成立,所以在上單調遞增,沒有極值點.②當時,在區(qū)間上單調遞增,因為.當時,,所以在上單調遞減,沒有極值點.當時,,所以存在,使當時,時,所以在處取得極小值,為極小值點.綜上可知,若函數(shù)在上存在極值點,則實數(shù).【點睛】本題主要考查了利用導函數(shù)求解函數(shù)的單調性與最值,進而證明不等式的方法.同時也考查了利用導數(shù)分析函數(shù)極值點的問題,需要結合零點存在定理求解.屬于難題.19、（1）；（2）.【解析】（1）分別求出命題，均為真命題時的取值范圍，再求交集即可.（2）利用集合間的關系求解即可.【詳解】實數(shù)滿足不等式，即命題實數(shù)滿足不等式，即（1）當時，命題，均為真命題，則且則實數(shù)的取值范圍為；（2）若是的充分不必要條件，則是的真子集則且解得故的取值范圍為.【點睛】判斷充分條件與必要條件應注意：首先弄清條件和結論分別是什么，然后直接依據(jù)定義、定理、性質嘗試.對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想化抽象為直觀外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性，轉化為判斷它的等價命題；對于范圍問題也可以轉化為包含關系來處理.20、（1）（2）或【解析】（1）將橢圓化為標準方程，求得，進而求得離心率；（2）設直線，，，與橢圓聯(lián)立，借助韋達定理及弦長公式求得，從而求得直線方程.【小問1詳解】由題知，橢圓C：，則，離心率【小問2詳解】設直線，，聯(lián)立，化簡得，則，解得，，由弦長公式知，，解得，故直線或21、（1）2（2）當時，沒有極值；當時，極大值為，極小值為.【解析】（1）當時，，可得：.，，得或，列出函數(shù)單調性表格，即可最大值；（2），令，得或，分別討論和，即可求得的極值.【詳解】（1）當時，，所以.令，得或，列表如下：-2-11+0-0+極大值極小值由于，，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2.（2），令，得或.當時，，所以函數(shù)在上單調遞增，無極值.當時，列表如下：+0-0+極大值極小值函數(shù)的極大值為，極小值為.【點睛】本題主要考查根據(jù)導數(shù)求函數(shù)單調性和極值，解題關鍵是掌握導數(shù)求單調性的方法和極值定義